Гауссова поверхность

Замкнутая поверхность в трехмерном пространстве

Цилиндрическая гауссова поверхность обычно используется для расчета электрического заряда бесконечно длинного, прямого, «идеального» провода.

Гауссова поверхность — это замкнутая поверхность в трехмерном пространстве, через которую вычисляется поток векторного поля ; обычно гравитационного поля , электрического поля или магнитного поля . ^[1] Это произвольная замкнутая поверхность S = ∂ V ( граница трехмерной области V ), используемая совместно с законом Гаусса для соответствующего поля ( закон Гаусса , закон Гаусса для магнетизма или закон Гаусса для гравитации ) путем выполнения поверхностного интеграла , чтобы вычислить общую величину заключенной исходной величины; например, величину гравитационной массы как источника гравитационного поля или величину электрического заряда как источника электростатического поля, или наоборот: вычислить поля для распределения источника.

Для конкретности в данной статье рассматривается электрическое поле, поскольку это наиболее часто встречающийся тип поля, для которого применяется понятие поверхности.

Гауссовы поверхности обычно тщательно выбираются для использования симметрии ситуации для упрощения вычисления поверхностного интеграла . Если гауссова поверхность выбрана так, что для каждой точки на поверхности компонента электрического поля вдоль нормального вектора постоянна, то вычисление не потребует сложного интегрирования, поскольку возникающие константы могут быть вынесены из интеграла. Она определяется как замкнутая поверхность в трехмерном пространстве, по которой вычисляется поток векторного поля.

Общие гауссовы поверхности

Примеры допустимых (слева) и недопустимых (справа) гауссовых поверхностей. Слева: некоторые допустимые гауссовы поверхности включают поверхность сферы, поверхность тора и поверхность куба. Это замкнутые поверхности , которые полностью охватывают трехмерный объем. Справа: некоторые поверхности, которые НЕ МОГУТ использоваться как гауссовы поверхности, такие как поверхность диска , квадратная поверхность или поверхность полусферы. Они не полностью охватывают трехмерный объем и имеют границы (красные). Обратите внимание, что бесконечные плоскости могут аппроксимировать гауссовы поверхности.

Большинство расчетов с использованием гауссовых поверхностей начинаются с реализации закона Гаусса (для электричества): ^[2]

${\displaystyle \Phi _{E}=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {E} \;\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={\frac {Q_{\text{enc}}}{\varepsilon _{0}}}.}$

Таким образом, Q _enc — это электрический заряд, заключенный в гауссовой поверхности.

Это закон Гаусса, объединяющий теорему о дивергенции и закон Кулона .

Сферическая поверхность

Сферическая гауссова поверхность используется при нахождении электрического поля или потока , создаваемого любым из следующих: ^[3]

• точечный заряд
• равномерно распределенная сферическая оболочка заряда
• любое другое распределение заряда со сферической симметрией

Сферическая гауссова поверхность выбирается таким образом, чтобы она была концентрической с распределением заряда.

В качестве примера рассмотрим заряженную сферическую оболочку S пренебрежимо малой толщины с равномерно распределенным зарядом Q и радиусом R. Мы можем использовать закон Гаусса, чтобы найти величину результирующего электрического поля E на расстоянии r от центра заряженной оболочки. Сразу видно, что для сферической гауссовой поверхности радиусом r < R заключенный заряд равен нулю: следовательно, чистый поток равен нулю, а величина электрического поля на гауссовой поверхности также равна 0 (положив Q _A = 0 в законе Гаусса, где Q _A — заряд, заключенный гауссовой поверхностью).

В том же примере, используя большую гауссову поверхность вне оболочки, где r > R , закон Гаусса создаст ненулевое электрическое поле. Это определяется следующим образом.

Поток из сферической поверхности S равен:

${\displaystyle \Phi _{E}=}$ ${\displaystyle \scriptstyle \partial S}$ ${\displaystyle \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} =\iint _{c}EdA\cos 0^{\circ }=E\iint _{S}dA}$

Площадь поверхности сферы радиусом r равна , что означает $${\displaystyle \iint _{S}dA=4\pi r^{2}}$$ $${\displaystyle \Phi _{E}=E4\pi r^{2}}$$

По закону Гаусса поток также окончательно равен выражению для Φ _E, что дает величину электрического поля в точке r : $${\displaystyle \Phi _{E}={\frac {Q_{A}}{\varepsilon _{0}}}}$$ $${\displaystyle E4\pi r^{2}={\frac {Q_{A}}{\varepsilon _{0}}}\quad \Rightarrow \quad E={\frac {Q_{A}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}.}$$

Этот нетривиальный результат показывает, что любое сферическое распределение заряда действует как точечный заряд при наблюдении снаружи распределения заряда; это фактически проверка закона Кулона . И, как уже упоминалось, любые внешние заряды не учитываются.

Цилиндрическая поверхность

Цилиндрическая гауссова поверхность используется при нахождении электрического поля или потока , создаваемого любым из следующих: ^[3]

• бесконечно длинная линия однородного заряда
• бесконечная плоскость равномерного заряда
• бесконечно длинный цилиндр равномерного заряда

В качестве примера ниже приведено «поле вблизи бесконечного линейного заряда»;

Рассмотрим точку P на расстоянии r от бесконечного линейного заряда, имеющего плотность заряда (заряд на единицу длины) λ. Представьте себе замкнутую поверхность в форме цилиндра, осью вращения которого является линейный заряд. Если h — длина цилиндра, то заряд, заключенный в цилиндре, равен , где q — заряд, заключенный в гауссовой поверхности. Существуют три поверхности a , b и c , как показано на рисунке. Дифференциальная векторная площадь равна d A , на каждой поверхности a , b и c . $${\displaystyle q=\lambda h,}$$

Замкнутая поверхность в форме цилиндра, имеющая линейный заряд в центре и показывающая дифференциальные площади d A всех трех поверхностей.

Прохождение потока состоит из трех вкладов:

${\displaystyle \Phi _{E}=}$ ${\displaystyle \scriptstyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} =\iint _{a}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} +\iint _{b}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} +\iint _{c}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} }$

Для поверхностей a и b, E и d A будут перпендикулярны . Для поверхности c, E и d A будут параллельны , как показано на рисунке.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{E}&=\iint _{a}EdA\cos 90^{\circ }+\iint _{b}EdA\cos 90^{\circ }+\iint _{c}EdA\cos 0^{\circ }\\&=E\iint _{c}dA\end{aligned}}}$$

Площадь поверхности цилиндра равна , что подразумевает $${\displaystyle \iint _{c}dA=2\pi rh}$$ $${\displaystyle \Phi _{E}=E2\pi rh.}$$

По закону Гаусса приравнивая Φ _E получаем $${\displaystyle \Phi _{E}={\frac {q}{\varepsilon _{0}}}}$$ $${\displaystyle E2\pi rh={\frac {\lambda h}{\varepsilon _{0}}}\quad \Rightarrow \quad E={\frac {\lambda }{2\pi \varepsilon _{0}r}}}$$

Гауссов дот

Эта поверхность чаще всего используется для определения электрического поля, вызванного бесконечным слоем заряда с однородной плотностью заряда или пластиной заряда с некоторой конечной толщиной. Дот имеет цилиндрическую форму и может рассматриваться как состоящий из трех компонентов: диска на одном конце цилиндра с площадью πR ² , диска на другом конце с равной площадью и стороны цилиндра. Сумма электрического потока через каждый компонент поверхности пропорциональна заключенному в нем заряду дот-бокса, как диктует закон Гаусса. Поскольку поле вблизи слоя можно аппроксимировать как постоянное, дот-бокс ориентирован таким образом, что линии поля проникают в диски на концах поля под перпендикулярным углом, а стороны цилиндра параллельны линиям поля.

Смотрите также

• Область
• Площадь поверхности
• Векторные исчисления
• Интеграция
• Теорема о дивергенции
• клетка Фарадея
• Теория поля
• Линия поля

Ссылки

1. Основные принципы физики, PM Whelan, MJ Hodgeson, 2-е издание, 1978, Джон Мюррей, ISBN  0-7195-3382-1
2. Введение в электродинамику (4-е издание), DJ Griffiths, 2012, ISBN 978-0-321-85656-2 
3. Физика для ученых и инженеров - с современной физикой (6-е издание), PA Tipler, G. Mosca, Freeman, 2008, ISBN 0-7167-8964-7 

• Перселл, Эдвард М. (1985). Электричество и магнетизм . McGraw-Hill. ISBN 0-07-004908-4.
• Джексон, Джон Д. (1998). Классическая электродинамика (3-е изд.) . Wiley. ISBN 0-471-30932-X.

Дальнейшее чтение

• Электромагнетизм (2-е издание) , IS Grant, WR Phillips, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN 978-0-471-92712-9 

Внешние ссылки

• Поля Архивировано 27.05.2010 в Wayback Machine - глава из онлайн-учебника