В области гиперболической геометрии шестиугольная мозаика является одной из 11 правильных паракомпактных сот в трехмерном гиперболическом пространстве . Он паракомпактный, поскольку имеет ячейки , состоящие из бесконечного числа граней. Каждая ячейка представляет собой шестиугольную мозаику , вершины которой лежат на орисфере — поверхности в гиперболическом пространстве, приближающейся к единственной идеальной точке на бесконечности.
Символ Шлефли шестиугольных сот — {6,3,3}. Поскольку значение шестиугольной мозаики равно {6,3}, эта сота имеет три таких шестиугольных мозаики, сходящихся на каждом ребре. Поскольку символом Шлефли тетраэдра является {3,3}, вершинной фигурой этой соты является тетраэдр. Таким образом, в каждой вершине этой соты встречаются четыре шестиугольных мозаики, в каждой вершине встречаются шесть шестиугольников и в каждой вершине встречаются четыре ребра. [1]
Если смотреть в перспективе вне модели диска Пуанкаре , изображение выше показывает одну шестиугольную ячейку мозаики внутри сот и ее орисферу среднего радиуса (оросфера, падающая с краевыми средними точками). В этой проекции шестиугольники становятся бесконечно малыми по направлению к бесконечной границе, асимптотически приближаясь к одной идеальной точке. Его можно рассматривать как похожее на апейрогональное замощение третьего порядка , {∞,3} из H 2 , с орициклами , описывающими вершины апейрогональных граней.
Всего он состоит из пяти отражательных конструкций из пяти связанных групп Кокстера, все с четырьмя зеркалами, и только первое из них является правильным:
[6,3,3],[3,6,3],[6,3,6],
[6,3 [3] ] и [3 [3,3] ]
, имеющие в 1, 4, 6, 12 и 24 раза большие фундаментальные домены соответственно . В разметке подгруппы нотации Коксетера они связаны как: [6,(3,3) * ] (удалить 3 зеркала, индексировать подгруппу 24); [3,6,3 * ] или [3 * ,6,3] (удалить 2 зеркала, индекс 6 подгруппы); [1 + ,6,3,6,1 + ] (удалить два ортогональных зеркала, подгруппа индекса 4); все они изоморфны [3 [3,3] ]. Кольцевые диаграммы Кокстера:
,,,
и, представляющие разные типы (цвета) шестиугольных мозаик в конструкции Витгофа .
Шестиугольная мозаика представляет собой правильную гиперболическую соту в трехмерном пространстве и одну из 11 паракомпактных ячеек.
Это одна из 15 однородных паракомпактных сот в группе [6,3,3] Кокстера, наряду с ее двойником, тетраэдрическими сотами 6-го порядка .
Это часть последовательности правильных полихор , которые включают 5-клеточное {3,3,3}, тессеракт {4,3,3} и 120-клеточное {5,3,3} евклидова 4-мерного пространства. наряду с другими гиперболическими сотами, содержащими тетраэдрические вершинные фигуры .
Он также является частью последовательности правильных сот формы {6,3,p}, каждая из которых состоит из шестиугольных ячеек мозаики:
Выпрямленные шестиугольные соты мозаики , t 1 {6,3,3},имеет тетраэдрические и тригексагональные грани мозаики с треугольной фигурой вершины призмы . полусимметричная конструкция чередует два типа тетраэдров.
Усеченная шестиугольная черепица-соты , t 0,1 {6,3,3},имеет тетраэдрические и усеченные шестиугольные грани мозаики, с фигурой вершины треугольной пирамиды .
Это похоже на двумерную гиперболическую усеченную апейрогональную мозаику третьего порядка , t{∞,3} с апейрогональными и треугольными гранями:
Битусеченные шестиугольные замощенные соты или битусеченные тетраэдрические соты 6-го порядка , t 1,2 {6,3,3},имеет усеченный тетраэдр и шестиугольные ячейки мозаики с двуугольной фигурой вершины дисфеноида .
Соты зубчатой шестиугольной черепицы , t 0,2 {6,3,3},имеет октаэдр , ромбитригексагональную мозаику и треугольные призматические ячейки с клиновидной вершиной .
Скошенные шестиугольные соты , t 0,1,2 {6,3,3},имеет усеченный тетраэдр , усеченную тригексагональную мозаику и треугольные призматические ячейки с зеркальной клиновидной вершиной .
Соты черепицы продолговатой шестиугольной формы , t 0,3 {6,3,3},имеет тетраэдр , шестиугольную мозаику , шестиугольную призму и треугольные ячейки призмы с неправильной треугольной фигурой вершины антипризмы .
Соты из неусеченной шестиугольной черепицы , t 0,1,3 {6,3,3},имеет кубооктаэдр , треугольную призму , двенадцатиугольную призму и усеченные шестиугольные ячейки мозаики, с фигурой вершины равнобедренно-трапециевидной пирамиды .
Стыковые шестиугольные черепичные соты или сусечатые тетраэдрические соты 6-го порядка , t 0,2,3 {6,3,3},имеет усеченный тетраэдр , шестиугольную призму и ромбитригексагональные ячейки замощения , с фигурой вершины равнобедренно-трапециевидной пирамиды .
Всеусеченные шестиугольные соты или всеусеченные тетраэдрические соты 6-го порядка , t 0,1,2,3 {6,3,3},имеет усеченный октаэдр , шестиугольную призму , додекагональную призму и усеченные тригексагональные ячейки мозаики с неправильной фигурой вершины тетраэдра .
