Тетракис гексаэдр

Каталонское тело с 24 гранями

Двойное соединение усеченного октаэдра и тетракисгексаэдра. Гравюра слева из Perspectiva Corporum Regularium (1568) Венцеля Ямницера .

Модель кристалла и матрицы

Рисунок и модель кристалла варианта с тетраэдрической симметрией, называемого гексакис-тетраэдром ^[1]

В геометрии тетракисгексаэдр (также известный как тетрагексаэдр , гекстетраэдр , тетракискуб и кискуб ^[2] ) — это каталонское тело . Его двойственным телом является усеченный октаэдр , архимедово тело .

Его можно назвать дисдиакисгексаэдром или гексакистетраэдром как двойственный к всеусеченному тетраэдру и как барицентрическое подразделение тетраэдра. ^[3]

Декартовы координаты

Декартовы координаты для 14 вершин тетракисгексаэдра с центром в начале координат — это точки $${\displaystyle {\bigl (}{\pm {\tfrac {3}{2}}},0,0{\bigr )},\ {\bigl (}0,\pm {\tfrac {3}{2}},0{\bigr )},\ {\bigl (}0,0,\pm {\tfrac {3}{2}}{\bigr )},\ {\bigl (}{\pm 1},\pm 1,\pm 1{\bigr )}.}$$

Длина коротких ребер этого тетракисгексаэдра равна 3/2, а длинных — 2. Грани — остроугольные равнобедренные треугольники. Больший угол из них равен , а два меньших равны . ${\displaystyle \arccos {\tfrac {1}{9}}\approx 83.62^{\circ }}$ ${\displaystyle \arccos {\tfrac {2}{3}}\approx 48.19^{\circ }}$

Ортогональные проекции

Тетракисгексаэдр , двойственный усеченному октаэдру, имеет 3 положения симметрии, два из которых расположены на вершинах, а одно — на середине ребра.

Использует

Природные ( кристаллические ) образования тетрагексаэдров наблюдаются в медных и флюоритовых системах.

Игроки иногда используют многогранные игральные кости в форме тетракисгексаэдра .

24-ячейковый многогранник, рассматриваемый в перспективной проекции с вершиной первой, имеет топологию поверхности тетракисгексаэдра и геометрические пропорции ромбододекаэдра , при этом ромбические грани разделены на два треугольника.

Тетракисгексаэдр является одним из простейших примеров в теории строительства . Рассмотрим риманово симметричное пространство, связанное с группой SL ₄ ( R ) . Его граница Титса имеет структуру сферического здания , квартиры которого являются 2-мерными сферами. Разбиение этой сферы на сферические симплексы (камеры) можно получить, взяв радиальную проекцию тетракисгексаэдра.

Симметрия

С T _d , [3,3] (*332) тетраэдрической симметрией треугольные грани представляют 24 фундаментальных домена тетраэдрической симметрии. Этот многогранник может быть построен из 6 больших кругов на сфере. Его также можно увидеть как куб с его квадратными гранями, триангулированными их вершинами и центрами граней, и тетраэдр с его гранями, разделенными вершинами, средними ребрами и центральной точкой.

Ребра сферического тетракисгексаэдра принадлежат шести большим окружностям, которые соответствуют зеркальным плоскостям в тетраэдрической симметрии . Их можно сгруппировать в три пары ортогональных окружностей (которые обычно пересекаются на одной оси координат каждая). На изображениях ниже эти квадратные осоэдры окрашены в красный, зеленый и синий цвета.

Размеры

Если обозначить длину ребра базового куба как a , то высота каждой вершины пирамиды над кубом будет ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {a}{4}}.}$ Наклон каждой треугольной грани пирамиды по отношению к грани куба будет (последовательность A073000 в OEIS ). Одно ребро равнобедренных треугольников имеет длину a , два других имеют длину ⁠ ⁠ что следует из применения теоремы Пифагора к высоте и длине основания. Это дает высоту в треугольнике ( OEIS : A204188 ). Его площадь равна , а внутренние углы равны , а дополнительные ${\displaystyle \arctan {\tfrac {1}{2}}\approx 26.565^{\circ }}$ ${\displaystyle {\tfrac {3a}{4}},}$ ${\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {5}}a}{4}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {5}}a^{2}}{8}},}$ ${\displaystyle \arccos {\tfrac {2}{3}}\approx 48.1897^{\circ }}$ ${\displaystyle 180^{\circ }-2\arccos {\tfrac {2}{3}}\approx 83.6206^{\circ }.}$

Объем пирамиды равен ⁠ ⁠, ${\displaystyle {\tfrac {a^{3}}{12}};}$ поэтому общий объем шести пирамид и куба в шестиграннике равен ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {3a^{3}}{2}}.}$

Клетоп

Невыпуклый тетракисгексаэдр с гранями в виде равносторонних треугольников

Его можно рассматривать как куб с квадратными пирамидами , покрывающими каждую квадратную грань; то есть, это Kleetope куба. Невыпуклая форма этой формы с равносторонними треугольными гранями имеет ту же геометрию поверхности, что и правильный октаэдр , и бумажная модель октаэдра может быть повторно сложена в эту форму. ^[4] Эта форма тетракисгексаэдра была проиллюстрирована Леонардо да Винчи в «Divina ratione» Луки Пачоли ( 1509). ^[5]

Эту невыпуклую форму тетракисгексаэдра можно сложить вдоль квадратных граней внутреннего куба как развертку для четырехмерной кубической пирамиды .

Связанные многогранники и мозаики

Это многогранники в последовательности, определяемой конфигурацией граней V4.6.2 n . Эта группа является особенной, так как имеет все четное число ребер на вершину и образует биссекторные плоскости через многогранники и бесконечные линии в плоскости, и продолжается в гиперболическую плоскость для любого n  ≥ 7.

При четном числе граней в каждой вершине эти многогранники и мозаики можно изобразить, чередуя два цвета так, чтобы все смежные грани имели разные цвета.

Каждая грань на этих доменах также соответствует фундаментальной области группы симметрии с порядками 2,3, n зеркал в каждой вершине треугольной грани.

Смотрите также

• Дисдякис триаконтаэдр
• Дисдиакис додекаэдр
• Мозаика Kisrhombille
• Соединение трех октаэдров
• Дельтовидный икоситетраэдр , еще одно 24-гранное каталонское тело.

Ссылки

1. Hexakistetraeder на немецком языке, см., например, страницу Мейерса и страницу Брокгауза . Тот же рисунок появляется у Брокгауза и Ефрона как преломленный пирамидальный тетраэдр ( преломленный пирамидальный тетраэдр ).
2. Конвей, Симметрии вещей , стр. 284
3. Лангер, Джоэл С.; Сингер, Дэвид А. (2010), «Размышления о лемнискате Бернулли: сорок восемь граней математической жемчужины», Миланский математический журнал , 78 (2): 643–682, doi :10.1007/s00032-010-0124-5, MR  2781856
4. Рус, Джейкоб (2017), «Flowsnake Earth», в Сварте, Дэвид; Секен, Карло Х.; Фенивеси, Кристоф (ред.), Proceedings of Bridges 2017: Mathematics, Art, Music, Architecture, Education, Culture , Phoenix, Arizona: Tessellations Publishing, стр. 237–244, ISBN 978-1-938664-22-9
5. Пачоли, Лука (1509), «Таблицы 11 и 12», Divina пропорциональное

• Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X.(Раздел 3-9)
• Веннингер, Магнус (1983), Двойные модели , Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511569371, ISBN 978-0-521-54325-5, МР  0730208(Тринадцать полуправильных выпуклых многогранников и их двойственные, Страница 14, Тетракишекседаэдр)
• Симметрии вещей 2008, Джон Х. Конвей, Хайди Бургиль, Хаим Гудман-Штраус, ISBN 978-1-56881-220-5 [1] (Глава 21, Наименование архимедовых и каталонских многогранников и мозаик, стр. 284, Тетракисгексаэдр) 

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Тетракис гексаэдр» («Каталонское тело») на MathWorld .
• Многогранники виртуальной реальности www.georgehart.com: Энциклопедия многогранников
  • VRML -модель
  • Обозначение Конвея для многогранников Попробуйте: «dtO» или «kC»
• Тетракис гексаэдр – интерактивная модель многогранника
• Однородные многогранники