Параметрический генератор

Гармонический осциллятор, параметры которого колеблются во времени.

Один из первых параметрических усилителей варакторов, изобретенный в Bell Labs примерно в 1958 году. Этот четырехкаскадный усилитель достиг усиления 10 дБ на частоте 400 МГц. Параметрические усилители используются в приложениях, требующих чрезвычайно низкого уровня шума.

Параметрический генератор — это управляемый гармонический генератор, в котором колебания вызываются изменением некоторых параметров системы на некоторых частотах, обычно отличных от собственной частоты генератора. Простой пример параметрического осциллятора: ребенок качает качели на игровой площадке , периодически вставая и приседая, чтобы увеличить размер колебаний качелей. ^{[1] [2] [3]} Движения ребенка изменяют момент инерции качелей, как маятника . «Насосные» движения ребенка должны быть в два раза чаще колебаний качелей. Примерами параметров, которые можно изменять, являются резонансная частота генератора и затухание . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \beta }$

Параметрические генераторы используются в нескольких областях физики. Классический параметрический варакторный генератор состоит из полупроводникового варакторного диода , подключенного к резонансному контуру или резонатору полости . Он приводится в действие путем изменения емкости диода путем приложения изменяющегося напряжения смещения . Схема, которая изменяет емкость диода, называется «насосом» или «драйвером». В СВЧ-электронике параметрические генераторы на основе волноводов / АИГ работают таким же образом. Другим важным примером является оптический параметрический генератор , который преобразует входную лазерную световую волну в две выходные волны более низкой частоты ( ). ${\displaystyle \omega _{s},\omega _{i}}$

При работе на уровнях накачки ниже колебаний параметрический генератор может усиливать сигнал, образуя параметрический усилитель ( paramp ). Параметрические усилители Varactor были разработаны как малошумящие усилители радио- и микроволнового диапазона частот. Преимущество параметрического усилителя состоит в том, что он имеет гораздо меньший шум, чем усилитель на основе устройства усиления, такого как транзистор или вакуумная лампа . Это связано с тем, что в параметрическом усилителе вместо сопротивления (производящего шум) изменяется реактивное сопротивление . Они используются в очень малошумящих радиоприемниках в радиотелескопах и антеннах связи космических кораблей . ^[4]

Параметрический резонанс возникает в механической системе, когда система параметрически возбуждается и колеблется на одной из своих резонансных частот. Параметрическое возбуждение отличается от принудительного воздействия, поскольку действие проявляется как изменяющаяся во времени модификация параметра системы.

История

Параметрические колебания впервые были замечены в механике. Майкл Фарадей (1831) был первым, кто заметил колебания одной частоты, возбуждаемые силами с удвоенной частотой, в хрустах (взъерошенных поверхностных волнах), наблюдаемых в бокале для вина, возбужденном «петь». ^[5] Франц Мельде (1860) генерировал параметрические колебания в струне, используя камертон для периодического изменения натяжения с частотой, вдвое превышающей резонансную частоту струны. ^[6] Параметрические колебания впервые рассматривались как общее явление Рэлеем (1883,1887). ^{[7] [8] [9]}

Одним из первых, кто применил эту концепцию к электрическим цепям, был Джордж Фрэнсис Фитцджеральд , который в 1892 году попытался возбудить колебания в LC-цепи , накачивая ее переменной индуктивностью, обеспечиваемой динамо-машиной. ^{[10] [11]} Параметрические усилители ( парампы ) впервые были использованы в 1913-1915 годах для радиотелефонной связи от Берлина до Вены и Москвы, и им было предсказано полезное будущее ( Эрнст Александерсон , 1916). ^[12] Эти ранние параметрические усилители использовали нелинейность дросселя с железным сердечником , поэтому они могли работать только на низких частотах.

В 1948 году Альдерт ван дер Зиль указал на главное преимущество параметрического усилителя: поскольку для усиления он использовал переменное реактивное сопротивление вместо сопротивления, он имел низкий уровень шума. ^[13] Параметрический усилитель, используемый в качестве входного каскада радиоприемника, может усиливать слабый сигнал, внося при этом очень мало шума. В 1952 году Харрисон Роу из Bell Labs расширил некоторые математические работы Джека Мэнли по накачиваемым колебаниям 1934 года и опубликовал современную математическую теорию параметрических колебаний — соотношения Мэнли-Роу . ^[13]

Варакторный диод , изобретенный в 1956 году, имел нелинейную емкость, которую можно было использовать в микроволновых частотах. Параметрический усилитель варактор был разработан Мэрион Хайнс в 1956 году в компании Western Electric . ^[13] В то время, когда это было изобретено, микроволны только эксплуатировались, а варакторный усилитель был первым полупроводниковым усилителем на микроволновых частотах. ^[13] Он применялся в малошумящих радиоприемниках во многих областях и широко использовался в радиотелескопах , наземных спутниковых станциях и радарах дальнего действия . Это основной тип параметрического усилителя, используемый сегодня. С тех пор параметрические усилители стали строиться с другими нелинейными активными устройствами, такими как джозефсоновские переходы .

Этот метод был распространен на оптические частоты в оптических параметрических генераторах и усилителях, в которых в качестве активного элемента используются нелинейные кристаллы .

Математический анализ

Параметрический генератор — это гармонический генератор , физические свойства которого меняются со временем. Уравнение такого осциллятора имеет вид

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\beta (t){\frac {dx}{dt}}+\omega ^{2}(t)x=0}$

Это уравнение линейно по . По предположению параметры и зависят только от времени и не зависят от состояния генератора. В целом и/или предполагается, что они периодически меняются с одним и тем же периодом . ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle \omega ^{2}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta (t)}$ ${\displaystyle \omega ^{2}(t)}$ ${\displaystyle T}$

Если параметры изменяются примерно в два раза больше собственной частоты генератора (определенной ниже), генератор синхронизируется по фазе с параметрическим изменением и поглощает энергию со скоростью, пропорциональной энергии, которую он уже имеет. Без механизма компенсации потерь энергии, обеспечиваемого , амплитуда колебаний растет экспоненциально. (Это явление называется параметрическим возбуждением , параметрическим резонансом или параметрической накачкой .) Однако, если начальная амплитуда равна нулю, она так и останется; это отличает его от непараметрического резонанса управляемых простых гармонических генераторов , в котором амплитуда растет линейно во времени независимо от начального состояния. ${\displaystyle \beta }$

Знакомый опыт как параметрических, так и вынужденных колебаний – это игра на качелях. ^{[1] [2] [3]} Раскачивание вперед и назад накачивает качели как управляемый гармонический осциллятор , но после движения качелями также можно управлять параметрически, поочередно стоя и приседая в ключевых точках дуги качания. Это изменяет момент инерции качелей и, следовательно, резонансную частоту, и дети могут быстро достигать больших амплитуд при условии, что у них есть начальная амплитуда (например, толчок). Однако стояние и приседание в состоянии покоя ни к чему не приводит.

Преобразование уравнения

Начнем с замены переменной

${\displaystyle q(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ e^{D(t)}x(t)}$

где - интеграл по времени от коэффициента затухания ${\displaystyle D(t)}$

${\displaystyle D(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}\beta (\tau )\,d\tau }$.

Эта замена переменной исключает затухающий член в дифференциальном уравнении, сводя его к

${\displaystyle {\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}+\Omega ^{2}(t)q=0}$

где преобразованная частота определяется как

${\displaystyle \Omega ^{2}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \omega ^{2}(t)-{\frac {1}{2}}{\frac {d\beta }{dt}}-{\frac {1}{4}}\beta ^{2}(t)}$.

В общем, изменения затухания и частоты представляют собой относительно небольшие возмущения.

${\displaystyle \beta (t)=\omega _{0}{\big [}b+g(t){\big ]}}$

${\displaystyle \omega ^{2}(t)=\omega _{0}^{2}{\big [}1+h(t){\big ]}}$

где и – константы, а именно усредненные по времени частота генератора и затухание соответственно. Преобразованную частоту можно затем записать аналогично: ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle \Omega ^{2}(t)=\omega _{n}^{2}{\big [}1+f(t){\big ]}}$,

где - собственная частота затухающего гармонического осциллятора ${\displaystyle \omega _{n}}$

${\displaystyle \omega _{n}^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \omega _{0}^{2}\left(1-{\frac {b^{2}}{4}}\right)}$

и

${\displaystyle f(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\omega _{0}^{2}}{\omega _{n}^{2}}}\left[h(t)-{\frac {1}{2\omega _{0}}}{\frac {dg}{dt}}-{\frac {b}{2}}g(t)-{\frac {1}{4}}g^{2}(t)\right]}$.

Таким образом, наше преобразованное уравнение можно записать в виде

${\displaystyle {\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}+\omega _{n}^{2}{\big [}1+f(t){\big ]}q=0}$.

Независимые изменения затухания генератора и резонансной частоты соответственно можно объединить в одну функцию накачки . Обратный вывод состоит в том, что любая форма параметрического возбуждения может быть достигнута путем изменения либо резонансной частоты, либо затухания, либо того и другого. ${\displaystyle g(t)}$ ${\displaystyle h(t)}$ ${\displaystyle f(t)}$

Решение преобразованного уравнения

Предположим, что имеет синусоидальную форму с частотой, примерно вдвое превышающей собственную частоту генератора: ${\displaystyle f(t)}$

${\displaystyle f(t)=f_{0}\sin(2\omega _{p}t)}$

где частота накачки не обязательно равна точно. Используя метод вариации параметров , решение нашего преобразованного уравнения можно записать в виде ${\displaystyle \omega _{p}\approx \omega _{n}}$ ${\displaystyle \omega _{n}}$ ${\displaystyle q(t)}$

${\displaystyle q(t)=A(t)\cos(\omega _{p}t)+B(t)\sin(\omega _{p}t)}$

где быстро меняющиеся компоненты и были исключены, чтобы изолировать медленно меняющиеся амплитуды и . ${\displaystyle \cos(\omega _{p}t)}$ ${\displaystyle \sin(\omega _{p}t)}$ ${\displaystyle A(t)}$ ${\displaystyle B(t)}$

Мы продолжим, подставляя это решение в дифференциальное уравнение и учитывая, что оба коэффициента перед и должны быть равны нулю, чтобы точно удовлетворять дифференциальному уравнению. Мы также опускаем вторые производные и на том основании, что и медленно меняются, а также опускаем синусоидальные члены, не близкие к собственной частоте, поскольку они не вносят существенного вклада в резонанс. В результате получается следующая пара связанных дифференциальных уравнений: ${\displaystyle \cos(\omega _{p}t)}$ ${\displaystyle \sin(\omega _{p}t)}$ ${\displaystyle A(t)}$ ${\displaystyle B(t)}$ ${\displaystyle A(t)}$ ${\displaystyle B(t)}$ ${\displaystyle \omega _{n}}$

${\displaystyle 2\omega _{p}{\frac {dA}{dt}}={\frac {1}{2}}f_{0}\omega _{n}^{2}A-\left(\omega _{p}^{2}-\omega _{n}^{2}\right)B}$

${\displaystyle 2\omega _{p}{\frac {dB}{dt}}=\left(\omega _{p}^{2}-\omega _{n}^{2}\right)A-{\frac {1}{2}}f_{0}\omega _{n}^{2}B}$.

Эту систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами можно разделить и решить методами собственных значений / собственных векторов . Это дает решение

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A(t)\\B(t)\end{bmatrix}}=c_{1}{\vec {V_{1}}}e^{\lambda _{1}t}+c_{2}{\vec {V_{2}}}e^{\lambda _{2}t}}$

где и – собственные значения матрицы ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2\omega _{p}}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}f_{0}\omega _{n}^{2}&-\left(\omega _{p}^{2}-\omega _{n}^{2}\right)\\\omega _{p}^{2}-\omega _{n}^{2}&-{\frac {1}{2}}f_{0}\omega _{n}^{2}\end{bmatrix}}}$,

${\displaystyle {\vec {V_{1}}}}$и – соответствующие собственные векторы, и – произвольные константы. Собственные значения определяются выражением ${\displaystyle {\vec {V_{2}}}}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$

${\displaystyle \lambda _{1,2}=\pm {\frac {1}{2\omega _{p}}}{\sqrt {\left({\frac {f_{0}\omega _{n}^{2}}{2}}\right)^{2}-\left(\omega _{p}^{2}-\omega _{n}^{2}\right)^{2}}}}$.

Если мы напишем разницу между и as и заменим на везде, где разница не важна, получим ${\displaystyle \omega _{p}}$ ${\displaystyle \omega _{n}}$ ${\displaystyle \Delta \omega =\omega _{p}-\omega _{n}}$ ${\displaystyle \omega _{p}}$ ${\displaystyle \omega _{n}}$

${\displaystyle \lambda _{1,2}=\pm {\sqrt {\left({\frac {f_{0}\omega _{n}}{4}}\right)^{2}-\Delta \omega ^{2}}}}$.

Если , то собственные значения действительны и ровно одно положительно, что приводит к экспоненциальному росту для и . Это условие параметрического резонанса со скоростью роста, определяемой положительным собственным значением . Однако заметим, что эта скорость роста соответствует амплитуде преобразованной переменной , тогда как амплитуда непреобразованной переменной может как расти, так и затухать в зависимости от того, увеличивается или уменьшается. ${\displaystyle |\Delta \omega |<{\frac {f_{0}\omega _{n}}{4}}}$ ${\displaystyle A(t)}$ ${\displaystyle B(t)}$ ${\displaystyle \lambda ={\sqrt {\left({\frac {f_{0}\omega _{n}}{4}}\right)^{2}-\Delta \omega ^{2}}}}$ ${\displaystyle q(t)}$ ${\displaystyle x(t)=q(t)e^{-D(t)}}$ ${\displaystyle \lambda t-D(t)}$

Интуитивный вывод параметрического возбуждения

Приведенный выше вывод может показаться математическим трюком, поэтому может оказаться полезным дать интуитивный вывод. Уравнение можно записать в виде ${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}+\omega _{n}^{2}q=-\omega _{n}^{2}f(t)q}$

который представляет собой простой гармонический генератор (или, альтернативно, полосовой фильтр ), управляемый сигналом , пропорциональным его отклику . ${\displaystyle -\omega _{n}^{2}f(t)q}$ ${\displaystyle q(t)}$

Предположим, что уже имеются колебания на определенной частоте и что накачка имеет удвоенную частоту и небольшую амплитуду . Применяя тригонометрическое тождество к произведениям синусоид, их произведение создает два управляющих сигнала: один на частоте, а другой на частоте . ${\displaystyle q(t)=A\cos(\omega _{p}t)}$ ${\displaystyle \omega _{p}}$ ${\displaystyle f(t)=f_{0}\sin(2\omega _{p}t)}$ ${\displaystyle f_{0}\ll 1}$ ${\displaystyle q(t)f(t)}$ ${\displaystyle \omega _{p}}$ ${\displaystyle 3\omega _{p}}$

${\displaystyle f(t)q(t)={\frac {f_{0}}{2}}A{\big [}\sin(\omega _{p}t)+\sin(3\omega _{p}t){\big ]}}$

Поскольку сигнал не является резонансным, он ослабляется, и первоначально им можно пренебречь. Напротив, сигнал находится в резонансе, служит для усиления и пропорционален амплитуде . Следовательно, амплитуда растет экспоненциально, если она изначально не равна нулю. ${\displaystyle 3\omega _{p}}$ ${\displaystyle \omega _{p}}$ ${\displaystyle q(t)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle q(t)}$

Выраженное в пространстве Фурье, умножение представляет собой свертку их преобразований Фурье и . Положительная обратная связь возникает потому, что компонент преобразует компонент в управляющий сигнал при и наоборот (меняет знаки). Это объясняет, почему частота накачки должна быть близка к удвоенной собственной частоте генератора. Накачка на совершенно другой частоте не будет связывать (т. е. обеспечивать взаимную положительную обратную связь) между компонентами и . ${\displaystyle f(t)q(t)}$ ${\displaystyle {\tilde {F}}(\omega )}$ ${\displaystyle {\tilde {Q}}(\omega )}$ ${\displaystyle +2\omega _{p}}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle -\omega _{p}}$ ${\displaystyle q(t)}$ ${\displaystyle +\omega _{p}}$ ${\displaystyle 2\omega _{n}}$ ${\displaystyle -\omega _{p}}$ ${\displaystyle +\omega _{p}}$ ${\displaystyle q(t)}$

Параметрический резонанс

Параметрический резонанс — это явление параметрического резонанса механических возмущений и колебаний на определенных частотах (и связанных с ними гармониках ). Этот эффект отличается от регулярного резонанса, поскольку он демонстрирует явление неустойчивости .

Параметрический резонанс возникает в механической системе, когда система параметрически возбуждается и колеблется на одной из своих резонансных частот. Параметрическое возбуждение отличается от принудительного воздействия, поскольку действие проявляется как изменяющаяся во времени модификация параметра системы. Классическим примером параметрического резонанса является маятник, вынужденный вертикально. Параметрический резонанс имеет место, когда частота внешнего возбуждения равна удвоенной собственной частоте системы, разделенной на целое положительное число . Для параметрического возбуждения малой амплитуды в отсутствие трения ширина полосы резонанса имеет ведущий порядок . ^[14] Эффект трения заключается в введении конечного порога амплитуды параметрического возбуждения, что приводит к нестабильности. ^[15] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(|h|^{n})}$

Для малых амплитуд и путем линеаризации устойчивость периодического решения определяется уравнением Матье :

${\displaystyle {\ddot {u}}+(a+B\cos t)u=0}$

где – некоторое возмущение от периодического решения. Здесь этот термин действует как источник «энергии» и, как говорят, параметрически возбуждает систему. Уравнение Матье описывает многие другие физические системы с синусоидальным параметрическим возбуждением, такие как LC-цепь, в которой пластины конденсатора движутся синусоидально. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle B\ \cos(t)}$

Автопараметрический резонанс возникает в системе с двумя связанными осцилляторами, при этом колебания одного действуют как параметрический резонанс на второй. Нулевая точка второго генератора становится нестабильной, и поэтому он начинает колебаться. ^{[16] [17]}

Параметрические усилители

Введение

Параметрический усилитель реализован в виде смесителя . Коэффициент усиления микшера отображается на выходе как коэффициент усиления усилителя. Входной слабый сигнал смешивается с сильным сигналом гетеродина, а полученный сильный выходной сигнал используется в последующих каскадах приемника.

Параметрические усилители также работают путем изменения параметра усилителя. Интуитивно это можно понять следующим образом, для усилителя на основе переменного конденсатора. Заряд в конденсаторе подчиняется: , следовательно, напряжение на нем равно . ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q=C\times V}$
${\displaystyle V={\frac {Q}{C}}}$

Зная вышесказанное, если конденсатор заряжается до тех пор, пока его напряжение не станет равным напряжению выборки входящего слабого сигнала, а затем емкость конденсатора уменьшается (скажем, путем ручного перемещения обкладок дальше друг от друга), то напряжение на конденсаторе увеличится. . Таким образом усиливается напряжение слабого сигнала.

Если конденсатор представляет собой варикап-диод , то «перемещение обкладок» можно осуществить, просто подав на варикап-диод изменяющееся во времени постоянное напряжение. Это управляющее напряжение обычно поступает от другого генератора, иногда называемого «насосом».

Результирующий выходной сигнал содержит частоты, которые представляют собой сумму и разность входного сигнала (f1) и сигнала накачки (f2): (f1 + f2) и (f1 − f2).

Практический параметрический генератор нуждается в следующих соединениях: одно для «общего» или « земли », одно для питания насоса, одно для получения выходного сигнала и, возможно, четвертое для смещения. Параметрическому усилителю необходим пятый порт для ввода усиливаемого сигнала. Поскольку варакторный диод имеет только два соединения, он может быть частью LC-цепи только с четырьмя собственными векторами с узлами на соединениях. Это может быть реализовано как трансимпедансный усилитель , усилитель бегущей волны или с помощью циркулятора .

Математическое уравнение

Уравнение параметрического осциллятора можно расширить, добавив внешнюю движущую силу : ${\displaystyle E(t)}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\beta (t){\frac {dx}{dt}}+\omega ^{2}(t)x=E(t)}$.

Будем считать, что затухание достаточно сильное, что в отсутствие вынуждающей силы амплитуда параметрических колебаний не расходится, т. е. что . В этой ситуации параметрическая накачка снижает эффективное демпфирование в системе. Для иллюстрации пусть демпфирование будет постоянным и предположим, что внешняя движущая сила имеет среднюю резонансную частоту , т. е . . Уравнение становится ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \alpha t<D}$ ${\displaystyle \beta (t)=\omega _{0}b}$ ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle E(t)=E_{0}\sin \omega _{0}t}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+b\omega _{0}{\frac {dx}{dt}}+\omega _{0}^{2}\left[1+h_{0}\sin 2\omega _{0}t\right]x=E_{0}\sin \omega _{0}t}$

решение которого приблизительно

${\displaystyle x(t)={\frac {2E_{0}}{\omega _{0}^{2}\left(2b-h_{0}\right)}}\cos \omega _{0}t}$.

По мере приближения к порогу амплитуда расходится. При , система входит в параметрический резонанс и амплитуда начинает расти экспоненциально даже в отсутствие вынуждающей силы . ${\displaystyle h_{0}}$ ${\displaystyle 2b}$ ${\displaystyle h_{0}\geq 2b}$ ${\displaystyle E(t)}$

Преимущества

1. Это очень чувствительно
2. усилитель с низким уровнем шума для сверхвысокочастотных и микроволновых радиосигналов

Другие важные математические результаты

Если параметры любого линейного дифференциального уравнения второго порядка периодически изменяются, анализ Флоке показывает, что решения должны изменяться либо синусоидально, либо экспоненциально.

Приведенное выше уравнение с периодическим изменением является примером уравнения Хилла . Если – простая синусоида, то уравнение называется уравнением Матье . ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle f(t)}$

Смотрите также

• Гармонический осциллятор
• уравнение Матье
• Оптический параметрический усилитель
• Оптический параметрический генератор

Рекомендации

1. Кейс, Уильям. «Два способа катания детских качелей». Архивировано из оригинала 9 декабря 2011 года . Проверено 27 ноября 2011 г.Примечание. На реальных игровых площадках качели преимущественно приводятся в действие приводными, а не параметрическими осцилляторами.
2. Case, WB (1996). «Накачка махов из положения стоя». Американский журнал физики . 64 (3): 215–220. Бибкод : 1996AmJPh..64..215C. дои : 10.1119/1.18209.
3. Роура, П.; Гонсалес, JA (2010). «К более реалистичному описанию качающейся накачки за счет обмена угловым моментом». Европейский журнал физики . 31 (5): 1195–1207. Бибкод : 2010EJPh...31.1195R. дои : 10.1088/0143-0807/31/5/020. S2CID  122086250.
4. Брайертон, Эрик; Мэйо, Мэри (15 мая 2015 г.). «Малошумящие усилители: расширяя границы низкого шума». Национальная радиоастрономическая обсерватория . Проверено 11 февраля 2020 г.
5. Фарадей, М. (1831) «Об особом классе акустических фигур; и об определенных формах, принимаемых группой частиц на вибрирующих упругих поверхностях», ^{[ постоянная мертвая ссылка ]} Philosophical Transactions of the Royal Society (London) , 121 : 299-318.
6. Мельде, Ф. (1860) «Über Erregung stehender Wellen eines fadenförmigen Körpers» [О возбуждении стоячих волн на струне], Annalen der Physik und Chemie (2-я серия), 109 : 193-215.
7. Стратт, Дж. В. (лорд Рэлей) (1883) «О поддерживаемых вибрациях», Архивировано 13 августа 2016 г., в философском журнале Wayback Machine , 5-я серия, 15 : 229-235.
8. Стратт, Дж. В. (лорд Рэлей) (1887) «О поддержании вибраций силами двойной частоты и о распространении волн через среду, наделенную периодической структурой», ^{[ постоянная мертвая ссылка ]} Philosophical Magazine , 5-я серия, 24 : 145-159.
9. Стратт, JW (лорд Рэлей) Теория звука , 2-е. ред. (Нью-Йорк, Нью-Йорк: Дувр, 1945), вып. 1, страницы 81-85.
10. См.:
    • Фитцджеральд, Джордж Ф. (29 января 1892 г.) «О движении электромагнитных колебаний с помощью электромагнитных и электростатических двигателей», The Electrician , 28 : 329-330.
    • Перепечатано: Джордж Фрэнсис Фицджеральд с Джозефом Лармором, изд., «Научные сочинения покойного Джорджа Фрэнсиса Фицджеральда» (Лондон, Англия: Longmans, Green и Co., 1902; Дублин, Ирландия: Hodges, Figgis & Co., 1902). , стр. 277–281. Архивировано 7 июля 2014 г. в Wayback Machine .
    • Перепечатано: (Анон.) (11 февраля 1892 г.) «Физическое общество, 22 января», Архивировано 12 июля 2011 г., в Wayback Machine Nature , 45 : 358-359.
11. Хон, Сунгук Хон (201). Беспроводная связь: от «черного ящика» Маркони к Audion. МТИ Пресс. стр. 158–161. ISBN 978-0262082983.
12. Александерсон, Эрнст Ф.В. (апрель 1916 г.) «Магнитный усилитель для аудиотелефонии» Труды Института радиоинженеров , 4 : 101-149.
13. Roer, TG (2012). Микроволновые электронные устройства. Springer Science and Business Media. п. 7. ISBN 978-1461525004.
14. Белл, М. (1957). «Заметка о функциях Матье». Математический журнал Глазго . 3 (3): 132–134. дои : 10.1017/S204061850003358X.
15. Ландау, Л.Д.; Лифшиц, Э.М. (1976). Механика (3-е изд.). Пергамон Пресс. ISBN 0 7506 2896 0.
16. Верхюльст, Фердинанд (2009), «Анализ возмущений параметрического резонанса» (PDF) , Энциклопедия сложности и системных наук , Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York, стр. 6625–6639, doi : 10.1007/978-0-387 -30440-3_393, ISBN 978-0-387-75888-6, заархивировано из оригинала 3 декабря 2020 г. , получено 25 июня 2023 г.
17. Ферхюльст, Фердинанд (01.06.2023). «Множественное временное и пространственное масштабирование для бифуркаций». Нелинейная динамика . 111 (12): 10693–10707. дои : 10.1007/s11071-023-08378-x . ISSN  1573-269X. S2CID  257593795.

дальнейшее чтение

• Кюн Л. (1914) Электротех. З. , 35 , 816-819.
• Мамфорд, WW (1960). «Некоторые заметки по истории параметрических преобразователей». Труды Института радиоинженеров . 48 (5): 848–853. дои : 10.1109/jrproc.1960.287620. S2CID  51646108.
• Пунгс Л. DRGM Nr. 588 822 (24 октября 1913 г.); Номер ДРП. 281440 (1913 г.); Электротех. З. , 44 , 78-81 (1923?); Учеб. ИРЭ , 49 , 378 (1961).
• Элмер, Франц-Иосиф, « Лаборатория параметрического резонансного маятника Базельского университета ». unibas.ch, 20 июля 1998 г.
• Купер, Джеффри, « Параметрический резонанс в волновых уравнениях с периодическим во времени потенциалом ». Журнал SIAM по математическому анализу, том 31, номер 4, стр. 821–835. Общество промышленной и прикладной математики, 2000.
• « Управляемый маятник: параметрический резонанс ». phys.cmu.edu (Демонстрация физической механики или классической механики. Резонансные колебания, возникающие в простом маятнике за счет периодически изменяющейся длины маятника.)
• Мамфорд, В.В., «Некоторые заметки по истории параметрических преобразователей ». Труды IRE, том 98, номер 5, стр. 848–853. Институт инженеров по электротехнике и электронике, май 1960 г.
• 2009, Фердинанд Верхюльст, Анализ возмущений параметрического резонанса , Энциклопедия сложности и системных наук, Springer.

Внешние ссылки

• Автопараметрический резонанс Тима — видео Тима Роуэтта, показывающее, как автопараметрический резонанс возникает в маятнике, сделанном с помощью пружины.