LC-цепи используются либо для генерации сигналов определенной частоты, либо для выделения сигнала определенной частоты из более сложного сигнала; эта функция называется полосовым фильтром . Они являются ключевыми компонентами многих электронных устройств, особенно радиооборудования, используемых в таких схемах, как генераторы , фильтры , тюнеры и смесители частот .
LC-цепь представляет собой идеализированную модель, поскольку предполагает отсутствие рассеяния энергии из-за сопротивления . Любая практическая реализация LC-цепи всегда будет включать потери, возникающие из-за небольшого, но ненулевого сопротивления внутри компонентов и соединительных проводов. Целью LC-цепи обычно является создание колебаний с минимальным затуханием , поэтому сопротивление делается как можно меньшим. Хотя ни одна практическая схема не обходится без потерь, тем не менее поучительно изучить эту идеальную форму схемы, чтобы обрести понимание и физическую интуицию. Модель схемы, включающую сопротивление, см. в разделе «Схема RLC» .
Терминология
Описанная выше двухэлементная LC-цепь представляет собой простейший тип индукторно-емкостной сети (или LC-сети ). Ее также называют LC-цепью второго порядка [1] [2] , чтобы отличить ее от более сложных (более высокого порядка) LC-цепей с большим количеством катушек индуктивности и конденсаторов. Такие LC-цепи с более чем двумя реактивными сопротивлениями могут иметь более одной резонансной частоты .
Порядок сети — это порядок рациональной функции , описывающей сеть в комплексной частотной переменной s . Обычно порядок равен количеству элементов L и C в схеме и ни в коем случае не может превышать это число.
Операция
LC-контур, колеблющийся на своей собственной резонансной частоте , может хранить электрическую энергию . Посмотрите анимацию. Конденсатор сохраняет энергию в электрическом поле ( E ) между своими обкладками в зависимости от напряжения на нем, а катушка индуктивности сохраняет энергию в своем магнитном поле ( B ) в зависимости от тока через него.
Если индуктор подключен к заряженному конденсатору, напряжение на конденсаторе будет пропускать ток через индуктор, создавая вокруг него магнитное поле. Напряжение на конденсаторе падает до нуля по мере того, как заряд расходуется током. В этот момент энергия, запасенная в магнитном поле катушки, индуцирует напряжение на катушке, поскольку индукторы противодействуют изменениям тока. Это индуцированное напряжение заставляет ток начинать перезаряжать конденсатор напряжением противоположной полярности его первоначальному заряду. Согласно закону Фарадея , ЭДС , которая вызывает ток, вызвана уменьшением магнитного поля, поэтому энергия, необходимая для зарядки конденсатора, извлекается из магнитного поля. Когда магнитное поле полностью рассеется, ток прекратится, и заряд снова сохранится в конденсаторе с противоположной полярностью, как и раньше. Затем цикл начнется снова, при этом ток будет течь через индуктор в противоположном направлении.
Заряд течет туда и обратно между обкладками конденсатора через индуктивность. Энергия колеблется взад и вперед между конденсатором и индуктором до тех пор, пока (если она не пополняется из внешней цепи) внутреннее сопротивление не заставит колебания затухнуть. Действие настроенной схемы, математически известное как гармонический осциллятор , похоже на раскачивание маятника взад и вперед или плеск воды взад и вперед в резервуаре; по этой причине схему также называют контуром резервуара . [3] Собственная частота (то есть частота, с которой он будет колебаться при изоляции от любой другой системы, как описано выше) определяется значениями емкости и индуктивности. В большинстве случаев настроенная схема является частью более крупной схемы, которая подает на нее переменный ток , вызывая непрерывные колебания. Если частота приложенного тока равна естественной резонансной частоте цепи ( собственная частота ниже), возникнет резонанс , и небольшой возбуждающий ток может возбудить колебательные напряжения и токи большой амплитуды. В типичных настроенных схемах электронного оборудования колебания очень быстрые: от тысяч до миллиардов раз в секунду. [ нужна цитата ]
Резонансный эффект
Резонанс возникает, когда LC-цепь возбуждается от внешнего источника с угловой частотой ω 0 , при которой индуктивные и емкостные реактивные сопротивления равны по величине. Частота, при которой это равенство выполняется для конкретного контура, называется резонансной частотой. Резонансная частота LC-контура равна
Резонансный эффект LC-контура имеет множество важных применений в системах обработки сигналов и связи.
Наиболее распространенное применение емкостных схем – настройка радиопередатчиков и приемников. Например, при настройке радио на определенную станцию LC-цепи устанавливаются в резонанс для этой конкретной несущей частоты .
Последовательный резонансный контур обеспечивает увеличение напряжения .
Параллельный резонансный контур обеспечивает усиление тока .
Параллельный резонансный контур может использоваться в качестве сопротивления нагрузки в выходных цепях радиочастотных усилителей. Из-за высокого импеданса коэффициент усиления усилителя максимален на резонансной частоте.
В индукционном нагреве используются как параллельные, так и последовательные резонансные контуры .
LC-цепи ведут себя как электронные резонаторы , которые являются ключевым компонентом во многих приложениях:
Таким образом, полное решение дифференциального уравнения есть
и может быть решено для A и B , рассматривая начальные условия. Поскольку экспонента комплексная , решение представляет собой синусоидальный переменный ток . Поскольку электрический ток I является физической величиной, он должен иметь действительное значение. В результате можно показать, что константы A и B должны быть комплексно-сопряженными :
Начальные условия, которые удовлетворяли бы этому результату, таковы:
Последовательная схема
В последовательной конфигурации LC-цепи катушка индуктивности (L) и конденсатор (C) соединены последовательно, как показано здесь. Общее напряжение V на открытых клеммах представляет собой просто сумму напряжения на катушке индуктивности и напряжения на конденсаторе. Ток I в положительном выводе цепи равен току через конденсатор и катушку индуктивности.
Резонанс
Индуктивное реактивное сопротивление увеличивается с увеличением частоты, тогда как емкостное реактивное сопротивление уменьшается с увеличением частоты (определяется здесь как положительное число). На одной конкретной частоте эти два реактивных сопротивления равны, и напряжения на них равны и противоположны по знаку; эта частота называется резонансной частотой f 0 для данной цепи.
Следовательно, при резонансе
Решая относительно ω , мы имеем
которая определяется как резонансная угловая частота контура. Преобразовав угловую частоту (в радианах в секунду) в частоту (в герцах ), получим
и
в .
В последовательной конфигурации X C и X L нейтрализуют друг друга. В реальных, а не идеализированных компонентах ток противодействует, главным образом, сопротивлением обмоток катушки. Таким образом, ток, подаваемый в последовательный резонансный контур, максимален при резонансе.
В пределе f → f 0 ток максимален. Сопротивление цепи минимально. В этом состоянии цепь называется акцепторной схемой [4]
Для f < f 0 , X L ≪ X C ; следовательно, цепь является емкостной.
Для f > f0 , X L ≫ X C ; _ следовательно, цепь является индуктивной.
Импеданс
В последовательной конфигурации резонанс возникает, когда комплексное электрическое сопротивление цепи приближается к нулю.
Сначала рассмотрим импеданс последовательной LC-цепи. Общий импеданс определяется как сумма индуктивного и емкостного импеданса:
Записав индуктивный импеданс как Z L = jωL , а емкостный импеданс как Z C =1/j ω Cи замена дает
Запись этого выражения под общим знаменателем дает
Наконец, определив собственную угловую частоту как
импеданс становится
где дает реактивное сопротивление катушки индуктивности при резонансе.
Числитель подразумевает, что в пределе ω → ± ω 0 полный импеданс Z будет равен нулю, а в противном случае не будет равен нулю. Следовательно, последовательная LC-цепь при последовательном подключении к нагрузке будет действовать как полосовой фильтр с нулевым импедансом на резонансной частоте LC-цепи.
Параллельная схема
Когда индуктор (L) и конденсатор (C) соединены параллельно, как показано здесь, напряжение V на открытых клеммах равно как напряжению на индукторе, так и напряжению на конденсаторе. Общий ток I , протекающий в положительный вывод цепи, равен сумме тока, протекающего через дроссель, и тока, протекающего через конденсатор:
Резонанс
Когда X L равно X C , токи двух ветвей равны и противоположны. Они нейтрализуют друг друга, чтобы обеспечить минимальный ток в основной линии (в принципе, нулевой ток). Однако между конденсатором и индуктором циркулирует большой ток. В принципе, этот циркулирующий ток бесконечен, но на самом деле ограничен сопротивлением цепи, особенно сопротивлением обмоток индуктора. Поскольку общий ток минимален, в этом состоянии общее сопротивление максимально.
Резонансная частота определяется выражением
Ток любой ветви не является минимальным при резонансе, но каждый определяется отдельно путем деления напряжения источника ( V ) на реактивное сопротивление ( Z ). Следовательно, я = В /З , согласно закону Ома .
При f 0 ток линии минимален. Общий импеданс максимальный. В этом состоянии цепь называется схемой режектора . [5]
Ниже f 0 схема является индуктивной.
Выше f0 схема является емкостной .
Импеданс
Тот же анализ можно применить к параллельной LC-цепи. Общий импеданс тогда определяется выражением
и после замены Z L = j ω L и Z C =1/j ω Cи упрощение дает
С использованием
это еще больше упрощает
Обратите внимание, что
но для всех остальных значений ω импеданс конечен.
Таким образом, параллельная LC-цепь, включенная последовательно с нагрузкой, будет действовать как полосовой фильтр , имеющий бесконечный импеданс на резонансной частоте LC-цепи, а параллельная LC-цепь, подключенная параллельно с нагрузкой, будет действовать как полосовой фильтр .
Начнем с определения связи между током и напряжением на конденсаторе и катушке индуктивности обычным способом:
и
Тогда, применяя законы Кирхгофа, мы можем прийти к основным дифференциальным уравнениям системы.
При начальных условиях и
Дав следующие определения,
и
дает
Теперь применим преобразование Лапласа.
Преобразование Лапласа превратило наше дифференциальное уравнение в алгебраическое уравнение. Решение для V в области s (частотной области) намного проще, а именно.
Который можно преобразовать обратно во временную область с помощью обратного преобразования Лапласа:
Для второго слагаемого необходима эквивалентная дробь :
Для второго слагаемого необходима эквивалентная дробь :
Последний член зависит от точной формы входного напряжения. Двумя распространенными случаями являются ступенчатая функция Хевисайда и синусоидальная волна . Для ступенчатой функции Хевисайда получаем
Для случая синусоидальной функции в качестве входных данных мы получаем:
где – амплитуда и частота прикладной функции.
Используя метод частичных дробей:
Упрощение с обеих сторон
Решаем уравнение для A, B и C:
Замените значения A, B и C:
Выделение константы и использование эквивалентных дробей для корректировки отсутствия числителя:
Выполнение обратного преобразования Лапласа для каждого слагаемого:
Использование начальных условий в решении Лапласа:
История
Первое свидетельство того, что конденсатор и катушка индуктивности могут производить электрические колебания, было обнаружено в 1826 году французским учёным Феликсом Савари . [6] [7] Он обнаружил, что когда лейденскую банку разряжали через проволоку, намотанную на железную иглу, иногда игла оставалась намагниченной в одном направлении, а иногда в противоположном. Он правильно пришел к выводу, что это было вызвано затухающим колеблющимся разрядным током в проводе, который менял намагниченность иглы взад и вперед до тех пор, пока он не стал слишком мал, чтобы оказывать эффект, оставляя иглу намагниченной в случайном направлении. Американский физик Джозеф Генри повторил эксперимент Савари в 1842 году и пришел к тому же выводу, по-видимому, независимо. [8] [9]
Ирландский ученый Уильям Томсон (лорд Кельвин) в 1853 году математически доказал, что разряд лейденской банки через индуктивность должен быть колебательным, и вычислил его резонансную частоту. [6] [8] [9] Британский радиоисследователь Оливер Лодж , разрядив большую батарею лейденских банок через длинный провод, создал настроенную цепь с резонансной частотой в звуковом диапазоне, которая создавала музыкальный тон из искры при его выписали. [8] В 1857 году немецкий физик Беренд Вильгельм Феддерсен сфотографировал искру, создаваемую резонансной цепью лейденской банки во вращающемся зеркале, предоставив видимое свидетельство колебаний. [6] [8] [9] В 1868 году шотландский физик Джеймс Клерк Максвелл рассчитал эффект от подачи переменного тока в цепь с индуктивностью и емкостью, показав, что отклик максимален на резонансной частоте. [6] Первый пример кривой электрического резонанса был опубликован в 1887 году немецким физиком Генрихом Герцем в его новаторской статье об открытии радиоволн, показывающей длину искры, получаемой от его искровых LC-резонаторных детекторов, как функцию частоты. . [6]
Одной из первых демонстраций резонанса между настроенными контурами был эксперимент Лоджа с «синтоническими банками» примерно в 1889 году. [6] [8] Он разместил рядом два резонансных контура, каждый из которых состоял из лейденской банки, соединенной с регулируемой одновитковой катушкой. с искровым промежутком. Когда к одной настроенной цепи подавалось высокое напряжение от индукционной катушки, создавая искры и, таким образом, колебательные токи, искры возбуждались в другой настроенной цепи только тогда, когда цепи были настроены на резонанс. Лодж и некоторые английские учёные предпочли для этого эффекта термин « синтония », но термин « резонанс » со временем прижился. [6] Первое практическое применение LC-цепей было в 1890-х годах в радиопередатчиках с искровым разрядником , что позволило настроить приемник и передатчик на одну и ту же частоту. Первый патент на радиосистему, допускающую настройку, был подан Лоджем в 1897 году, хотя первые практические системы были изобретены в 1900 году пионером итальянского радио Гульельмо Маркони . [6]
^ Макаров, Сергей Н.; Людвиг, Рейнхольд; Битар, Стивен Дж. (2016). Практическая электротехника. Спрингер. стр. Х-483. ISBN 9783319211732.
^ Дорф, Ричард С.; Свобода, Джеймс А. (2010). Введение в электрические цепи, 8-е изд. Джон Уайли и сыновья. п. 368. ИСБН9780470521571.
^ Рао, Б. Вишвешвара; и другие. (2012). Анализ электронных цепей. Индия: Pearson Education India. п. 13.6. ISBN978-9332511743.
^ «Что такое акцепторная схема?». qsstudy.com . Физика.].
^ "Цепь отбрасывателя" . Оксфордские словари. Английский . Архивировано из оригинала 20 сентября 2018 года . Проверено 20 сентября 2018 г.
^ abcdefgh Бланшар, Джулиан (октябрь 1941 г.). «История электрического резонанса». Технический журнал Bell System . США: American Telephone & Telegraph Co. 20 (4): 415–433. doi :10.1002/j.1538-7305.1941.tb03608.x. S2CID 51669988 . Проверено 29 марта 2011 г.
^ Савари, Феликс (1827). «Воспоминания о чувстве». Annales de Chimie et de Physique . Париж: Массон. 34 : 5–37.
^ abcde Кимбалл, Артур Лаланн (1917). Учебник физики для колледжа (2-е изд.). Нью-Йорк: Генри Холд. стр. 516–517.
^ abc Huurdeman, Антон А. (2003). Всемирная история телекоммуникаций. США: Wiley-IEEE. стр. 199–200. ISBN0-471-20505-2.
Внешние ссылки
В Wikibook Circuit Idea есть страница на тему: Как мы создаем синусоидальные колебания?
Электрический маятник Тони Купалдта — классическая история о работе танка LC.
То, как схема параллельного LC сохраняет энергию, является еще одним отличным ресурсом LC.