В геометрии усечение — это операция в любом измерении, которая разрезает вершины многогранника , создавая новую грань на месте каждой вершины. Термин происходит от названий, данных Кеплером архимедовым телам .
В общем случае любой многогранник (или политоп) может быть усечен с некоторой степенью свободы относительно глубины разреза, как показано в операции усечения в нотации многогранника Конвея .
Особый вид усечения, обычно подразумеваемый, — это равномерное усечение , оператор усечения, применяемый к правильному многограннику (или правильному многограннику ), который создает результирующий равномерный многогранник ( равномерный многогранник ) с равными длинами ребер. Степеней свободы нет, и он представляет собой фиксированную геометрию, как и правильные многогранники.
В общем случае все однородные многогранники с одним кольцом имеют однородное усечение. Например, икосододекаэдр , представленный символами Шлефли r{5,3} или , и диаграмма Коксетера-Дынкина 
или
имеет равномерное усечение, усеченный икосододекаэдр , представленный как tr{5,3} или ,
. В диаграмме Коксетера-Дынкина эффект усечения заключается в том, что все узлы, смежные с кольцевым узлом, оказываются закольцованными.
Равномерное усечение, выполненное на правильной треугольной мозаике {3,6}, приводит к правильной шестиугольной мозаике {6,3}.
Усеченный n-сторонний многоугольник будет иметь 2n сторон (ребер). Правильный многоугольник, равномерно усеченный, станет другим правильным многоугольником: t{n} есть {2n}. Полное усечение (или выпрямление ), r{3}, есть другой правильный многоугольник в его двойственном положении.
Правильный многоугольник также можно представить с помощью его диаграммы Коксетера-Дынкина ,
, и его равномерное усечение, и его полное усечение. Графикпредставляет собой группу Коксетера I 2 (n), где каждый узел представляет собой зеркало, а ребро представляет собой угол π/ n между зеркалами, а окружность вокруг одного или обоих зеркал показывает, какие из них активны.
Звездчатые многоугольники также могут быть усечены. Усеченная пентаграмма {5/2} будет выглядеть как пятиугольник , но на самом деле это дважды покрытый (вырожденный) декагон ({10/2}) с двумя наборами перекрывающихся вершин и ребер. Усеченная большая гептаграмма {7/3} дает тетрадекаграмму {14/3}.
Когда «усечение» применяется к платоновым телам или правильным мозаикам , обычно подразумевается «равномерное усечение», то есть усечение до тех пор, пока исходные грани не станут правильными многоугольниками с вдвое большим числом сторон, чем у исходной формы.
Эта последовательность показывает пример усечения куба, используя четыре шага непрерывного процесса усечения между полным кубом и выпрямленным кубом. Конечный многогранник — кубооктаэдр . Среднее изображение — однородный усеченный куб ; он представлен символом Шлефли t { p , q ,...}.
Бит -усечение — это более глубокое усечение, удаляющее все исходные ребра, но оставляющее внутреннюю часть исходных граней. Пример: усеченный октаэдр — это бит-усеченный куб: t{3,4} = 2t{4,3}.
Полное битракция, называемое биректификацией , сводит исходные грани к точкам. Для многогранников это становится двойственным многогранником . Пример: октаэдр является биректификацией куба : {3,4} = 2r{4,3}.
Другой тип усечения, кантелляция , обрезает ребра и вершины, удаляя исходные ребра, заменяя их прямоугольниками, удаляя исходные вершины и заменяя их гранями двойственных исходных правильных многогранников или мозаикой.
Многогранники более высокой размерности имеют более высокие усечения. Runcination разрезает грани, ребра и вершины. В 5 измерениях sterication разрезает ячейки, грани и ребра.
Усечение рёбер — это скос или фаска для многогранников, похожая на кантелляцию, но сохраняющая исходные вершины и заменяющая рёбра шестиугольниками. В 4-многогранниках усечение рёбер заменяет рёбра вытянутыми бипирамидальными ячейками.
Чередование или частичное усечение удаляет только некоторые из исходных вершин.
При частичном усечении или чередовании половина вершин и соединительных ребер полностью удаляются. Операция применима только к многогранникам с четными гранями. Грани сокращаются до половины сторон, а квадратные грани вырождаются в ребра. Например, тетраэдр — это чередующийся куб, h{4,3}.
Уменьшение — более общий термин, используемый в отношении тел Джонсона для удаления одной или нескольких вершин, ребер или граней многогранника без нарушения других вершин. Например, триуменьшаемый икосаэдр начинается с правильного икосаэдра с удаленными тремя вершинами.
Другие частичные усечения основаны на симметрии; например, тетраэдрически уменьшенный додекаэдр .
Процесс линейного усечения можно обобщить, разрешив параметрические усечения, которые являются отрицательными или выходят за пределы середины ребер, приводя к самопересекающимся звездчатым многогранникам, и могут параметрически соотноситься с некоторыми правильными звездчатыми многоугольниками и однородными звездчатыми многогранниками .
