Геометрическое групповое действие

В математике , в частности в геометрической теории групп , геометрическое групповое действие — это определенный тип действия дискретной группы на метрическом пространстве .

Определение

В геометрической теории групп геометрия — это любое правильное геодезическое метрическое пространство . Действие конечно-порожденной группы G на геометрию X является геометрическим, если оно удовлетворяет следующим условиям:

1. Каждый элемент G действует как изометрия X.
2. Действие кокомпактно , т.е. факторпространство X / G является компактным пространством .
3. Действие является по сути прерывистым , причем каждая точка имеет конечный стабилизатор .

Уникальность

Если группа G действует геометрически на две геометрии X и Y , то X и Y являются квазиизометричными . Поскольку любая группа действует геометрически на своем собственном графе Кэли , любое пространство, на котором G действует геометрически, является квазиизометричным графу Кэли группы G .

Примеры

Гипотеза Кэннона утверждает, что любая гиперболическая группа с 2-сферой на бесконечности действует геометрически на гиперболическом 3-пространстве.

Ссылки

• Кэннон, Джеймс У. (2002). «Геометрическая теория групп». Справочник по геометрической топологии . Северная Голландия. С. 261–305. ISBN 0-444-82432-4.