Квази-изометрия

Функция между двумя метрическими пространствами, которая учитывает только их крупномасштабную геометрию

В математике квазиизометрия — это функция между двумя метрическими пространствами , которая уважает крупномасштабную геометрию этих пространств и игнорирует их мелкомасштабные детали. Два метрических пространства являются квазиизометричными , если между ними существует квазиизометрия. Свойство быть квазиизометричным ведет себя как отношение эквивалентности на классе метрических пространств.

Концепция квазиизометрии особенно важна в геометрической теории групп , следуя работам Громова . ^[1]

Эта решетка квазиизометрична плоскости.

Определение

Предположим, что является (не обязательно непрерывной) функцией из одного метрического пространства во второе метрическое пространство . Тогда называется квазиизометрией из в , если существуют константы , и такие, что выполняются следующие два свойства: ^[2] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$ ${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$ ${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$ ${\displaystyle A\geq 1}$ ${\displaystyle B\geq 0}$ ${\displaystyle C\geq 0}$

1. Для каждых двух точек и в расстояние между их изображениями не превышает аддитивной константы в пределах от их исходного расстояния. Более формально: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

   ${\displaystyle \forall x,y\in M_{1}:{\frac {1}{A}}\;d_{1}(x,y)-B\leq d_{2}(f(x),f(y))\leq A\;d_{1}(x,y)+B.}$

2. Каждая точка находится на постоянном расстоянии от точки изображения. Более формально: ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle C}$

   ${\displaystyle \forall z\in M_{2}:\exists x\in M_{1}:d_{2}(z,f(x))\leq C.}$

Два метрических пространства и называются квазиизометрическими, если существует квазиизометрия из в . ${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$ ${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$ ${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$

Отображение называется квазиизометрическим вложением , если оно удовлетворяет первому условию, но не обязательно второму (т.е. оно грубо липшицево , но может не быть грубо сюръективным). Другими словами, если посредством отображения является квазиизометричным подпространству . ${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$ ${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$

Два метрических пространства M ₁ и M ₂ называются квазиизометричными и обозначаются , если существует квазиизометрия . ${\displaystyle M_{1}{\underset {q.i.}{\sim }}M_{2}}$ ${\displaystyle f:M_{1}\to M_{2}}$

Примеры

Отображение между евклидовой плоскостью и плоскостью с манхэттенским расстоянием , которое переводит каждую точку в себя, является квазиизометрией: в ней расстояния умножаются на коэффициент не более . Обратите внимание, что изометрии быть не может, поскольку, например, точки находятся на одинаковом расстоянии друг от друга в манхэттенском расстоянии, но в евклидовой плоскости нет 4 точек, которые находятся на одинаковом расстоянии друг от друга. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle (1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)}$

Карта (обе с евклидовой метрикой ), которая отправляет каждый -кортеж целых чисел в себя, является квазиизометрией: расстояния сохраняются точно, и каждый действительный кортеж находится в пределах расстояния от целого кортежа. В другом направлении, разрывная функция, которая округляет каждый кортеж действительных чисел до ближайшего целого кортежа, также является квазиизометрией: каждая точка переводится этой картой в точку в пределах расстояния от нее, поэтому округление изменяет расстояние между парами точек путем прибавления или вычитания не более . ${\displaystyle f:\mathbb {Z} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\sqrt {n/4}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {n/4}}}$ ${\displaystyle 2{\sqrt {n/4}}}$

Каждая пара конечных или ограниченных метрических пространств является квазиизометричной. В этом случае каждая функция из одного пространства в другое является квазиизометричной.

Отношение эквивалентности

Если — квазиизометрия, то существует квазиизометрия . Действительно, можно определить, положив — любую точку в изображении , которая находится на расстоянии от , и положив — любую точку в . ${\displaystyle f:M_{1}\mapsto M_{2}}$ ${\displaystyle g:M_{2}\mapsto M_{1}}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)}$

Поскольку тождественное отображение является квазиизометрией, а композиция двух квазиизометрий является квазиизометрией, то отсюда следует, что свойство быть квазиизометричным ведет себя как отношение эквивалентности на классе метрических пространств.

Использование в геометрической теории групп

Учитывая конечное порождающее множество S конечно порожденной группы G , мы можем сформировать соответствующий граф Кэли для S и G. Этот граф становится метрическим пространством, если мы объявим длину каждого ребра равной 1. Взятие другого конечного порождающего множества T приводит к другому графу и другому метрическому пространству, однако эти два пространства являются квазиизометрическими. ^[3] Таким образом, этот класс квазиизометрии является инвариантом группы G. Любое свойство метрических пространств, которое зависит только от класса квазиизометрии пространства, немедленно дает другой инвариант групп, открывая область теории групп для геометрических методов.

В более общем смысле лемма Шварца–Милнора утверждает, что если группа G действует собственно разрывно с компактным фактором на собственном геодезическом пространстве X , то G квазиизометрична X (что означает, что любой граф Кэли для G является таковым). Это дает новые примеры групп, квазиизометричных друг другу:

• Если G' — подгруппа конечного индекса в G , то G' квазиизометрична G ;
• Если G и H являются фундаментальными группами двух компактных гиперболических многообразий одинаковой размерности d, то они оба квазиизометричны гиперболическому пространству H ^d и, следовательно, друг другу; с другой стороны, существует бесконечно много классов квазиизометрии фундаментальных групп конечного объема. ^[4]

Квазигеодезические и лемма Морса

Квазигеодезическая в метрическом пространстве — это квазиизометрическое вложение в . Точнее, отображение такое, что существует , так что ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \phi :\mathbb {R} \to X}$ ${\displaystyle C,K>0}$

${\displaystyle \forall s,t\in \mathbb {R} :C^{-1}|s-t|-K\leq d(\phi (t),\phi (s))\leq C|s-t|+K}$

называется -квазигеодезической. Очевидно, что геодезические (параметризованные длиной дуги) являются квазигеодезическими. Тот факт, что в некоторых пространствах обратное грубо верно, т.е. что каждая квазигеодезическая остается в пределах ограниченного расстояния от истинной геодезической, называется леммой Морса (не путать с леммой Морса в дифференциальной топологии). Формально утверждение выглядит так: ${\displaystyle (C,K)}$

Пусть и собственное δ-гиперболическое пространство . Существует такое, что для любой -квазигеодезической существует геодезическая в такая, что для всех . ${\displaystyle \delta ,C,K>0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (C,K)}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d(\phi (t),L)\leq M}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$

Это важный инструмент в геометрической теории групп. Непосредственное применение состоит в том, что любая квазиизометрия между собственными гиперболическими пространствами индуцирует гомеоморфизм между их границами. Этот результат является первым шагом в доказательстве теоремы о жесткости Мостова .

Кроме того, этот результат нашел применение при анализе дизайна пользовательского взаимодействия в приложениях, подобных Google Maps . ^[5]

Примеры квазиизометрических инвариантов групп

Ниже приведены некоторые примеры свойств групповых графов Кэли, которые инвариантны относительно квазиизометрии: ^[2]

Гиперболичность

Группа называется гиперболической , если один из ее графов Кэли является δ-гиперболическим пространством для некоторого δ. При переходе между различными определениями гиперболичности конкретное значение δ может меняться, но полученные понятия гиперболической группы оказываются эквивалентными.

Гиперболические группы имеют разрешимую проблему слова . Они являются биавтоматическими и автоматическими .: ^[6] действительно, они являются строго геодезически автоматическими , то есть на группе существует автоматическая структура, где язык, принимаемый акцептором слова, является множеством всех геодезических слов.

Рост

Скорость роста группы относительно симметричного набора генераторов описывает размер шаров в группе. Каждый элемент в группе может быть записан как произведение генераторов, а скорость роста подсчитывает количество элементов, которые могут быть записаны как произведение длины n .

Согласно теореме Громова , группа полиномиального роста является практически нильпотентной , т.е. имеет нильпотентную подгруппу конечного индекса . В частности, порядок полиномиального роста должен быть натуральным числом и фактически . ${\displaystyle k_{0}}$ ${\displaystyle \#(n)\sim n^{k_{0}}}$

Если растет медленнее, чем любая экспоненциальная функция, G имеет субэкспоненциальную скорость роста . Любая такая группа является аменабельной . ${\displaystyle \#(n)}$

Концы

Концы топологического пространства , грубо говоря, являются связными компонентами «идеальной границы» пространства. То есть, каждый конец представляет собой топологически отличный способ перемещения к бесконечности внутри пространства. Добавление точки на каждом конце дает компактификацию исходного пространства, известную как концевая компактификация .

Концы конечно порожденной группы определяются как концы соответствующего графа Кэли ; это определение не зависит от выбора конечного порождающего множества. Каждая конечно порожденная бесконечная группа имеет либо 0, 1, 2, либо бесконечно много концов, и теорема Столлингса о концах групп дает разложение для групп с более чем одним концом.

Если два связных локально конечных графа квазиизометричны, то они имеют одинаковое число концов. ^[7] В частности, две квазиизометричные конечно порожденные группы имеют одинаковое число концов.

Податливость

Amenable group — это локально компактная топологическая группа G, несущая своего рода операцию усреднения на ограниченных функциях, которая инвариантна относительно переноса элементами группы. Первоначальное определение в терминах конечно-аддитивной инвариантной меры (или среднего) на подмножествах G было введено Джоном фон Нейманом в 1929 году под немецким названием «messbar» («measurable» на английском языке) в ответ на парадокс Банаха–Тарского . В 1949 году Махлон М. Дэй ввел английский перевод «amenable», по-видимому, как каламбур. ^[8]

В дискретной теории групп , где G имеет дискретную топологию , используется более простое определение. В этой обстановке группа является поддающейся, если можно сказать, какую долю G занимает любое заданное подмножество.

Если группа имеет последовательность Фёльнера , то она автоматически аменабельна.

Асимптотический конус

Ультрапредел — это геометрическая конструкция, которая сопоставляет последовательности метрических пространств X _n предельное метрическое пространство. Важным классом ультрапределов являются так называемые асимптотические конусы метрических пространств. Пусть ( X , d ) — метрическое пространство, пусть ω — неглавный ультрафильтр на и пусть p _n  ∈  X — последовательность базовых точек. Тогда ω —ультрапредел последовательности называется асимптотическим конусом X относительно ω и и обозначается . Часто последовательность базовых точек считается постоянной, p _n = p для некоторого p ∈ X ; в этом случае асимптотический конус не зависит от выбора p ∈ X и обозначается или просто . ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (X,{\frac {d}{n}},p_{n})}$ ${\displaystyle (p_{n})_{n}\,}$ ${\displaystyle Cone_{\omega }(X,d,(p_{n})_{n})\,}$ ${\displaystyle Cone_{\omega }(X,d)\,}$ ${\displaystyle Cone_{\omega }(X)\,}$

Понятие асимптотического конуса играет важную роль в геометрической теории групп, поскольку асимптотические конусы (или, точнее, их топологические типы и билипшицевы типы ) обеспечивают квазиизометрические инварианты метрических пространств в целом и конечно порожденных групп в частности. ^[9] Асимптотические конусы также оказываются полезным инструментом при изучении относительно гиперболических групп и их обобщений. ^[10]

Смотрите также

• Изометрия
• Грубая структура

Ссылки

1. Бридсон, Мартин Р. (2008), «Геометрическая и комбинаторная теория групп», в Gowers, Timothy ; Barrow-Green, June; Leader, Imre (ред.), The Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press, стр. 431–448, ISBN 978-0-691-11880-2
2. P. de la Harpe, Topics in geometry group theory . Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета, Чикаго, Иллинойс, 2000. ISBN 0-226-31719-6 
3. Р. Б. Шер и Р. Дж. Даверман (2002), Справочник по геометрической топологии , Северная Голландия. ISBN 0-444-82432-4 . 
4. Шварц, Ричард (1995). «Квазиизометрическая классификация решеток ранга один». IHÉ.S. Publications Mathématiques . 82 : 133–168. doi :10.1007/BF02698639. S2CID  67824718.
5. Барышников, Юлий; Грист, Роберт (2023-05-08). «Навигация по отрицательной кривизне Google Maps». The Mathematical Intelligencer . doi :10.1007/s00283-023-10270-w. ISSN  0343-6993.
6. Чарни, Рут (1992), «Группы Артина конечного типа являются биавтоматными», Mathematische Annalen , 292 : 671–683, doi :10.1007/BF01444642, S2CID  120654588
7. Стивен Г. Брик (1993). «Квазиизометрии и концы групп». Журнал чистой и прикладной алгебры . 86 (1): 23–33. doi :10.1016/0022-4049(93)90150-R.
8. Первое опубликованное использование этого слова Дэем было в его реферате для летней встречи AMS в 1949 году, Средства для полугрупп и групп, Бюллетень AMS 55 (1949) 1054–1055. Многие учебники по аменабельности, такие как Volker Runde's, предполагают, что Дэй выбрал это слово в качестве каламбура.
9. Джон Роу. Лекции по грубой геометрии. Американское математическое общество , 2003. ISBN 978-0-8218-3332-2 
10. Корнелия Друцу и Марк Сапир (с приложением Дениса Осина и Марка Сапира ), Древовидные пространства и асимптотические конусы групп. Топология , том 44 (2005), № 5, стр. 959–1058.