Гиперболическое уравнение в частных производных

Тип уравнений в частных производных

В математике гиперболическое уравнение в частных производных порядка — это уравнение в частных производных (УЧП), которое, грубо говоря, имеет корректно поставленную начальную задачу для первых производных. ^{[ требуется ссылка ]} Точнее, задача Коши может быть локально решена для произвольных начальных данных вдоль любой нехарактеристической гиперповерхности . Многие уравнения механики являются гиперболическими, и поэтому изучение гиперболических уравнений представляет существенный современный интерес. Модельным гиперболическим уравнением является волновое уравнение . В одном пространственном измерении это Уравнение обладает тем свойством, что если u и его первая производная по времени — произвольно заданные начальные данные на линии t = 0 (с достаточными свойствами гладкости), то существует решение для всех времен t . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n-1}$ $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$$

Решения гиперболических уравнений являются «волновыми». Если в начальные данные гиперболического дифференциального уравнения вносится возмущение, то не каждая точка пространства ощущает возмущение сразу. Относительно фиксированной временной координаты возмущения имеют конечную скорость распространения . Они распространяются вдоль характеристик уравнения. Эта особенность качественно отличает гиперболические уравнения от эллиптических уравнений в частных производных и параболических уравнений в частных производных . Возмущение начальных (или граничных) данных эллиптического или параболического уравнения ощущается сразу по существу всеми точками в области.

Хотя определение гиперболичности по сути является качественным, существуют точные критерии, которые зависят от конкретного вида рассматриваемого дифференциального уравнения. Существует хорошо разработанная теория для линейных дифференциальных операторов , созданная Ларсом Гордингом , в контексте микролокального анализа . Нелинейные дифференциальные уравнения являются гиперболическими, если их линеаризации являются гиперболическими в смысле Гординга. Существует несколько иная теория для систем уравнений первого порядка, исходящих из систем законов сохранения .

Определение

Уравнение в частных производных является гиперболическим в точке при условии, что задача Коши однозначно разрешима в окрестности для любых начальных данных, заданных на нехарактеристической гиперповерхности, проходящей через . ^[1] Здесь заданные начальные данные состоят из всех (поперечных) производных функции на поверхности с точностью до порядка, меньшего порядка дифференциального уравнения. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$

Примеры

Путем линейной замены переменных любое уравнение вида с можно преобразовать в волновое уравнение , за исключением членов низшего порядка, которые несущественны для качественного понимания уравнения. ^{[2] : 400} Это определение аналогично определению плоской гиперболы . $${\displaystyle A{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+2B{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+C{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\text{(lower order derivative terms)}}=0}$$ $${\displaystyle B^{2}-AC>0}$$

Одномерное волновое уравнение : является примером гиперболического уравнения. Двумерные и трехмерные волновые уравнения также попадают в категорию гиперболических PDE. Этот тип гиперболического уравнения в частных производных второго порядка может быть преобразован в гиперболическую систему дифференциальных уравнений первого порядка. ^{[2] : 402} $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0}$$

Гиперболическая система уравнений в частных производных

Ниже представлена ​​система уравнений в частных производных первого порядка для неизвестных функций , , где : ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},\ldots ,u_{s})}$ ${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {u}}({\vec {x}},t)}$ ${\displaystyle {\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{d}}$

где — непрерывно дифференцируемые функции, в общем случае нелинейные . ${\displaystyle {\vec {f}}^{j}\in C^{1}(\mathbb {R} ^{s},\mathbb {R} ^{s}),j=1,\ldots ,d}$

Далее для каждого определим матрицу Якоби ${\displaystyle {\vec {f}}^{j}}$ ${\displaystyle s\times s}$ $${\displaystyle A^{j}:={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}^{j}}{\partial u_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}^{j}}{\partial u_{s}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{s}^{j}}{\partial u_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{s}^{j}}{\partial u_{s}}}\end{pmatrix}},{\text{ for }}j=1,\ldots ,d.}$$

Система ( ∗ ) является гиперболической , если для всех матрица имеет только действительные собственные значения и диагонализируема . ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{d}\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A:=\alpha _{1}A^{1}+\cdots +\alpha _{d}A^{d}}$

Если матрица имеет s различных действительных собственных значений, то она диагонализируема. В этом случае система ( ∗ ) называется строго гиперболической . ${\displaystyle A}$

Если матрица симметрична, то она диагонализируема и собственные значения действительны. В этом случае система ( ∗ ) называется симметричной гиперболической . ${\displaystyle A}$

Гиперболическая система и законы сохранения

Существует связь между гиперболической системой и законом сохранения . Рассмотрим гиперболическую систему одного частного дифференциального уравнения для одной неизвестной функции . Тогда система ( ∗ ) имеет вид ${\displaystyle u=u({\vec {x}},t)}$

Здесь можно интерпретировать как величину, которая движется вокруг в соответствии с потоком, заданным . Чтобы увидеть, что величина сохраняется, проинтегрируйте ( ∗∗ ) по области ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\vec {f}}=(f^{1},\ldots ,f^{d})}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Omega }$ $${\displaystyle \int _{\Omega }{\frac {\partial u}{\partial t}}\,d\Omega +\int _{\Omega }\nabla \cdot {\vec {f}}(u)\,d\Omega =0.}$$

Если и являются достаточно гладкими функциями, мы можем воспользоваться теоремой о расходимости и изменить порядок интегрирования и получить закон сохранения для величины в общем виде , который означает, что скорость изменения времени в области равна чистому потоку через ее границу . Поскольку это равенство, можно сделать вывод, что сохраняется в пределах . ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\vec {f}}}$ ${\displaystyle \partial /\partial t}$ ${\displaystyle u}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega }u\,d\Omega +\int _{\partial \Omega }{\vec {f}}(u)\cdot {\vec {n}}\,d\Gamma =0,}$$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Omega }$

Смотрите также

• Эллиптическое уравнение в частных производных
• Гипоэллиптический оператор
• Параболическое уравнение в частных производных

Ссылки

1. Рождественский, Б.Л. (2001) [1994], "Гиперболическое уравнение в частных производных", Энциклопедия математики , EMS Press
2. Evans, Lawrence C. (2010) [1998], Уравнения с частными производными, Graduate Studies in Mathematics , т. 19 (2-е изд.), Providence, RI: American Mathematical Society , doi : 10.1090/gsm/019, ISBN 978-0-8218-4974-3, MR  2597943, OCLC  465190110

Дальнейшее чтение

• А.Д. Полянин, Справочник по линейным уравнениям в частных производных для инженеров и ученых , Chapman & Hall/CRC Press, Бока-Ратон, 2002. ISBN 1-58488-299-9 

Внешние ссылки

• «Гиперболическое уравнение в частных производных, численные методы», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Линейные гиперболические уравнения в EqWorld: Мир математических уравнений.
• Нелинейные гиперболические уравнения в EqWorld: Мир математических уравнений.