Гиперболическая траектория

Концепция в астродинамике

Синий путь на этом изображении — пример гиперболической траектории.

Гиперболическая траектория изображена в нижнем правом квадранте этой диаграммы, где гравитационный потенциальный колодец центральной массы показывает потенциальную энергию, а кинетическая энергия гиперболической траектории показана красным цветом. Высота кинетической энергии уменьшается по мере уменьшения скорости и увеличения расстояния в соответствии с законами Кеплера. Часть кинетической энергии, которая остается выше нуля полной энергии, связана с гиперболической избыточной скоростью.

В астродинамике или небесной механике гиперболическая траектория или гиперболическая орбита — это траектория любого объекта вокруг центрального тела с более чем достаточной скоростью, чтобы избежать гравитационного притяжения центрального объекта. Название происходит от того факта, что согласно теории Ньютона такая орбита имеет форму гиперболы . В более технических терминах это можно выразить условием, что эксцентриситет орбиты больше единицы.

При упрощенных предположениях тело, движущееся по этой траектории, будет двигаться по инерции к бесконечности, достигая конечной избыточной скорости относительно центрального тела. Подобно параболическим траекториям , все гиперболические траектории также являются траекториями ухода . Удельная энергия орбиты гиперболической траектории положительна.

Планетарные пролеты, используемые для гравитационных пращей , можно описать в пределах сферы влияния планеты с помощью гиперболических траекторий.

Параметры, описывающие гиперболическую траекторию

Подобно эллиптической орбите, гиперболическая траектория для данной системы может быть определена (игнорируя ориентацию) ее большой полуосью и эксцентриситетом. Однако в случае гиперболической орбиты другие параметры могут быть более полезны для понимания движения тела. В следующей таблице перечислены основные параметры, описывающие путь тела, следующего по гиперболической траектории вокруг другого при стандартных предположениях, и формула, связывающая их.

Большая полуось, энергия и гиперболическая избыточная скорость

Большая полуось ( ) не видна сразу при гиперболической траектории, но может быть построена, поскольку это расстояние от перицентра до точки пересечения двух асимптот. Обычно, по соглашению, она отрицательна, чтобы различные уравнения соответствовали эллиптическим орбитам. ${\displaystyle a\,\!}$

Большая полуось напрямую связана с удельной орбитальной энергией ( ) или характеристической энергией орбиты, а также со скоростью, которую тело достигает по мере того, как расстояние стремится к бесконечности, гиперболической избыточной скоростью ( ). ${\displaystyle \epsilon \,}$ ${\displaystyle C_{3}}$ ${\displaystyle v_{\infty }\,\!}$

${\displaystyle v_{\infty }^{2}=2\epsilon =C_{3}=-\mu /a}$ или ${\displaystyle a=-{\mu /{v_{\infty }^{2}}}}$

где: — стандартный гравитационный параметр , — характеристическая энергия, обычно используемая при планировании межпланетных миссий. ${\displaystyle \mu =Gm\,\!}$ ${\displaystyle C_{3}}$

Обратите внимание, что полная энергия положительна в случае гиперболической траектории (тогда как она отрицательна для эллиптической орбиты).

Эксцентриситет и угол между приближением и отклонением

При гиперболической траектории эксцентриситет орбиты ( ) больше 1. Эксцентриситет напрямую связан с углом между асимптотами. При эксцентриситете чуть больше 1 гипербола имеет острую форму «v». При асимптотах углы прямые. При асимптотах, отстоящих друг от друга более чем на 120°, и расстоянии перицентра больше большой полуоси. По мере дальнейшего увеличения эксцентриситета движение приближается к прямой линии. ${\displaystyle e\,}$ ${\displaystyle e={\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle e>2}$

Угол между направлением перицентра и асимптотой от центрального тела является истинной аномалией , поскольку расстояние стремится к бесконечности ( ), таков же и внешний угол между направлениями приближения и удаления (между асимптотами). Тогда ${\displaystyle \theta _{\infty }\,}$ ${\displaystyle 2\theta _{\infty }\,}$

${\displaystyle \theta {_{\infty }}=\cos ^{-1}(-1/e)\,}$или ${\displaystyle e=-1/\cos \theta {_{\infty }}\,}$

Параметр удара и расстояние наибольшего сближения

Гиперболические траектории, сопровождаемые объектами, приближающимися к центральному объекту (маленькая точка) с той же гиперболической избыточной скоростью (и большой полуосью (=1)) и с того же направления, но с разными параметрами удара и эксцентриситетами. Желтая линия действительно проходит вокруг центральной точки, приближаясь к ней вплотную.

Параметр удара — это расстояние, на которое тело, если оно продолжит движение по невозмущенной траектории, пройдёт мимо центрального тела при максимальном сближении . Для тел, испытывающих гравитационные силы и следующих по гиперболическим траекториям, он равен малой полуоси гиперболы.

В ситуации, когда космический корабль или комета приближается к планете, параметр удара и избыточная скорость будут известны точно. Если центральное тело известно, траектория теперь может быть найдена, включая то, насколько близко приближающееся тело будет находиться в перицентре. Если это меньше радиуса планеты, следует ожидать удара. Расстояние наибольшего сближения, или расстояние перицентра, определяется по формуле:

${\displaystyle r_{p}=-a(e-1)={\frac {\mu }{v_{\infty }^{2}}}\left({\sqrt {1+\left(b{\frac {v_{\infty }^{2}}{\mu }}\right)^{2}}}-1\right)}$

Таким образом, если комета, приближающаяся к Земле (эффективный радиус ~6400 км) со скоростью 12,5 км/с (приблизительная минимальная скорость сближения тела, прибывающего из внешней Солнечной системы ), должна избежать столкновения с Землей, параметр удара должен быть не менее 8600 км, или на 34% больше радиуса Земли. Телу, приближающемуся к Юпитеру (радиус 70000 км) из внешней Солнечной системы со скоростью 5,5 км/с, потребуется параметр удара не менее 770000 км, или в 11 раз больше радиуса Юпитера, чтобы избежать столкновения.

Если масса центрального тела неизвестна, его стандартный гравитационный параметр, а следовательно, и его масса, могут быть определены по отклонению меньшего тела вместе с параметром удара и скоростью сближения. Поскольку обычно все эти переменные могут быть определены точно, пролет космического корабля даст хорошую оценку массы тела.

${\displaystyle \mu =bv_{\infty }^{2}\tan \delta /2}$где - угол, на который отклоняется меньшее тело от прямой линии своего движения. ${\displaystyle \delta =2\theta _{\infty }-\pi }$

Уравнения движения

Позиция

В гиперболической траектории истинная аномалия связана с расстоянием между вращающимися телами ( ) уравнением орбиты : ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle r\,}$

${\displaystyle r={\frac {\ell }{1+e\cdot \cos \theta }}}$

Соотношение между истинной аномалией θ и эксцентрической аномалией E (альтернативно гиперболической аномалией H ) следующее: ^[3]

${\displaystyle \cosh {E}={{\cos {\theta }+e} \over {1+e\cdot \cos {\theta }}}}$     или         или   ${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {e+1}{e-1}}}\cdot \tanh {\frac {E}{2}}}$ ${\displaystyle \tanh {\frac {E}{2}}={\sqrt {\frac {e-1}{e+1}}}\cdot \tan {\frac {\theta }{2}}}$

Эксцентрическая аномалия E связана со средней аномалией M уравнением Кеплера :

${\displaystyle M=e\sinh E-E}$

Средняя аномалия пропорциональна времени

${\displaystyle M={\sqrt {\frac {\mu }{-a^{3}}}}.(t-\tau ),}$где μ — гравитационный параметр , а a — большая полуось орбиты.

Угол траектории полета

Угол траектории полета (φ) — это угол между направлением скорости и перпендикуляром к радиальному направлению, поэтому он равен нулю в перицентре и стремится к 90 градусам на бесконечности.

${\displaystyle \tan(\phi )={\frac {e\cdot \sin \theta }{1+e\cdot \cos \theta }}}$

Скорость

При стандартных предположениях орбитальная скорость ( ) тела, движущегося по гиперболической траектории, может быть вычислена из уравнения vis-viva следующим образом: ${\displaystyle v\,}$

${\displaystyle v={\sqrt {\mu \left({2 \over {r}}+{1 \over {a}}\right)}}}$^[4]

где:

• ${\displaystyle \mu \,}$стандартный гравитационный параметр ,
• ${\displaystyle r\,}$- радиальное расстояние вращающегося тела от центрального тела ,
• ${\displaystyle a\,\!}$— (отрицательная) большая полуось .

При стандартных предположениях в любой точке орбиты справедливо следующее соотношение для орбитальной скорости ( ), локальной скорости убегания ( ) и гиперболической избыточной скорости ( ): ${\displaystyle v\,}$ ${\displaystyle {v_{esc}}\,}$ ${\displaystyle v_{\infty }\,\!}$

${\displaystyle v^{2}={v_{esc}}^{2}+{v_{\infty }}^{2}}$

Обратите внимание, что это означает, что относительно небольшое дополнительное delta- v сверх того, что необходимо для ускорения до скорости побега, приводит к относительно большой скорости на бесконечности. Например, в месте, где скорость побега составляет 11,2 км/с, добавление 0,4 км/с дает гиперболическую избыточную скорость 3,02 км/с.

${\displaystyle {\sqrt {11.6^{2}-11.2^{2}}}=3.02}$

Это пример эффекта Оберта . Обратное также верно — телу не нужно замедляться намного по сравнению с его гиперболической избыточной скоростью (например, за счет сопротивления атмосферы вблизи перицентра), чтобы скорость упала ниже второй космической скорости и, таким образом, чтобы тело было захвачено.

Радиальная гиперболическая траектория

Радиальная гиперболическая траектория — это непериодическая траектория на прямой , где относительная скорость двух объектов всегда превышает скорость убегания . Возможны два случая: тела удаляются друг от друга или приближаются друг к другу. Это гиперболическая орбита с малой полуосью = 0 и эксцентриситетом = 1. Хотя эксцентриситет равен 1, это не параболическая орбита.

Отклонение с конечной сферой влияния

Более точная формула для угла отклонения, учитывающая радиус сферы влияния отклоняющего тела, предполагая наличие перицентра, имеет вид: ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle R_{\text{SOI}}}$ ${\displaystyle p_{e}}$

${\displaystyle \delta =2\arcsin \left({\frac {{\sqrt {1-{\frac {p_{e}}{R_{\text{SOI}}}}}}{\sqrt {1+{\frac {p_{e}}{R_{\text{SOI}}}}-{\frac {2\mu p_{e}}{v_{\infty }^{2}R_{\text{SOI}}^{2}}}}}}{1+{\frac {v_{\infty }^{2}p_{e}}{\mu }}-{\frac {2p_{e}}{R_{\text{SOI}}}}}}\right)}$

Релятивистская задача двух тел

В контексте проблемы двух тел в общей теории относительности траектории объектов с достаточной энергией, чтобы избежать гравитационного притяжения другого, больше не имеют форму гиперболы. Тем не менее, термин «гиперболическая траектория» по-прежнему используется для описания орбит этого типа.

Смотрите также

• Орбита
• Уравнение орбиты
• орбита Кеплера
• Список орбит
• Планетарный пролет
• Гиперболический астероид
• Список гиперболических комет

Ссылки

• Валладо, Дэвид А. (2007). Основы астродинамики и их применение, третье издание . Хоуторн, Калифорния: Hawthorne Press. ISBN 978-1-881883-14-2.

1. ТАК, Кеплер; Сарайва, Мария де Фатима (2014). Астрономия и астрофизика . Порту-Алегри: Факультет астрономии - Институт физики Федерального университета Риу-Гранди-ду-Сул. стр. 97–106.
2. "Основы космического полета: Орбитальная механика". Архивировано из оригинала 2012-02-04 . Получено 2012-02-28 .
3. Пит, Мэтью М. (13 июня 2019 г.). «Динамика и управление космическими аппаратами» (PDF) .
4. Орбитальная механика и астродинамика Брайана Вебера: https://orbital-mechanics.space/the-orbit-equation/hyperbolic-trajectories.html

Внешние ссылки

• Траектории
• Орбиты
• Гиперболический