Гипотеза Бинга–Борсука

В математике гипотеза Бинга–Борсука утверждает, что каждое -мерное однородное абсолютное окрестностное ретрактное пространство является топологическим многообразием . Гипотеза была доказана для размерностей 1 и 2, и известно, что 3-мерная версия гипотезы влечет гипотезу Пуанкаре . ${\displaystyle n}$

Определения

Топологическое пространство однородно , если для любых двух точек существует гомеоморфизм , который переводит в . ${\displaystyle m_{1},m_{2}\in M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle m_{2}}$

Метрическое пространство является абсолютным окрестностным ретрактом (ANR), если для каждого замкнутого вложения (где — метрическое пространство) существует открытая окрестность образа , которая ретрактуется в . ^[1] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f(M)}$ ${\displaystyle f(M)}$

Существует альтернативное утверждение гипотезы Бинга–Борсука: предположим, что вложено в для некоторого и это вложение может быть расширено до вложения . Если имеет окрестность цилиндра отображения некоторого отображения с проекцией цилиндра отображения , то является приближенным расслоением . ^[2] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m+n}}$ ${\displaystyle m\geq 3}$ ${\displaystyle M\times (-\varepsilon ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N=C_{\varphi }}$ ${\displaystyle \varphi :\partial N\rightarrow M}$ ${\displaystyle \pi :N\rightarrow M}$ ${\displaystyle \pi }$

История

Гипотеза была впервые высказана в статье Р. Х. Бинга и Кароля Борсука в 1965 году, которые доказали ее для и 2. ^[3] ${\displaystyle n=1}$

В 1978 году Влодзимеж Якобше показал, что если гипотеза Бинга–Борсука верна в размерности 3, то гипотеза Пуанкаре также должна быть верна. ^[4]

Гипотеза Буземана утверждает, что каждое -пространство Буземана ${\displaystyle G}$ является топологическим многообразием. Это частный случай гипотезы Бинга–Борсука. Известно, что гипотеза Буземана верна для размерностей от 1 до 4.

Ссылки

1. М., Халверсон, Дениз; Душан, Реповш (23 декабря 2008 г.). «Гипотезы Бинга–Борсука и Буземана». Математические коммуникации . 13 (2). arXiv : 0811.0886 . ISSN  1331-0623.{{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
2. Daverman, RJ ; Husch, LS (1984). «Разложения и приближенные расслоения». The Michigan Mathematical Journal . 31 (2): 197–214. doi : 10.1307/mmj/1029003024 . ISSN  0026-2285.
3. Бинг, Р. Х.; Арментроут, Стив (1998). Собрание статей Р. Х. Бинга. Американское математическое общество. стр. 167. ISBN 9780821810477.
4. Якобше, В. «Гипотеза Бинга–Борсука сильнее гипотезы Пуанкаре». Fundamenta Mathematicae . 106 (2). ISSN  0016-2736.