Догадка Каталана

Единственное нетривиальное положительное целочисленное решение для x^ay^b равно 1 — это 3^2-2^3

Гипотеза Каталана (или теорема Михайлеску ) — теорема в теории чисел, выдвинутая математиком Эженом Шарлем Каталаном в 1844 году и доказанная в 2002 году Предой Михайлеску в Университете Падерборна . ^[1] [ ^2] Целые числа 2 ³ и 3 ² являются двумя совершенными степенями (то есть степенями показателя выше единицы) натуральных чисел , значения которых (8 и 9 соответственно) являются последовательными. Теорема утверждает, что это единственный случай двух последовательных совершенных степеней. То есть, что

Гипотеза Каталана  —  единственное решение в натуральных числах

${\displaystyle x^{a}-y^{b}=1}$

для a , b > 1 , x , y > 0 имеет место x = 3 , a = 2 , y = 2 , b = 3 .

История

История проблемы восходит по крайней мере к Герсониду , который доказал частный случай гипотезы в 1343 году, где ( x , y ) было ограничено до (2, 3) или (3, 2). Первый значительный прогресс после того, как Каталан выдвинул свою гипотезу, произошел в 1850 году, когда Виктор-Амедей Лебег рассмотрел случай b = 2. ^[3]

В 1976 году Роберт Тиджеман применил метод Бейкера в теории трансцендентности для установления границы на a , b и использовал существующие результаты, ограничивающие x , y в терминах a , b, чтобы дать эффективную верхнюю границу для x , y , a , b . Мишель Ланжевен вычислил значение для границы, ^[4] разрешив гипотезу Каталана для всех случаев, кроме конечного числа. ${\displaystyle \exp \exp \exp \exp 730\approx 10^{10^{10^{10^{317}}}}}$

Гипотеза Каталана была доказана Предой Михайлеску в апреле 2002 года. Доказательство было опубликовано в Journal für die reine und angewandte Mathematik , 2004. Оно широко использует теорию циклотомических полей и модулей Галуа . Изложение доказательства было дано Юрием Билу в Séminaire Bourbaki . ^[5] В 2005 году Михайлеску опубликовал упрощенное доказательство. ^[6]

Гипотеза Пиллаи

Нерешенная задача по математике :

Встречается ли каждое положительное целое число лишь конечное число раз в виде разности совершенных степеней?

(еще нерешенные проблемы по математике)

Гипотеза Пиллаи касается общей разности совершенных степеней (последовательность A001597 в OEIS ): это открытая проблема, первоначально предложенная SS Pillai , который предположил, что пробелы в последовательности совершенных степеней стремятся к бесконечности. Это эквивалентно утверждению, что каждое положительное целое число встречается только конечное число раз как разность совершенных степеней: в более общем смысле, в 1931 году Пиллаи предположил, что для фиксированных положительных целых чисел A , B , C уравнение имеет только конечное число решений ( x ,  y ,  m ,  n ) с ( m ,  n ) ≠ (2, 2). Пиллаи доказал, что для фиксированных A , B , x , y и для любого λ меньше 1 мы имеем равномерно по m и n . ^[7] ${\displaystyle Ax^{n}-By^{m}=C}$ ${\displaystyle |Ax^{n}-By^{m}|\gg x^{\lambda n}}$

Общая гипотеза вытекает из гипотезы ABC . ^{[7] [8]}

Гипотеза Пиллаи означает, что для каждого натурального числа n существует только конечное число пар совершенных степеней с разностью n . В списке ниже показаны для n  ≤ 64 все решения для совершенных степеней, меньших 10 ¹⁸ , такие, что показатель обеих степеней больше 1. Количество таких решений для каждого n указано в OEIS : A076427 . См. также OEIS : A103953 для наименьшего решения (> 0).

Смотрите также

• Гипотеза Била
• Уравнение х ^у = у ^х
• Гипотеза Ферма–Каталана
• кривая Морделла
• Уравнение Рамануджана–Нагелла
• Теорема Штёрмера
• Теорема Тейдемана
• Теорема Тейна

Примечания

1. Вайсштейн, Эрик В. , Гипотеза Каталана, MathWorld
2. Михайлеску 2004
3. Виктор-Амеде Лебег (1850), «Sur l'impossabilité, en nombres entiers, de l'équation x ^m = y ² +1», Nouvelles annales de mathématiques , 1 ^re série, 9 : 178–181
4. Рибенбойм, Пауло (1979), 13 лекций по Великой теореме Ферма , Springer-Verlag , стр. 236, ISBN 0-387-90432-8, ЗБЛ  0456.10006
5. Билу, Юрий (2004), «Гипотеза Каталонца», Séminaire Bourbaki vol. 2003/04 Разоблачения 909–923 , Asterisque, vol. 294, стр. 1–26.
6. Михайлеску 2005
7. Narkiewicz, Wladyslaw (2011), Теория рациональных чисел в 20 веке: от PNT до FLT , Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag , стр. 253–254, ISBN 978-0-857-29531-6
8. Шмидт, Вольфганг М. (1996), Диофантовы приближения и диофантовы уравнения , Lecture Notes in Mathematics, т. 1467 (2-е изд.), Springer-Verlag , стр. 207, ISBN 3-540-54058-X, ЗБЛ  0754.11020

Ссылки

• Билу, Юрий (2004), «Гипотеза Каталонца (по Михайлеску)», Asterisque , 294 : vii, 1–26, MR  2111637
• Каталонец, Эжен (1844), «Extraite d'une lettre adressée à l'éditeur», Ж. Рейн Ангью. Математика. (на французском языке), 27 : 192, doi : 10.1515/crll.1844.27.192, MR  1578392
• Коэн, Анри (2005). Демонстрация каталонской гипотезы [ Доказательство каталонской гипотезы ]. Теория алгоритмических чисел и диофантовых уравнений (на французском языке). Палезо: Éditions de l'École Polytechnique. стр. 1–83. ISBN 2-7302-1293-0. МР  0222434.
• Metsänkylä, Tauno (2004), «Гипотеза Каталана: решена еще одна старая диофантова проблема» (PDF) , Бюллетень Американского математического общества , 41 (1): 43–57, doi : 10.1090/S0273-0979-03-00993-5 , MR  2015449
• Михайлеску, Преда (2004), «Первичные циклотомические единицы и доказательство гипотезы Каталана», J. Reine Angew. Math. , 2004 (572): 167–195, doi :10.1515/crll.2004.048, MR  2076124
• Mihăilescu, Preda (2005), «Отражение, числа Бернулли и доказательство гипотезы Каталана» (PDF) , Европейский математический конгресс , Цюрих: Eur. Math. Soc.: 325–340, MR  2185753, архивировано из оригинала (PDF) 2022-06-26
• Рибенбойм, Пауло (1994), Гипотеза Каталана , Бостон, Массачусетс: Academic Press, Inc., ISBN 0-12-587170-8, МР  1259738 Предшествует доказательству Михайлеску.
• Тейдеман, Роберт (1976), «Об уравнении каталонского языка» (PDF) , Acta Arith. , 29 (2): 197–209, doi : 10.4064/aa-29-2-197-209 , MR  0404137

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза Каталана». MathWorld .
• MathTrek Иварса Петерсона
• О разнице совершенных степеней
• Жанин Дэмс: Циклотомическое доказательство гипотезы Каталана