Трансцендентная теория чисел

Изучение чисел, не являющихся решениями многочленов с рациональными коэффициентами

Теория трансцендентных чисел — раздел теории чисел , изучающий трансцендентные числа (числа, которые не являются решениями какого-либо полиномиального уравнения с рациональными коэффициентами ) как качественно, так и количественно.

Трансцендентность

Основная теорема алгебры гласит, что если у нас есть непостоянный многочлен с рациональными коэффициентами (или, что эквивалентно, путем очистки знаменателей , с целыми коэффициентами), то этот многочлен будет иметь корень в комплексных числах . То есть, для любого непостоянного многочлена с рациональными коэффициентами найдется комплексное число такое, что . Теория трансцендентности занимается обратным вопросом: дано комплексное число , существует ли многочлен с рациональными коэффициентами такой, что Если такого многочлена не существует, то число называется трансцендентным. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle P(\alpha )=0}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P(\alpha )=0?}$

В более общем смысле теория имеет дело с алгебраической независимостью чисел. Набор чисел {α ₁ , α ₂ , …, α _n } называется алгебраически независимым над полем K, если не существует ненулевого многочлена P от n переменных с коэффициентами в K, такого, что P (α ₁ , α ₂ , …, α _n ) = 0. Таким образом, определение того, является ли заданное число трансцендентным, на самом деле является частным случаем алгебраической независимости, где n  = 1, а поле K является полем рациональных чисел .

Связанное понятие — существует ли выражение в замкнутой форме для числа, включая экспоненты и логарифмы, а также алгебраические операции. Существуют различные определения «замкнутой формы», и вопросы о замкнутой форме часто можно свести к вопросам о трансцендентности.

История

Аппроксимация рациональными числами: Лиувилля к Роту

Использование термина «трансцендентный» для обозначения объекта, который не является алгебраическим, восходит к семнадцатому веку, когда Готфрид Лейбниц доказал, что функция синуса не является алгебраической функцией . ^[1] Вопрос о том, могут ли некоторые классы чисел быть трансцендентными, восходит к 1748 году ^[2], когда Эйлер утверждал ^[3] , что число log _a b не является алгебраическим для рациональных чисел a и b, при условии, что b не имеет вида b  =  a ^c для некоторого рационального c .

Утверждение Эйлера не было доказано до двадцатого века, но почти через сто лет после его заявления Жозеф Лиувилль сумел доказать существование чисел, которые не являются алгебраическими, что до тех пор не было известно наверняка. ^[4] Его оригинальные статьи по этому вопросу в 1840-х годах набросали аргументы, использующие простые цепные дроби для построения трансцендентных чисел. Позже, в 1850-х годах, он дал необходимое условие для того, чтобы число было алгебраическим, и, таким образом, достаточное условие для того, чтобы число было трансцендентным. ^[5] Этот критерий трансцендентности был недостаточно сильным, чтобы быть необходимым, и, действительно, он не обнаруживает, что число e является трансцендентным. Но его работа действительно предоставила более широкий класс трансцендентных чисел, теперь известных как числа Лиувилля в его честь.

Критерий Лиувилля по сути утверждал, что алгебраические числа не могут быть очень хорошо аппроксимированы рациональными числами. Поэтому, если число может быть очень хорошо аппроксимировано рациональными числами, то оно должно быть трансцендентным. Точное значение «очень хорошо аппроксимировано» в работе Лиувилля относится к определенному показателю степени. Он показал, что если α — алгебраическое число степени d  ≥ 2, а ε — любое число больше нуля, то выражение

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{d+\varepsilon }}}}$

может быть удовлетворено только конечным числом рациональных чисел p / q . Использование этого в качестве критерия трансцендентности нетривиально, поскольку необходимо проверить, существует ли бесконечно много решений p / q для каждого d  ≥ 2.

В двадцатом веке работа Акселя Туэ ^[6] , Карла Зигеля ^[7] и Клауса Рота ^[8] уменьшила показатель степени в работе Лиувилля с d  + ε до d /2 + 1 + ε, и, наконец, в 1955 году до 2 + ε. Этот результат, известный как теорема Туэ–Зигеля–Рота , по-видимому, является наилучшим возможным, поскольку если показатель степени 2 + ε заменить просто на 2, то результат больше не будет верным. Однако Серж Ланг предположил улучшение результата Рота; в частности, он предположил, что q ^2+ε в знаменателе правой части можно уменьшить до . ${\displaystyle q^{2}(\log q)^{1+\epsilon }}$

Работа Рота фактически завершила работу, начатую Лиувиллем, и его теорема позволила математикам доказать трансцендентность многих других чисел, таких как константа Чамперноуна . Однако теорема все еще недостаточно сильна, чтобы обнаружить все трансцендентные числа, и многие известные константы, включая e и π, либо не являются, либо, как известно, не очень хорошо приближаемыми в указанном выше смысле. ^[9]

Вспомогательные функции: от Эрмита до Бейкера

К счастью, в девятнадцатом веке были разработаны другие методы для работы с алгебраическими свойствами e и, следовательно, π через тождество Эйлера . Эта работа была сосредоточена на использовании так называемой вспомогательной функции . Это функции , которые обычно имеют много нулей в рассматриваемых точках. Здесь «много нулей» может означать много различных нулей или всего один ноль, но с высокой кратностью , или даже много нулей, все с высокой кратностью. Шарль Эрмит использовал вспомогательные функции, которые аппроксимировали функции для каждого натурального числа, чтобы доказать трансцендентность в 1873 году. ^[10] Его работа была основана Фердинандом фон Линдеманном в 1880-х годах ^[11] для того, чтобы доказать, что e ^α является трансцендентным для ненулевых алгебраических чисел α. В частности, это доказало, что π является трансцендентным, поскольку e ^{π i} является алгебраическим, и таким образом дало отрицательный ответ на проблему античности о том, возможно ли квадрировать круг . Карл Вейерштрасс развил их работу еще дальше и в конечном итоге доказал теорему Линдемана–Вейерштрасса в 1885 году. ^[12] ${\displaystyle e^{kx}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle e}$

В 1900 году Давид Гильберт сформулировал свой знаменитый сборник проблем . Седьмая из них , и одна из самых сложных по оценке Гильберта, спрашивала о трансцендентности чисел вида a ^b , где a и b являются алгебраическими, a не равно нулю или единице, а b иррационально . В 1930-х годах Александр Гельфонд ^[13] и Теодор Шнайдер ^{[14] доказали, что все такие числа действительно трансцендентны} , используя неявную вспомогательную функцию, существование которой было предоставлено леммой Зигеля . Этот результат, теорема Гельфонда–Шнайдера , доказал трансцендентность таких чисел, как e π и константа Гельфонда–Шнайдера .

Следующий большой результат в этой области был получен в 1960-х годах, когда Алан Бейкер добился прогресса в проблеме, поставленной Гельфондом о линейных формах в логарифмах . Сам Гельфонд сумел найти нетривиальную нижнюю границу для величины

${\displaystyle |\beta _{1}\log \alpha _{1}+\beta _{2}\log \alpha _{2}|\,}$

где все четыре неизвестных являются алгебраическими, причем α не равны ни нулю, ни единице, а β иррациональны. Однако нахождение подобных нижних границ для суммы трех или более логарифмов ускользнуло от Гельфонда. Доказательство теоремы Бейкера содержало такие границы, решая проблему Гаусса о числе классов для класса номер один в процессе. Эта работа принесла Бейкеру медаль Филдса за ее использование в решении диофантовых уравнений . С чисто трансцендентной теоретико-числовой точки зрения Бейкер доказал, что если α ₁ , ..., α _n являются алгебраическими числами, ни одно из которых не равно нулю или единице, и β ₁ , ..., β _n являются алгебраическими числами, такими, что 1, β ₁ , ..., β _n линейно независимы над рациональными числами, то число

${\displaystyle \alpha _{1}^{\beta _{1}}\alpha _{2}^{\beta _{2}}\cdots \alpha _{n}^{\beta _{n}}}$

трансцендентно. ^[15]

Другие методы: Кантор и Зильбер

В 1870-х годах Георг Кантор начал разрабатывать теорию множеств и в 1874 году опубликовал статью , доказывающую, что алгебраические числа могут быть поставлены во взаимно-однозначное соответствие с множеством натуральных чисел , и, таким образом, что множество трансцендентных чисел должно быть несчетным . ^[16] Позже, в 1891 году, Кантор использовал свой более знакомый диагональный аргумент, чтобы доказать тот же результат. ^[17] Хотя результат Кантора часто цитируется как чисто экзистенциальный и, следовательно, непригодный для построения одного трансцендентного числа, ^{[18] [19]} доказательства в обеих вышеупомянутых статьях дают методы построения трансцендентных чисел. ^[20]

В то время как Кантор использовал теорию множеств для доказательства полноты трансцендентных чисел, недавнее развитие было связано с использованием теории моделей в попытках доказать нерешенную проблему в теории трансцендентных чисел. Проблема заключается в определении степени трансцендентности поля

${\displaystyle K=\mathbb {Q} (x_{1},\ldots ,x_{n},e^{x_{1}},\ldots ,e^{x_{n}})}$

для комплексных чисел x ₁ , ..., x _{n ,} которые линейно независимы над рациональными числами. Стивен Шануэль предположил , что ответом является по крайней мере n , но доказательств этому нет. Однако в 2004 году Борис Зильбер опубликовал статью, в которой использовал методы теории моделей для создания структуры, которая ведет себя очень похоже на комплексные числа, снабженные операциями сложения, умножения и возведения в степень. Более того, в этой абстрактной структуре гипотеза Шануэля действительно верна. ^[21] К сожалению, пока неизвестно, является ли эта структура на самом деле такой же, как комплексные числа с упомянутыми операциями; может существовать какая-то другая абстрактная структура, которая ведет себя очень похоже на комплексные числа, но в которой гипотеза Шануэля не верна. Зильбер предоставил несколько критериев, которые доказали бы, что рассматриваемая структура была C , но не смог доказать так называемую аксиому сильного экспоненциального замыкания. Простейший случай этой аксиомы был с тех пор доказан ^[22], но для завершения доказательства гипотезы требуется доказательство того, что она верна в полном объеме.

Подходы

Типичная проблема в этой области математики — выяснить, является ли заданное число трансцендентным. Кантор использовал аргумент мощности , чтобы показать, что существует только счетное множество алгебраических чисел, и, следовательно, почти все числа являются трансцендентными. Трансцендентные числа, таким образом, представляют собой типичный случай; даже в этом случае может быть чрезвычайно сложно доказать, что заданное число является трансцендентным (или даже просто иррациональным).

По этой причине теория трансцендентности часто работает в направлении более количественного подхода. Так, если задано конкретное комплексное число α, можно спросить, насколько близко α к тому, чтобы быть алгебраическим числом. Например, если предположить, что число α является алгебраическим, то можно ли показать, что оно должно иметь очень высокую степень или минимальный многочлен с очень большими коэффициентами? В конечном счете, если можно показать, что никакая конечная степень или размер коэффициента не являются достаточными, то число должно быть трансцендентным. Поскольку число α является трансцендентным тогда и только тогда, когда P (α) ≠ 0 для любого ненулевого многочлена P с целыми коэффициентами, к этой проблеме можно подойти, пытаясь найти нижние границы вида

${\displaystyle |P(a)|>F(A,d)}$

где правая часть — некоторая положительная функция, зависящая от некоторой меры A размера коэффициентов P и ее степени d , и такая, что эти нижние границы применяются ко всем P ≠ 0. Такая граница называется мерой трансцендентности .

Случай d  = 1 — это случай «классического» диофантового приближения, требующего нижних границ для

${\displaystyle |ax+b|}$.

Методы теории трансцендентности и диофантовых приближений имеют много общего: оба они используют понятие вспомогательной функции .

Основные результаты

Теорема Гельфонда–Шнайдера была главным достижением в теории трансцендентности в период 1900–1950 гг. В 1960-х годах метод Алана Бейкера на линейных формах в логарифмах алгебраических чисел реанимировал теорию трансцендентности, применив ее к многочисленным классическим задачам и диофантовым уравнениям .

Классификация Малера

Курт Малер в 1932 году разделил трансцендентные числа на 3 класса, названные S , T и U. [ ^23] Определение этих классов основано на расширении идеи числа Лиувилля (приведенной выше).

Мера иррациональности действительного числа

Один из способов определения числа Лиувилля — рассмотреть, насколько малыми данное действительное число x делает линейные многочлены | qx  −  p |, не делая их точно равными 0. Здесь p , q — целые числа, причем | p |, | q | ограничены положительным целым числом  H .

Пусть — минимальное ненулевое абсолютное значение, которое принимают эти многочлены, и принимают: ${\displaystyle m(x,1,H)}$

${\displaystyle \omega (x,1,H)=-{\frac {\log m(x,1,H)}{\log H}}}$

${\displaystyle \omega (x,1)=\limsup _{H\to \infty }\,\omega (x,1,H).}$

ω( x , 1) часто называют мерой иррациональности действительного числа  x . Для рациональных чисел ω( x , 1) = 0 и не менее 1 для иррациональных действительных чисел. Число Лиувилля определяется как имеющее бесконечную меру иррациональности. Теорема Рота гласит, что иррациональные действительные алгебраические числа имеют меру иррациональности 1.

Мера трансцендентности комплексного числа

Далее рассмотрим значения многочленов при комплексном числе x , когда эти многочлены имеют целые коэффициенты, степень не более n и высоту не более H , где n и H — положительные целые числа.

Пусть — минимальное ненулевое абсолютное значение, которое такие многочлены принимают при и принимают: ${\displaystyle m(x,n,H)}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \omega (x,n,H)=-{\frac {\log m(x,n,H)}{n\log H}}}$

${\displaystyle \omega (x,n)=\limsup _{H\to \infty }\,\omega (x,n,H).}$

Предположим, что это бесконечно для некоторого минимального положительного целого числа  n . Комплексное число x в этом случае называется числом U степени  n .

Теперь мы можем определить

${\displaystyle \omega (x)=\limsup _{n\to \infty }\,\omega (x,n).}$

ω( x ) часто называют мерой трансцендентности x  . Если ω( x , n ) ограничены, то ω( x ) конечно, а x называется числом S . Если ω( x , n ) конечны, но неограниченны, то x называется числом T . x  является алгебраическим тогда и только тогда, когда ω( x ) = 0.

Очевидно, что числа Лиувилля являются подмножеством чисел U. В 1953 году Уильям Левек построил числа U любой желаемой степени. ^[24] Числа Лиувилля и, следовательно, числа U являются несчетными множествами. Они являются множествами меры 0. ^[25]

Числа T также включают в себя множество меры 0. ^[26] Потребовалось около 35 лет, чтобы доказать их существование. Вольфганг М. Шмидт в 1968 году показал, что примеры существуют. Однако почти все комплексные числа являются числами S. ^[27] Малер доказал, что экспоненциальная функция переводит все ненулевые алгебраические числа в числа S: ^{[28] [29]} это показывает, что e является числом S, и дает доказательство трансцендентности π . Известно, что это число π не является числом U. ^[30] Многие другие трансцендентные числа остаются неклассифицированными.

Два числа x , y называются алгебраически зависимыми , если существует ненулевой многочлен P от двух неизвестных с целыми коэффициентами, такой что P ( x ,  y ) = 0. Существует мощная теорема о том, что два комплексных числа, которые алгебраически зависимы, принадлежат одному и тому же классу Малера. ^{[24] [31]} Это позволяет строить новые трансцендентные числа, такие как сумма числа Лиувилля с e или  π .

Символ S, вероятно, обозначал имя учителя Малера Карла Людвига Зигеля , а T и U — это просто следующие две буквы.

Эквивалентная классификация Коксмы

Юрьен Коксма в 1939 году предложил другую классификацию, основанную на аппроксимации алгебраическими числами. ^{[23] [32]}

Рассмотрим приближение комплексного числа x алгебраическими числами степени ≤  n и высоты ≤  H. Пусть α — алгебраическое число этого конечного множества, такое, что | x  − α| имеет минимальное положительное значение. Определим ω*( x , H , n ) и ω*( x , n ) следующим образом:

${\displaystyle |x-\alpha |=H^{-n\omega ^{*}(x,H,n)-1}.}$

${\displaystyle \omega ^{*}(x,n)=\limsup _{H\to \infty }\,\omega ^{*}(x,n,H).}$

Если для наименьшего положительного целого числа n ω*( x , n ) бесконечно, то x называется U*-числом степени  n .

Если ω*( x , n ) ограничены и не сходятся к 0, x называется S*-числом ,

Число x называется A*-числом, если ω*( x , n ) сходится к 0.

Если ω*( x , n ) все конечны, но неограниченны, x называется T*-числом ,

Классификации Коксмы и Малера эквивалентны в том, что они делят трансцендентные числа на те же классы. ^[32] Числа A* являются алгебраическими числами. ^[27]

Строительство Левека

Позволять

${\displaystyle \lambda ={\tfrac {1}{3}}+\sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}.}$

Можно показать, что корень n-й степени из λ (число Лиувилля) является U-числом степени n . ^[33]

Эту конструкцию можно улучшить, чтобы создать несчетное семейство U-чисел степени n . Пусть Z — множество, состоящее из всех остальных степеней 10 в ряду выше для λ. Множество всех подмножеств Z несчетно. Удаление любого из подмножеств Z из ряда для λ создает несчетное множество различных чисел Лиувилля, чьи n -е корни являются U-числами степени n .

Тип

Супремум последовательности {ω( x , n  ) } называется типом . Почти все действительные числа являются числами S типа 1, что является минимальным для действительных чисел S. Почти все комплексные числа являются числами S типа 1/2, что также является минимальным. Утверждения почти всех чисел были высказаны Малером и в 1965 году доказаны Владимиром Спринджуком. ^[34]

Открытые проблемы

Хотя теорема Гельфонда–Шнайдера доказала, что большой класс чисел является трансцендентным, этот класс все еще был счетным. Многие известные математические константы до сих пор не известны как трансцендентные, а в некоторых случаях даже неизвестно, являются ли они рациональными или иррациональными. Частичный список можно найти здесь .

Основная проблема в теории трансцендентности — показать, что определенный набор чисел алгебраически независим, а не просто показать, что отдельные элементы трансцендентны. Поэтому, хотя мы знаем, что e и π трансцендентны, это не означает, что e  +  π трансцендентны, как и другие комбинации этих двух (за исключением e ^π , константы Гельфонда , которая, как известно, трансцендентна). Другая основная проблема — это работа с числами, которые не связаны с экспоненциальной функцией. Основные результаты в теории трансцендентности, как правило, вращаются вокруг e и логарифмической функции, что означает, что для работы с числами, которые не могут быть выражены в терминах этих двух объектов элементарным образом, требуются совершенно новые методы.

Гипотеза Шануэля в какой-то степени решила бы первую из этих проблем, поскольку она имеет дело с алгебраической независимостью и действительно подтвердила бы, что e + π является трансцендентным. Однако она все еще вращается вокруг экспоненциальной функции, и поэтому не обязательно имела бы дело с такими числами, как константа Апери или константа Эйлера–Маскерони . Другая чрезвычайно сложная нерешенная проблема — это так называемая проблема константы или тождества . ^[35]

Примечания

1. Н. Бурбаки, Элементы истории математики Springer (1994).
2. Гельфонд 1960, стр. 2.
3. Эйлер, Л. (1748). Введение в анализин бесконечный. Лозанна.
4. Доказательство существования, основанное на различных мощностях действительных и алгебраических чисел , было невозможно до первой статьи Кантора по теории множеств в 1874 году.
5. Лиувилл, Дж. (1844). «Сур les classs très étendues de quantités dont la valeur n’est ni algébrique ni même reductible à des irrationelles algébriques». Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris . 18 : 883–885, 910–911.; Журнал Математика. Pures et Appl. 16 , (1851), стр. 133–142.
6. Туэ, А. (1909). «Über Annäherungswerte алгебраический Zahlen». Дж. Рейн Анжью. Математика. 1909 (135): 284–305. дои : 10.1515/crll.1909.135.284. S2CID  125903243.
7. Сигел, CL (1921). «Аппроксимационный алгебраист Зален». Mathematische Zeitschrift . 10 (3–4): 172–213. дои : 10.1007/BF01211608 .
8. Рот, К. Ф. (1955). «Рациональные приближения к алгебраическим числам». Mathematika . 2 (1): 1–20. doi :10.1112/S0025579300000644.И «Исправление», с. 168, номер документа : 10.1112/S002559300000826.
9. Малер, К. (1953). «О приближении π». Учеб. Акад. Ветенш. Сер. А.​ 56 : 30–42.
10. Эрмит, К. (1873). «Показательная функция». ЧР акад. наук. Париж . 77 .
11. Линдеманн, Ф. (1882). «Ueber die Zahl π». Математические Аннален . 20 (2): 213–225. дои : 10.1007/BF01446522 .
12. Вейерштрасс, К. (1885). "Zu Hrn. Abhandlung Линдеманна: 'Über die Ludolph'sche Zahl'". Sitzungber. Königl. Preuss. Akad. Wissensch. Zu Berlin . 2 : 1067–1086.
13. Гельфонд, АО (1934). «Sur le septieme Problème de D. Hilbert». Изв. Акад. Наук СССР . 7 : 623–630.
14. Шнайдер, Т. (1935). «Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen. I. Transzendend von Potenzen». Журнал для королевы и математики . 1935 (172): 65–69. дои : 10.1515/crll.1935.172.65. S2CID  115310510.
15. А. Бейкер, Линейные формы в логарифмах алгебраических чисел. I, II, III , Mathematika 13 , (1966), стр. 204–216; там же 14 , (1967), стр. 102–107; там же 14 , (1967), стр. 220–228, MR 0220680
16. Кантор, Г. (1874). «Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reelen алгебраишен Zahlen». Дж. Рейн Анжью. Математика. (на немецком языке). 1874 (77): 258–262. дои : 10.1515/crll.1874.77.258. S2CID  199545885.
17. Кантор, Г. (1891). «Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre». Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (на немецком языке). 1 : 75–78.
18. Кац, М.; Станислав, У. (1968). Математика и логика . Фредеринг А. Прегер. стр. 13.
19. Белл, ET (1937). Люди математики . Нью-Йорк: Simon & Schuster. стр. 569.
20. Грей, Р. (1994). «Георг Кантор и трансцендентные числа» (PDF) . American Mathematical Monthly . 101 (9): 819–832. doi :10.1080/00029890.1994.11997035. JSTOR  2975129.
21. Зильбер, Б. (2005). «Псевдоэкспоненциация в алгебраически замкнутых полях нулевой характеристики». Annals of Pure and Applied Logic . 132 (1): 67–95. doi : 10.1016/j.apal.2004.07.001 . MR  2102856.
22. Маркер, Д. (2006). «Замечание о псевдоэкспоненциальном возведении Зильбера». Журнал символической логики . 71 (3): 791–798. doi :10.2178/jsl/1154698577. JSTOR  27588482. MR  2250821. S2CID  1477361.
23. Bugeaud 2012, стр. 250.
24. LeVeque 2002, стр. II:172.
25. Бергер и Таббс 2004, стр. 170.
26. Бергер и Таббс 2004, стр. 172.
27. Bugeaud 2012, стр. 251.
28. LeVeque 2002, стр. II: 174–186.
29. Бергер и Таббс 2004, стр. 182.
30. Бейкер 1975, стр. 86.
31. Бергер и Таббс 2004, стр. 163.
32. Baker 1975, стр. 87.
33. Бейкер 1975, стр. 90.
34. Бейкер 1975, стр. 86.
35. Ричардсон, Д. (1968). «Некоторые неразрешимые проблемы, включающие элементарные функции действительной переменной». Журнал символической логики . 33 (4): 514–520. doi :10.2307/2271358. JSTOR  2271358. MR  0239976. S2CID  37066167.

Ссылки

• Бейкер, Алан (1975). Трансцендентальная теория чисел . издание в мягкой обложке 1990. Cambridge University Press . ISBN 0-521-20461-5. Збл  0297.10013.
• Бюжо, Янн (2012). Распределение по модулю один и диофантовы приближения . Cambridge Tracts in Mathematics. Том 193. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-11169-0. Збл  1260.11001.
• Burger, Edward B.; Tubbs, Robert (2004). Making transcendence transparent. Интуитивный подход к классической теории трансцендентных чисел . Springer . ISBN 978-0-387-21444-3. Збл  1092.11031.
• Гельфонд, А.О. (1960). Трансцендентные и алгебраические числа . Дувр. Zbl  0090.26103.
• Ланг, Серж (1966). Введение в трансцендентные числа . Эддисон–Уэсли. Zbl  0144.04101.
• LeVeque, William J. (2002) [1956]. Темы теории чисел, тома I и II . Довер. ISBN 978-0-486-42539-9.
• Натараджан, Сарадха [на французском языке] ; Тангадурай, Равиндранатан (2020). Столпы трансцендентной теории чисел . Спрингер Верлаг . ISBN 978-981-15-4154-4.
• Спринджук, Владимир Г. (1969). Проблема Малера в метрической теории чисел (1967) . Переводы математических монографий AMS. Перевод с русского Б. Фолькмана. Американское математическое общество . ISBN 978-1-4704-4442-6.
• Спринджук, Владимир Г. (1979). Метрическая теория диофантовых приближений . Scripta Series in Mathematics. Перевод с русского Ричарда А. Сильвермана. Предисловие Дональда Дж. Ньюмена. Wiley . ISBN 0-470-26706-2. Збл  0482.10047.

Дальнейшее чтение

• Алан Бейкер и Гисберт Вюстхольц , Логарифмические формы и диофантова геометрия , Новые математические монографии 9 , Cambridge University Press, 2007, ISBN 978-0-521-88268-2