гипотеза Новикова

Нерешенная проблема в топологии

Гипотеза Новикова — одна из важнейших нерешённых проблем топологии . Она названа в честь Сергея Новикова, который первоначально выдвинул эту гипотезу в 1965 году.

Гипотеза Новикова касается гомотопической инвариантности некоторых многочленов в классах Понтрягина многообразия , возникающих из фундаментальной группы . Согласно гипотезе Новикова, высшие сигнатуры , которые являются некоторыми числовыми инвариантами гладких многообразий , являются гомотопическими инвариантами.

Гипотеза была доказана для конечно порождённых абелевых групп . Пока неизвестно, верна ли гипотеза Новикова для всех групп . Известных контрпримеров к гипотезе нет .

Точная формулировка гипотезы

Пусть — дискретная группа и ее классифицирующее пространство , которое является пространством Эйленберга–Маклейна типа , и, следовательно, единственным с точностью до гомотопической эквивалентности как CW-комплекс . Пусть ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle BG}$ ${\displaystyle K(G,1)}$

${\displaystyle f\colon M\rightarrow BG}$

быть непрерывным отображением из замкнутого ориентированного -мерного многообразия в , и ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle BG}$

${\displaystyle x\in H^{n-4i}(BG;\mathbb {Q} ).}$

Новиков рассмотрел численное выражение, найденное путем оценки класса когомологий в высшей размерности по отношению к фундаментальному классу и известное как высшая сигнатура : ${\displaystyle [M]}$

${\displaystyle \left\langle f^{*}(x)\cup L_{i}(M),[M]\right\rangle \in \mathbb {Q} }$

где — многочлен Хирцебруха , или иногда (менее описательно) как -многочлен. Для каждого этот многочлен может быть выражен в классах Понтрягина касательного расслоения многообразия . Гипотеза Новикова утверждает, что высшая сигнатура является инвариантом ориентированного гомотопического типа для каждого такого отображения и каждого такого класса , другими словами, если — гомотопическая эквивалентность, сохраняющая ориентацию, то высшая сигнатура, связанная с , равна связанной с . ${\displaystyle L_{i}}$ ${\displaystyle i^{\rm {th}}}$ ${\displaystyle i^{\rm {th}}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle h\colon M'\rightarrow M}$ ${\displaystyle f\circ h}$ ${\displaystyle f}$

Связь с гипотезой Бореля

Гипотеза Новикова эквивалентна рациональной инъективности отображения сборки в L-теории . Гипотеза Бореля о жесткости асферических многообразий эквивалентна тому, что отображение сборки является изоморфизмом .

Ссылки

• Дэвис, Джеймс Ф. (2000), «Многообразные аспекты гипотезы Новикова» (PDF) , в Cappell, Sylvain ; Ranicki, Andrew ; Rosenberg, Jonathan (ред.), Surveys on surgery theory. Том 1 , Annals of Mathematics Studies, Princeton University Press , стр. 195–224, ISBN 978-0-691-04937-3, г-н  1747536
• Джон Милнор и Джеймс Д. Сташефф , Характеристические классы, Annals of Mathematics Studies 76, Принстон (1974).
• Сергей П. Новиков , Алгебраическое построение и свойства эрмитовых аналогов k-теории над кольцами с инволюцией с точки зрения гамильтонова формализма. Некоторые приложения к дифференциальной топологии и теории характеристических классов . Изв. АН СССР, т. 34, 1970 I N2, с. 253–288; II: N3, с. 475–500. Резюме на английском языке в Actes Congr. Intern. Math., т. 2, 1970, с. 39–45.

Внешние ссылки

• Биография Сергея Новикова
• Библиография гипотезы Новикова
• Гипотеза Новикова. Труды конференции в Обервольфахе 1993 г., том 1
• Гипотеза Новикова. Труды конференции в Обервольфахе 1993 г., том 2
• Заметки семинара в Обервольфахе 2004 года по гипотезе Новикова (pdf)
• Статья в Scholarpedia С.П. Новикова (2010)
• Гипотеза Новикова в Атласе многообразий