Гипотеза Шпиро

Гипотеза в теории чисел

В теории чисел гипотеза Шпиро относится к проводнику и дискриминанту эллиптической кривой . В несколько измененном виде она эквивалентна известной abc- гипотезе . Он назван в честь Люсьена Шпиро , который сформулировал его в 1980-х годах. Гипотеза Шпиро и ее эквивалентные формы были описаны Дорианом Голдфельдом как «самая важная нерешенная проблема диофантового анализа » ^[1] отчасти из-за большого количества ее следствий в теории чисел, включая теорему Рота , гипотезу Морделла , гипотезу Ферма-Каталана. гипотеза и проблема Брокара . ^{[2] [3] [4] [5]}

Исходное заявление

Гипотеза утверждает, что: при ε > 0 существует константа C (ε) такая, что для любой эллиптической кривой E , определенной над Q с минимальным дискриминантом Δ и проводником f ,

${\displaystyle \vert \Delta \vert \leq C(\varepsilon )\cdot f^{6+\varepsilon }.}$

Модифицированная гипотеза Шпиро

Модифицированная гипотеза Шпиро утверждает, что: при ε > 0 существует константа C (ε) такая, что для любой эллиптической кривой E , определенной над Q с инвариантами c ₄ , c ₆ и проводником f (используя обозначения из алгоритма Тейта ),

${\displaystyle \max\{\vert c_{4}\vert ^{3},\vert c_{6}\vert ^{2}\}\leq C(\varepsilon )\cdot f^{6+\varepsilon }.}$

гипотеза abc

Гипотеза abc возникла в результате попыток Джозефа Остерле и Дэвида Массера понять гипотезу Шпиро ^{[6] , а затем было показано} , что она эквивалентна модифицированной гипотезе Шпиро. ^[7]

Последствия

Гипотеза Шпиро и ее модифицированная форма, как известно, подразумевают несколько важных математических результатов и гипотез, включая теорему Рота , ^[8] теорему Фалтингса , ^[9] гипотезу Ферма-Каталана , ^[10] и отрицательное решение проблемы Эрдеша-Улама . ^[11]

Заявленные доказательства

В августе 2012 года Шиничи Мотидзуки заявил о доказательстве гипотезы Шпиро, разработав новую теорию, названную межуниверсальной теорией Тейхмюллера (IUTT). ^[12] Однако эти статьи не были приняты математическим сообществом как обеспечивающие доказательство гипотезы, ^{[13] [14] [15]} при этом Питер Шольце и Якоб Стикс в марте 2018 года пришли к выводу, что разрыв был «настолько серьезным, что …небольшие модификации не спасут стратегию доказательства». ^{[16] [17] [18]}

Смотрите также

• теория Аракелова

Рекомендации

1. Голдфельд, Дориан (1996). «За последней теоремой». Математические горизонты . 4 (сентябрь): 26–34. дои : 10.1080/10724117.1996.11974985. JSTOR  25678079.
2. Бомбьери, Энрико (1994). «Теорема Рота и abc-гипотеза». Препринт . ETH Цюрих.
3. Элкис, Северная Дакота (1991). «ABC подразумевает Морделла». Уведомления о международных математических исследованиях . 1991 (7): 99–109. дои : 10.1155/S1073792891000144 .
4. Померанс, Карл (2008). «Вычислительная теория чисел». Принстонский спутник математики . Издательство Принстонского университета . стр. 361–362.
5. Домбровский, Анджей (1996). «О диофантовом уравнении x !+ A = y2 ^» . Новый архив Вискунде, IV . 14 : 321–324. Збл  0876.11015.
6. Фесенко, Иван (2015), «Теория арифметической деформации с помощью арифметических фундаментальных групп и неархимедовых тета-функций, заметки о работе Шиничи Мотидзуки» (PDF) , European Journal of Mathematics , 1 (3): 405–440, doi : 10.1007 /s40879-015-0066-0.
7. Остерле, Жозеф (1988), «Новые подходы к «теореме» Ферма», Asterisque , Séminaire Bourbaki exp 694 (161): 165–186, ISSN  0303-1179, MR  0992208
8. Вальдшмидт, Мишель (2015). «Лекция о гипотезе abc и некоторых ее последствиях» (PDF) . Математика в 21 веке . Спрингерские труды по математике и статистике. Том. 98. стр. 211–230. дои : 10.1007/978-3-0348-0859-0_13. ISBN 978-3-0348-0858-3.
9. Элкис, Северная Дакота (1991). «ABC подразумевает Морделла». Уведомления о международных математических исследованиях . 1991 (7): 99–109. дои : 10.1155/S1073792891000144 .
10. Померанс, Карл (2008). «Вычислительная теория чисел». Принстонский спутник математики . Издательство Принстонского университета. стр. 361–362.
11. Пастен, Гектор (2017), «Определимость орбит Фробениуса и результат на рациональных множествах расстояний», Monatshefte für Mathematik , 182 (1): 99–126, doi : 10.1007/s00605-016-0973-2, MR  3592123, S2CID  7805117
12. Болл, Питер (10 сентября 2012 г.). «Доказательство глубокой связи между простыми числами». Природа . дои : 10.1038/nature.2012.11378 . Проверено 19 апреля 2020 г.
13. Ревелл, Тимоти (7 сентября 2017 г.). «Непонятное математическое доказательство ABC теперь имеет непонятное 300-страничное «резюме»». Новый учёный .
14. Конрад, Брайан (15 декабря 2015 г.). «Заметки Брайана Конрада о семинаре IUT в Оксфорде» . Проверено 18 марта 2018 г.
15. Кастельвекки, Давиде (8 октября 2015 г.). «Самая большая загадка математики: Шиничи Мотидзуки и непостижимое доказательство». Природа . 526 (7572): 178–181. Бибкод : 2015Natur.526..178C. дои : 10.1038/526178a . ПМИД  26450038.
16. Шольце, Питер ; Стикс, Джейкоб . «Почему abc — до сих пор остается догадкой» (PDF) . Архивировано из оригинала 8 февраля 2020 года.(обновленная версия майского отчета |)
17. Кларрайх, Эрика (20 сентября 2018 г.). «Столкновение титанов математики из-за эпического доказательства гипотезы ABC». Журнал Кванта .
18. «Дискуссии на IUTeich в марте 2018 г.» . Проверено 2 октября 2018 г.Веб-страница Мотидзуки, описывающая дискуссии и дающая ссылки на последующие публикации и дополнительные материалы.

Библиография

• Ланг, С. (1997), Обзор диофантовой геометрии, Берлин: Springer-Verlag , стр. 51, ISBN 3-540-61223-8, Збл  0869.11051
• Шпиро, Л. (1981). «Числовые свойства двойного относительного изображения». Семинар по жанрам au moins deux (PDF) . Астериск. Том. 86. стр. 44–78. Збл  0517.14006.
• Шпиро, Л. (1987), «Презентация теории Аракелова», Contemp. Математика. , Современная математика, 67 : 279–293, номер документа : 10.1090/conm/067/902599, ISBN. 9780821850749, Збл  0634.14012