Теорема Фалтингса

Кривые рода > 1 над рациональными числами имеют только конечное число рациональных точек

Теорема Фалтингса — это результат в арифметической геометрии , согласно которому кривая рода больше 1 над полем рациональных чисел имеет только конечное число рациональных точек . Это предположение было высказано в 1922 году Луисом Морделлом [ ^1] и известно как гипотеза Морделла до ее доказательства в 1983 году Гердом Фалтингсом ^[2] . Позднее гипотеза была обобщена путем замены на любое числовое поле . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Фон

Пусть — неособая алгебраическая кривая рода над . Тогда множество рациональных точек на может быть определено следующим образом: ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle C}$

• Когда точек либо нет, либо их бесконечно много. В таких случаях можно рассматривать как коническое сечение . ${\displaystyle g=0}$ ${\displaystyle C}$
• Когда , если есть какие-либо точки, то является эллиптической кривой и ее рациональные точки образуют конечно порождённую абелеву группу . (Это теорема Морделла , позднее обобщенная до теоремы Морделла–Вейля .) Более того, теорема Мазура о кручении ограничивает структуру подгруппы кручения. ${\displaystyle g=1}$ ${\displaystyle C}$
• Когда , согласно теореме Фалтингса, имеет лишь конечное число рациональных точек. ${\displaystyle g>1}$ ${\displaystyle C}$

Доказательства

Игорь Шафаревич предположил, что существует лишь конечное число классов изоморфизма абелевых многообразий фиксированной размерности и фиксированной степени поляризации над фиксированным числовым полем с хорошей редукцией вне фиксированного конечного множества мест . ^[3] Алексей Паршин показал, что гипотеза конечности Шафаревича влечет гипотезу Морделла, используя то, что сейчас называется трюком Паршина. ^[4]

Герд Фалтингс доказал гипотезу Шафаревича о конечности, используя известную редукцию к случаю гипотезы Тейта , вместе с инструментами из алгебраической геометрии , включая теорию моделей Нерона . ^[5] Основная идея доказательства Фалтингса — сравнение высот Фалтингса и наивных высот через модулярные многообразия Зигеля . ^[a]

Более поздние доказательства

• Пауль Войта дал доказательство, основанное на диофантовых приближениях . ^[6] Энрико Бомбьери нашел более элементарный вариант доказательства Войты. ^[7]
• Брайан Лоуренс и Акшай Венкатеш дали доказательство, основанное на p -адической теории Ходжа , заимствуя также некоторые более простые ингредиенты оригинального доказательства Фалтингса. ^[8]

Последствия

Статья Фалтингса 1983 года имела своим следствием ряд утверждений, которые ранее предполагались:

• Гипотеза Морделла о том, что кривая рода больше 1 над числовым полем имеет лишь конечное число рациональных точек;
• Теорема изогении о том, что абелевы многообразия с изоморфными модулями Тейта (как -модули с действием Галуа) изогенны . ${\displaystyle \mathbb {Q} _{\ell }}$

Примером применения теоремы Фалтингса является слабая форма Великой теоремы Ферма : для любого фиксированного существует не более конечного числа примитивных целочисленных решений (попарно взаимно простых решений) уравнения , поскольку для таких уравнений кривая Ферма имеет род больше 1. ${\displaystyle n\geq 4}$ ${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x^{n}+y^{n}=1}$

Обобщения

Из-за теоремы Морделла–Вейля теорему Фалтингса можно переформулировать как утверждение о пересечении кривой с конечно порождённой подгруппой абелева многообразия . Обобщение путём замены на полуабелево многообразие , на произвольное подмногообразие и на произвольную подгруппу конечного ранга приводит к гипотезе Морделла–Лэнга , которая была доказана в 1995 году МакКвилланом ^[9] после работ Лорана, Рейно , Хиндри, Войты и Фалтингса . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle A}$

Другим обобщением теоремы Фалтингса на более высокие размеры является гипотеза Бомбьери–Лэнга о том, что если — псевдоканоническое многообразие (т. е. многообразие общего типа) над числовым полем , то не является плотным по Зарискому в . Еще более общие гипотезы были выдвинуты Полом Войтой . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X(k)}$ ${\displaystyle X}$

Гипотеза Морделла для функциональных полей была доказана Юрием Ивановичем Маниным ^[10] и Гансом Грауэртом . ^[11] В 1990 году Роберт Ф. Коулман нашел и исправил пробел в доказательстве Манина. ^[12]

Примечания

1. "Фалтингс связывает два понятия высоты посредством пространства модулей Зигеля... Это основная идея доказательства". Блох, Спенсер (1984). "Доказательство гипотезы Морделла". The Mathematical Intelligencer . 6 (2): 44. doi :10.1007/BF03024155. S2CID  306251.

Цитаты

1. Морделл 1922.
2. Фалтингс 1983; Фалтингс 1984.
3. Шафаревич 1963.
4. Паршин 1968.
5. Фалтингс 1983.
6. Войта 1991.
7. Бомбьери 1990.
8. Лоуренс и Венкатеш 2020.
9. МакКуиллан 1995.
10. Манин 1963.
11. Грауэрт 1965.
12. Коулман 1990.

Ссылки

• Бомбьери, Энрико (1990). «Повторный взгляд на гипотезу Морделла». Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci . 17 (4): 615–640. MR  1093712.
• Коулмен, Роберт Ф. (1990). «Доказательство Манина гипотезы Морделла над функциональными полями». L'Enseignement Mathématique . 2-я серия. 36 (3): 393–427. ISSN  0013-8584. MR  1096426.
• Cornell, Gary; Silverman, Joseph H. , ред. (1986). Арифметическая геометрия. Доклады с конференции, состоявшейся в Университете Коннектикута, Сторрс, Коннектикут, 30 июля – 10 августа 1984 г. Нью-Йорк: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4613-8655-1. ISBN 0-387-96311-1. МР  0861969.→ Содержит английский перевод Faltings (1983)
• Фальтингс, Герд (1983). «Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern» [Теоремы о конечности для абелевых многообразий над числовыми полями]. Inventiones Mathematicae (на немецком языке). 73 (3): 349–366. Бибкод : 1983InMat..73..349F. дои : 10.1007/BF01388432. МР  0718935.
• Фальтингс, Герд (1984). «Ошибка: Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern». Inventiones Mathematicae (на немецком языке). 75 (2): 381. дои : 10.1007/BF01388572 . МР  0732554.
• Фалтингс, Герд (1991). «Диофантовы приближения на абелевых многообразиях». Ann. of Math. 133 (3): 549–576. doi :10.2307/2944319. JSTOR  2944319. MR  1109353.
• Faltings, Gerd (1994). "Общий случай гипотезы С. Ланга". В Cristante, Valentino; Messing, William (ред.). Barsotti Symposium in Algebraic Geometry. Статьи симпозиума, состоявшегося в Абано-Терме 24–27 июня 1991 г. Perspectives in Mathematics. Сан-Диего, Калифорния: Academic Press, Inc. ISBN 0-12-197270-4. МР  1307396.
• Грауэрт, Ганс (1965). «Mordells Vermutung über Reasone Punkte auf алгебраические курсы и функции». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 25 (25): 131–149. дои : 10.1007/BF02684399. ISSN  1618-1913. МР  0222087.
• Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (2000). Диофантова геометрия . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 201. New York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-1210-2. ISBN 0-387-98981-1. МР  1745599.→ Приводит доказательство Войты теоремы Фальтингса.
• Ланг, Серж (1997). Обзор диофантовой геометрии . Спрингер-Верлаг . стр. 101–122. ISBN 3-540-61223-8.
• Лоуренс, Брайан; Венкатеш, Акшай (2020). «Диофантовы задачи и p -адические отображения периодов». Invent. Math . 221 (3): 893–999. arXiv : 1807.02721 . doi : 10.1007/s00222-020-00966-7.
• Манин, Ю. И. (1963). «Рациональные точки на алгебраических кривых над функциональными полями». Известия Академии Наук СССР. Серия Математическая (на русском языке). 27 : 1395–1440. ISSN  0373-2436. МР  0157971.(Перевод: Манин, Ю. (1966). «Рациональные точки на алгебраических кривых над функциональными полями». Переводы Американского математического общества . Серия 2. 59 : 189–234. doi :10.1090/trans2/050/11. ISBN 9780821817506. ISSN  0065-9290.)
• МакКуиллан, Майкл (1995). «Точки деления на полуабелевых многообразиях». Invent. Math . 120 (1): 143–159. doi :10.1007/BF01241125.
• Морделл, Луис Дж. (1922). «О рациональных решениях неопределенного уравнения третьей и четвертой степеней». Proc. Cambridge Philos. Soc . 21 : 179–192.
• Паршин А.Н. (1970). «Quelques предположения о конечности в диофантовой геометрии» (PDF) . Actes du Congrès International des Mathématiciens . Том. Том 1. Ницца: Готье-Виллар (опубликовано в 1971 г.). стр. 467–471. MR  0427323. Архивировано из оригинала (PDF) 24 сентября 2016 г. Проверено 11 июня 2016 г.
• Паршин, А. Н. (2001) [1994]. «Гипотеза Морделла». Энциклопедия математики . Издательство EMS .
• Паршин, АН (1968). «Алгебраические кривые над функциональными полями I». Изв. АН СССР Сер. Матем. 32 (5): 1191–1219. Bibcode :1968IzMat...2.1145P. doi :10.1070/IM1968v002n05ABEH000723.
• Шафаревич, ИР (1963). «Поля алгебраических чисел». Труды Международного конгресса математиков : 163–176.
• Vojta, Paul (1991). «Теорема Зигеля в компактном случае». Ann. of Math. 133 (3): 509–548. doi :10.2307/2944318. JSTOR  2944318. MR  1109352.