Изогения

Тип отображения между алгебраическими группами

В математике, в частности в алгебраической геометрии, изогения — это морфизм алгебраических групп (также известных как многообразия групп), который является сюръективным и имеет конечное ядро .

Если группы являются абелевыми многообразиями , то любой морфизм f  :  A  →  B базовых алгебраических многообразий, который сюръективен с конечными слоями, автоматически является изогенией, при условии, что f (1 _A ) = 1 _B . Такая изогения f затем обеспечивает групповой гомоморфизм между группами k -значных точек A и B для любого поля k, над которым определено f .

Термины «изогения» и «изогенный» происходят от греческого слова ισογενη-ς, означающего «равный по роду или природе». Термин «изогения» был введен Вейлем ; до этого термин «изоморфизм» несколько путано использовался для того, что сейчас называется изогенией.

Степень изогении

Пусть f  :  A  →  B — изогения между двумя алгебраическими группами. Это отображение индуцирует отображение обратного протягивания f*  :  K(B)  →  K(A) между их рациональными функциональными полями. Поскольку отображение нетривиально, оно является вложением полей и является подполем K(A) . Степень расширения K(A) \im f* называется степенью изогении: ${\displaystyle imf^{*}}$

${\displaystyle \deg f:=[K(A):imf^{*}]}$

Свойства степени:

• Если , являются изогениями алгебраических групп, то: ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle g:Y\rightarrow Z}$ ${\displaystyle \deg(g\circ f)=\deg g\cdot \deg f}$
• Если , то ${\displaystyle char\;K\nmid \deg f}$ ${\displaystyle \deg f=|ker\;f|}$

Случай абелевых многообразий

Изогенные эллиптические кривые к E можно получить, факторизуя E по конечным подгруппам, в данном случае подгруппам подгруппы 4-кручения.

Для абелевых многообразий , таких как эллиптические кривые , это понятие можно также сформулировать следующим образом:

Пусть E ₁ и E ₂ — абелевы многообразия одинаковой размерности над полем k . Изогения между E ₁ и E ₂ — это плотный морфизм f  :  E ₁  →  E ₂ многообразий, сохраняющий базисные точки (т.е. f отображает единичную точку на E ₁ в единичную точку на E ₂ ).

Это эквивалентно вышеуказанному понятию, поскольку каждый плотный морфизм между двумя абелевыми многообразиями одинаковой размерности автоматически сюръективен с конечными слоями, и если он сохраняет тождества, то он является гомоморфизмом групп.

Два абелевых многообразия E ₁ и E ₂ называются изогенными , если существует изогения E ₁  →  E ₂ . Можно показать, что это отношение эквивалентности; в случае эллиптических кривых симметрия обусловлена ​​существованием двойственной изогении . Как и выше, каждая изогения индуцирует гомоморфизмы групп k-значных точек абелевых многообразий.

Смотрите также

• Абелевы многообразия с точностью до изогении
• Группа Селмера

Ссылки

Внешние ссылки

• Ланг, Серж (1983). Абелевы многообразия . Springer Verlag. ISBN 3-540-90875-7.
• Мамфорд, Дэвид (1974). Абелевы многообразия . Oxford University Press. ISBN 0-19-560528-4.