гипотеза Гурмахти

В математике гипотеза Гурмахтига — гипотеза в теории чисел, названная в честь бельгийского математика Рене Гурмахтига . Гипотеза заключается в том, что единственными нетривиальными целочисленными решениями показательного диофантова уравнения

${\displaystyle {\frac {x^{m}-1}{x-1}}={\frac {y^{n}-1}{y-1}}}$

удовлетворяющие и являются ${\displaystyle x>y>1}$ ${\displaystyle n,m>2}$

${\displaystyle {\frac {5^{3}-1}{5-1}}={\frac {2^{5}-1}{2-1}}=31}$

и

${\displaystyle {\frac {90^{3}-1}{90-1}}={\frac {2^{13}-1}{2-1}}=8191.}$

Частичные результаты

Davenport, Lewis & Schinzel (1961) показали, что для каждой пары фиксированных показателей и это уравнение имеет только конечное число решений. Но это доказательство зависит от теоремы Зигеля о конечности , которая неэффективна. Nesterenko & Shorey (1998) показали, что если и с , и , то ограничено эффективно вычислимой константой, зависящей только от и . Yuan (2005) показал, что для и нечетных это уравнение не имеет решения, кроме двух решений, приведенных выше. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m-1=dr}$ ${\displaystyle n-1=ds}$ ${\displaystyle d\geq 2}$ ${\displaystyle r\geq 1}$ ${\displaystyle s\geq 1}$ ${\displaystyle \max(x,y,m,n)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle m=3}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (x,y,n)}$

Баласубраманян и Шори доказали в 1980 году, что существует только конечное число возможных решений уравнений с простыми делителями и , лежащих в заданном конечном множестве, и что они могут быть эффективно вычислены. Он и Тогбе (2008) показали, что для каждого фиксированного и это уравнение имеет не более одного решения. Для фиксированного x (или y ) уравнение имеет не более 15 решений и не более двух, если только x не является либо нечетной степенью простого числа , умноженной на степень двойки , либо не находится в конечном множестве {15, 21, 30, 33, 35, 39, 45, 51, 65, 85, 143, 154, 713}, в этом случае существует не более трех решений. Более того, существует не более одного решения, если нечетная часть x является квадратной, если только x не имеет не более двух различных нечетных простых множителей или x не находится в конечном множестве {315, 495, 525, 585, 630, 693, 735, 765, 855, 945, 1035, 1050, 1170, 1260, 1386, 1530, 1890, 1925, 1950, 1953, 2115, 2175, 2223, 2325, 2535, 2565, 2898, 2907, 3105, 3150, 3325, 3465, 3663, 3675, 4235, 5525, 5661, 6273, 8109, 17575, 39151}. Если x — степень двойки , то существует не более одного решения, за исключением x=2, в этом случае известны два решения. Фактически, max(m,n)<4^x и y<2^(2^x). ${\displaystyle (x,y,m,n)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Применение к репунитам

Гипотезу Гурмахти можно выразить так: 31 (111 в пятеричной системе счисления , 11111 в двоичной системе счисления) и 8191 (111 в 90-ричной системе счисления, 1111111111111 в двоичной системе счисления) — единственные два числа, которые являются репьюнитами , имеющими по крайней мере 3 цифры в двух различных системах счисления.

Смотрите также

• Гипотеза Фейта–Томпсона

Ссылки

• Гурмати, Рене. L'Intermédiaire des Mathématiciens 24 (1917), 88
• Bugeaud, Y.; Shorey, TN (2002). "О диофантовом уравнении x m − 1 x − 1 = y n − 1 y − 1 {\displaystyle {\tfrac {x^{m}-1}{x-1}}={\tfrac {y^{n}-1}{y-1}}} " (PDF) . Pacific Journal of Mathematics . 207 (1): 61–75. doi : 10.2140/pjm.2002.207.61 .
• Баласубраманян, Р .; Шори, ТН (1980). «Об уравнении a ( x m − 1 ) / ( x − 1 ) = b ( y n − 1 ) / ( y − 1 ) {\displaystyle a(x^{m}-1)/(x-1)=b(y^{n}-1)/(y-1)}». Mathematica Scandinavica . 46 : 177–182. doi : 10.7146/math.scand.a-11861 . MR  0591599. Zbl  0434.10013.
• Дэвенпорт, Х.; Льюис, ДЖ; Шинцель, А. (1961). «Уравнения формы ». Quad. J. Math. Oxford . 2 : 304–312. doi :10.1093/qmath/12.1.304. MR  0137703. ${\displaystyle f(x)=g(y)}$
• Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.). Springer-Verlag . стр. 242. ISBN 0-387-20860-7. Збл  1058.11001.
• He, Bo; Togbé, Alan (2008). «О числе решений уравнения Гурмахти для заданных x {\displaystyle x} и y {\displaystyle y}». Indag. Math . New Series. 19 : 65–72. doi : 10.1016/S0019-3577(08)80015-8 . MR  2466394.
• Нестеренко, Ю. В .; Шори, Теннесси (1998). «Об уравнении Гурматайга» (PDF) . Акта Арифметика . LXXXIII (4): 381–389. дои : 10.4064/aa-83-4-381-389 . МР  1610565. Збл  0896.11010.
• Shorey, TN; Tijdeman, R. (1986). Экспоненциальные диофантовы уравнения . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 87. Cambridge University Press . pp. 203–204. ISBN 0-521-26826-5. Збл  0606.10011.
• Юань, Пинчжи (2005). «О диофантовом уравнении. Икс 3 - 1 Икс - 1 знак равно у п - 1 у - 1 {\displaystyle {\tfrac {x^{3}-1}{x-1}}={\tfrac {y^{n} -1}{y-1}}} ". Дж. Теория чисел . 112 : 20–25. дои : 10.1016/j.jnt.2004.12.002 . МР  2131139.