В дифференциальной геометрии гипотеза Уиллмора — нижняя граница энергии Уиллмора тора . Она названа в честь английского математика Тома Уиллмора , который выдвинул эту гипотезу в 1965 году. [ 2] Доказательство Фернандо Кода Маркеса и Андре Невеса было объявлено в 2012 году и опубликовано в 2014 году. [1] [3]
Пусть v : M → R 3 — гладкое погружение компактной ориентируемой поверхности . Задавая M риманову метрику, индуцированную v , пусть H : M → R — средняя кривизна ( среднее арифметическое главных кривизн κ 1 и κ 2 в каждой точке). В этих обозначениях энергия Уиллмора W ( M ) поверхности M задается как
Нетрудно доказать, что энергия Уиллмора удовлетворяет условию W ( M ) ≥ 4 π , причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда M является вложенной круглой сферой .
Расчет W ( M ) для нескольких примеров показывает, что должна быть лучшая граница, чем W ( M ) ≥ 4 π для поверхностей с родом g ( M ) > 0. В частности, расчет W ( M ) для торов с различными симметриями привел Уиллмора к предложению в 1965 году следующей гипотезы, которая теперь носит его имя:
В 1982 году Питер Вай-Квонг Ли и Шинг-Тунг Яу доказали гипотезу в невложенном случае, показав, что если — погружение компактной поверхности, которое не является вложением, то W ( M ) равно по крайней мере 8 π . [4]
В 2012 году Фернандо Кода Маркес и Андре Невес доказали гипотезу во вложенном случае, используя теорию минимальных поверхностей Альмгрена–Питтса min-max . [3] [1] Мартин Шмидт заявил о доказательстве в 2002 году, [5] но оно не было принято к публикации ни в одном рецензируемом математическом журнале (хотя оно не содержало доказательства гипотезы Уиллмора, он доказал в нем некоторые другие важные гипотезы). До доказательства Маркеса и Невеса гипотеза Уиллмора уже была доказана для многих специальных случаев, таких как трубчатые торы (самим Уиллмором) и для торов вращения (Лангером и Сингером). [ 6]
