Гипотенуза

Самая длинная сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу.

Прямоугольный треугольник и его гипотенуза

В геометрии гипотенузой называется сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла . ^[1] Это самая длинная сторона любого такого треугольника. Длину гипотенузы можно найти с помощью теоремы Пифагора , которая гласит, что квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин двух других сторон. Математически это можно записать как , где а — длина одного катета, b — длина другого катета, а с — длина гипотенузы. ^[2] ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

Например, если одна из других сторон имеет длину 3 (в квадрате 9), а другая — 4 (в квадрате 16), то сумма их квадратов равна 25. Длина гипотенузы равна квадратный корень из 25, то есть 5. Другими словами, если и , то . ${\displaystyle a=3}$ ${\displaystyle b=4}$ ${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}=5}$

Этимология

Слово гипотенуза происходит от греческого ἡ τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτείνουσα (ск. γραμμή или πλευρά ), что означает «[сторона] , стягивающая прямой угол» ( Аполлодор ), ^[3] ὑποτείνουσα hupoteinousa — настоящее активное женское начало. причастие глагола ὑποτείνω hupo -teinō «растягивать ниже, стягивать», от τείνω teinō «растягивать, расширять». Номинальное причастие ἡ ὑποτείνουσα использовалось для обозначения гипотенузы треугольника в 4 веке до нашей эры (засвидетельствовано у Платона , Тимей 54d). Греческий термин был заимствован в поздней латыни , как гипотенуса . ^{[4] [ нужен лучший источник ] [5]} Написание -e , как гипотенузы , имеет французское происхождение ( Этьен де Ла Рош, 1520). ^[6]

Вычисление гипотенузы

Длину гипотенузы можно вычислить с помощью функции квадратного корня , подразумеваемой теоремой Пифагора . Используя общепринятые обозначения, что длина двух катетов (или катетов ) треугольника (сторон, перпендикулярных друг другу) равна a и b , а длина гипотенузы равна c , мы имеем

${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.}$

Теорему Пифагора и, следовательно, эту длину также можно вывести из закона косинусов , если заметить, что угол против гипотенузы равен 90 °, и отметить, что его косинус равен 0:

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos 90^{\circ }=a^{2}+b^{2}\therefore c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.}$

Многие компьютерные языки поддерживают стандартную функцию ISO C hypot( x , y ), которая возвращает указанное выше значение. ^[7] Функция предназначена для того, чтобы не дать сбоя в случаях, когда простой расчет может привести к переполнению или потере значения, и может быть немного более точным, а иногда и значительно медленнее.

Некоторые научные калькуляторы ^{[ какие? ]} предоставляют функцию для преобразования прямоугольных координат в полярные координаты . Это дает как длину гипотенузы, так и угол , который гипотенуза образует с базовой линией ( c ₁ выше) одновременно, если заданы x и y . Возвращаемый угол обычно задается atan2 ( y , x ).

Тригонометрические соотношения

С помощью тригонометрических соотношений можно получить значение двух острых углов и прямоугольного треугольника. ${\displaystyle \alpha \,}$ ${\displaystyle \beta \,}$

Учитывая длину гипотенузы и катета , соотношение будет: ${\displaystyle c\,}$ ${\displaystyle b\,}$

${\displaystyle {\frac {b}{c}}=\sin(\beta )\,}$

Тригонометрическая обратная функция:

${\displaystyle \beta \ =\arcsin \left({\frac {b}{c}}\right)\,}$

в котором находится угол, противоположный катету . ${\displaystyle \beta \,}$ ${\displaystyle b\,}$

Прилежащий угол катетов = 90° – ${\displaystyle b\,}$ ${\displaystyle \alpha \,}$ ${\displaystyle \beta \,}$

Значение угла также можно получить по уравнению: ${\displaystyle \beta \,}$

${\displaystyle \beta \ =\arccos \left({\frac {a}{c}}\right)\,}$

в котором находится другой катет. ${\displaystyle a\,}$

Смотрите также

• Математический портал

• Катет
• Треугольник
• Космическая диагональ
• Негипотенузное число
• Геометрия такси
• Тригонометрия
• Специальные прямоугольные треугольники
• Пифагор
• Норма_(математика)#Евклидова_норма

Примечания

1. Чисхолм, Хью, изд. (1911). «Треугольник (геометрия)»  . Британская энциклопедия (Одиннадцатое изд.). Издательство Кембриджского университета – через Wikisource .
2. младший, Джесси Моланд (август 2009 г.). Я ненавижу тригонометрию!: Практическое руководство по пониманию тригонометрии. Джесси Моланд. п. 1. ISBN 978-1-4486-4707-1.
3. u(po/, tei/nw, pleura/. Лидделл, Генри Джордж ; Скотт, Роберт ; Греко-английский лексикон в проекте «Персей»
4. «Гипотенуза | Происхождение и значение гипотенузы в онлайн-словаре этимологии» . www.etymonline.com . Проверено 14 мая 2019 г.
5. «Определение гипотенузы и происхождение слова» . Словарь Коллинза . Коллинз . Проверено 12 апреля 2022 г.
6. Эстьен де Ла Рош, l'Arismetique (1520), л. 221р (цит. по ТЛФи).
7. "Гипот (3)" . Руководство программиста Linux . Проверено 4 декабря 2021 г.

Рекомендации

• Гипотенуза в математической энциклопедии
• Вайсштейн, Эрик В. «Гипотенуза». Математический мир .