Гипотетический силлогизм

Силлогизм с условной посылкой(ями)

В классической логике гипотетический силлогизм — это действительная форма аргументации , дедуктивный силлогизм с условным утверждением для одной или обеих его посылок . Древние ссылки указывают на работы Теофраста и Евдема как первое исследование такого рода силлогизмов. ^{[1] [2]}

Типы

Гипотетические силлогизмы бывают двух типов: смешанные и чистые. Смешанный гипотетический силлогизм имеет две посылки: одно условное утверждение и одно утверждение, которое либо подтверждает, либо отрицает антецедент или следствие этого условного утверждения. Например,

Если П, то К.

П.

∴ В.

В этом примере первая посылка представляет собой условное утверждение, в котором «P» является антецедентом, а «Q» — следствием. Вторая посылка «подтверждает» антецедент. Вывод о том, что консеквент должен быть истинным, дедуктивно верен .

Смешанный гипотетический силлогизм имеет четыре возможных формы, две из которых действительны, а две другие недействительны. Правильный смешанный гипотетический силлогизм либо подтверждает антецедент ( modus ponens ), либо отрицает консеквент ( modus tollens ). ^[3] Недействительный гипотетический силлогизм либо подтверждает консеквент ( ошибка обратного ), либо отрицает антецедент (ошибка обратного ).

Существует четыре возможных формы смешанных гипотетических силлогизмов, две из которых действительны, а две - недействительны. Рассмотрение простого примера показывает, почему формы действительны или недействительны. Если «p» означает «Кандиру — это рыба», а «q» означает «У Кандиру есть жабры», попытайтесь убедить себя, заменив эти утверждения на p и q в приведенной выше таблице. ^[3]

Чисто гипотетический силлогизм — это силлогизм, в котором как посылки, так и заключение являются условными утверждениями . Чтобы условие было действительным, антецедент одной посылки должен соответствовать следствию другой. Следовательно, кондиционалы содержат оставшееся антецедентом как антецедент и оставшееся следствие как следствие.

Если П, то К.

Если К, то Р.

∴ Если Р, то Р.

Пример на английском языке:

Если я не проснусь, то не смогу пойти на работу.

Если я не смогу выйти на работу, то мне не заплатят.

Поэтому, если я не проснусь, то мне не заплатят.

Логика высказываний

В логике высказываний гипотетический силлогизм — это название действующего правила вывода (часто сокращенно HS и иногда также называемого цепным аргументом , цепным правилом или принципом транзитивности импликации ). Правило можно сформулировать:

${\displaystyle {\frac {P\to Q,Q\to R}{\therefore P\to R}}}$

Другими словами, всякий раз, когда экземпляры " " и " " появляются в строках доказательства , " " можно поместить на следующей строке. ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle Q\to R}$ ${\displaystyle P\to R}$

Применимость

Правило гипотетического силлогизма справедливо в классической логике , интуиционистской логике , большинстве систем релевантной логики и многих других системах логики. Однако оно справедливо не для всех логик, включая, например, немонотонную логику , вероятностную логику и логику по умолчанию . Причина этого в том, что эта логика описывает отменяемые рассуждения , а условные выражения, которые появляются в контексте реального мира, обычно допускают исключения, предположения по умолчанию, условия при прочих равных условиях или просто простую неопределенность.

Пример взят из работы Эрнеста В. Адамса, ^[4]

1. Если Джонс победит на выборах, Смит уйдет в отставку после выборов.
2. Если Смит умрет до выборов, Джонс победит на выборах.
3. Если Смит умрет до выборов, Смит уйдет в отставку после выборов.

Ясно, что (3) не следует из (1) и (2). (1) верно по умолчанию, но не выполняется в исключительных обстоятельствах смерти Смита. На практике реальные условные выражения всегда имеют тенденцию включать предположения или контексты по умолчанию, и может оказаться невозможным или даже невозможным указать все исключительные обстоятельства, при которых они могут оказаться неверными. По тем же причинам правило гипотетического силлогизма не действует для контрфактических кондиционалов .

Формальные обозначения

Правило вывода гипотетического силлогизма может быть записано в последовательной записи, что представляет собой специализацию правила отсечения:

${\displaystyle {\frac {P\vdash Q\quad Q\vdash R}{P\vdash R}}}$

где – металогический символ и значение, являющиеся синтаксическим следствием в некоторой логической системе ; ${\displaystyle \vdash }$ ${\displaystyle A\vdash B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

и выражается в виде функциональной истинности тавтологии или теоремы логики высказываний :

${\displaystyle ((P\to Q)\land (Q\to R))\to (P\to R)}$

где , , и – предложения, выраженные в некоторой формальной системе . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle R}$

Доказательство

Альтернативные формы

Альтернативная форма гипотетического силлогизма, более полезная для классических систем исчисления высказываний с импликацией и отрицанием (т.е. без символа союза), следующая:

(HS1) ${\displaystyle (Q\to R)\to ((P\to Q)\to (P\to R))}$

Еще одна форма:

(HS2) ${\displaystyle (P\to Q)\to ((Q\to R)\to (P\to R))}$

Доказательство

Ниже приведен пример доказательства этих теорем в таких системах. Мы используем две из трех аксиом, используемых в одной из популярных систем, описанных Яном Лукасевичем . Доказательства опираются на две из трех аксиом этой системы:

(А1) ${\displaystyle \phi \to \left(\psi \to \phi \right)}$

(А2) ${\displaystyle \left(\phi \to \left(\psi \rightarrow \xi \right)\right)\to \left(\left(\phi \to \psi \right)\to \left(\phi \to \xi \right)\right)}$

Доказательство (HS1) заключается в следующем:

(1)       (пример (A1)) ${\displaystyle ((p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r)))\to ((q\to r)\to ((p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r))))}$

(2)       (пример (A2)) ${\displaystyle (p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r))}$

(3)       (из (1) и (2) по modus ponens ) ${\displaystyle (q\to r)\to ((p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r)))}$

(4)       (пример (A2)) ${\displaystyle ((q\to r)\to ((p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r))))\to (((q\to r)\to (p\to (q\to r)))\to ((q\to r)\to ((p\to q)\to (p\to r))))}$

(5)       (из (3) и (4) по modus ponens ) ${\displaystyle ((q\to r)\to (p\to (q\to r)))\to ((q\to r)\to ((p\to q)\to (p\to r)))}$

(6)       (пример (A1)) ${\displaystyle (q\to r)\to (p\to (q\to r))}$

(7) (из (5) и (6) по modus ponens ) ${\displaystyle (q\to r)\to ((p\to q)\to (p\to r))}$

Доказательство (HS2) приведено здесь .

Как метатеорема

Всякий раз, когда у нас есть две теоремы вида и , мы можем доказать их следующими шагами: ${\displaystyle T_{1}=(Q\to R)}$ ${\displaystyle T_{2}=(P\to Q)}$ ${\displaystyle (P\to R)}$

(1)       (пример доказанной выше теоремы) ${\displaystyle (Q\to R)\to ((P\to Q)\to (P\to R)))}$

(2)       (пример (T1)) ${\displaystyle Q\to R}$

(3)       (из (1) и (2) по modus ponens) ${\displaystyle (P\to Q)\to (P\to R)}$

(4)       (пример (T2)) ${\displaystyle P\to Q}$

(5)       (из (3) и (4) по modus ponens) ${\displaystyle P\to R}$

Смотрите также

• Правдоподобное рассуждение
• Транзитивное отношение
• Тип силлогизма (дизъюнктивный, гипотетический, юридический, поли-, прослептический, квази-, статистический)

Рекомендации

1. «История логики: Теофраст Эресский» в Британской энциклопедии Online .
2. Сюзанна Бобзиен, «Развитие Modus Ponens в древности: «От Аристотеля до 2-го века нашей эры», Phronesis, Том 47, № 4 (2002), стр. 359-394.
3. Кашеф, Арман. (2023), В поисках универсальной логики: краткий обзор эволюции формальной логики, doi :10.13140/RG.2.2.24043.82724/1
4. Адамс, Эрнест В. (1975). Логика условных предложений . Дордрехт: Рейдель. п. 22.

Внешние ссылки

• Индекс философии: гипотетический силлогизм