Модус толленс

Правило логического вывода

В логике высказываний modus tollens ( / ˈ m oʊ d ə s ˈ t ɒ l ɛ n z / ) ( MT ) , также известный как modus tollendo tollens ( лат . «метод удаления путем отнятия») ^[2] и отрицание консеквент [ ^3] представляет собой дедуктивную форму аргумента и правило вывода . Modus tollens — это смешанный гипотетический силлогизм , принимающий форму «Если P , то Q. Не Q. Следовательно, не P ». Это применение общей истины, согласно которой, если утверждение истинно, то и обратное ему истинно . Форма показывает, что вывод из P подразумевает Q, а отрицание Q подразумевает, что отрицание P является действительным аргументом.

История правила вывода modus tollens уходит корнями в глубокую древность . ^[4] Первым, кто явно описал форму аргумента modus tollens, был Теофраст . ^[5]

Modus tollens тесно связан с modus ponens . Есть две схожие, но недействительные формы аргументации : утверждение последующего и отрицание антецедента . См. также противопоставление и доказательство контрапозитивом .

Объяснение

Форма аргументации modus tollens представляет собой смешанный гипотетический силлогизм с двумя посылками и заключением:

Если П , то К.

Не Кью .

Следовательно, не П.

Первая посылка представляет собой условное утверждение («если-то»), например, P подразумевает Q . Вторая посылка — это утверждение, что Q , следствие условного утверждения, не соответствует действительности. Из этих двух предпосылок можно логически заключить, что Р , антецедент условного утверждения, также не имеет места.

Например:

Если собака обнаружит злоумышленника, она начнет лаять.

Собака не лаяла.

Таким образом, злоумышленника собака не обнаружила.

Если предположить, что обе предпосылки верны (собака будет лаять, если обнаружит злоумышленника, и действительно не лает), из этого следует, что злоумышленник не был обнаружен. Это веский аргумент, поскольку вывод не может быть ложным, если посылки истинны. (Вполне возможно, что мог существовать злоумышленник, которого собака не обнаружила, но это не делает аргумент недействительным; первая посылка такова: «если собака обнаружит злоумышленника». Важно то, что собака обнаружит или сделает это). не обнаружить злоумышленника, даже если он есть.)

Пример 1:

Если я грабитель, то я могу взломать сейф.

Я не могу взломать сейф.

Следовательно, я не грабитель.

Пример 2:

Если Рекс — курица, то он — птица.

Рекс не птица.

Следовательно, Рекс не курица.

Отношение к modus ponens

Каждое использование modus tollens можно преобразовать в использование modus ponens и одно использование транспозиции в посылку, которая является материальной импликацией. Например:

Если П , то Q. (предпосылка – существенное значение)

Если не Q , то и не P. (получено транспонированием)

Не Кью . (помещение)

Следовательно, не П. (получено методом modus ponens )

Аналогично, любое использование modus ponens может быть преобразовано в использование modus tollens и транспозиции.

Формальные обозначения

Формально правило modus tollens можно сформулировать так:

${\displaystyle {\frac {P\to Q,\neg Q}{\therefore \neg P}}}$

где означает утверждение «P подразумевает Q». означает «это не тот случай, что Q» (или кратко «не Q»). Тогда всякий раз, когда " " и " " появляются каждый отдельно в качестве строки доказательства , тогда " " может быть правильно помещен в последующую строку. ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle \neg Q}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle \neg Q}$ ${\displaystyle \neg P}$

Правило modus tollens можно записать в последовательных обозначениях:

${\displaystyle P\to Q,\neg Q\vdash \neg P}$

где – металогический символ, означающий, что является синтаксическим следствием и в некоторой логической системе ; ${\displaystyle \vdash }$ ${\displaystyle \neg P}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle \neg Q}$

или как утверждение функциональной тавтологии или теоремы логики высказываний:

${\displaystyle ((P\to Q)\land \neg Q)\to \neg P}$

где и — предложения, выраженные в некоторой формальной системе ; ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

или включая предположения:

${\displaystyle {\frac {\Gamma \vdash P\to Q~~~\Gamma \vdash \neg Q}{\Gamma \vdash \neg P}}}$

хотя, поскольку правило не меняет набор предположений, в этом нет строгой необходимости.

Более сложные переписывания, включающие modus tollens, часто встречаются, например, в теории множеств :

${\displaystyle P\subseteq Q}$

${\displaystyle x\notin Q}$

${\displaystyle \therefore x\notin P}$

(«P — подмножество Q. x нет в Q. Следовательно, x нет в P».)

Также в логике предикатов первого порядка :

${\displaystyle \forall x:~P(x)\to Q(x)}$

${\displaystyle \neg Q(y)}$

${\displaystyle \therefore ~\neg P(y)}$

(«Для всех x, если x есть P, то x есть Q. y не есть Q. Следовательно, y не есть P.»)

Строго говоря, это не примеры modus tollens , но они могут быть получены из modus tollens с помощью нескольких дополнительных шагов.

Обоснование с помощью таблицы истинности

Валидность modus tollens может быть наглядно продемонстрирована с помощью таблицы истинности .

В случаях modus tollens мы предполагаем в качестве предпосылок, что p → q истинно, а q ложно. Существует только одна строка таблицы истинности — четвертая строка — которая удовлетворяет этим двум условиям. В этой строке p ложно. Следовательно, в каждом случае, когда p → q истинно, а q ложно, p также должно быть ложным.

Формальное доказательство

Через дизъюнктивный силлогизм

Через доведение до абсурда

Через противопоставление

Соответствие другим математическим основам

Вероятностное исчисление

Modus tollens представляет собой пример закона полной вероятности в сочетании с теоремой Байеса, выраженной как:

$${\displaystyle \Pr(P)=\Pr(P\mid Q)\Pr(Q)+\Pr(P\mid \lnot Q)\Pr(\lnot Q)\,,}$$

где условные обозначения и получены с помощью (расширенной формы) теоремы Байеса, выраженной как: ${\displaystyle \Pr(P\mid Q)}$ ${\displaystyle \Pr(P\mid \lnot Q)}$

$${\displaystyle \Pr(P\mid Q)={\frac {\Pr(Q\mid P)\,a(P)}{\Pr(Q\mid P)\,a(P)+\Pr(Q\mid \lnot P)\,a(\lnot P)}}\;\;\;}$$

$${\displaystyle \Pr(P\mid \lnot Q)={\frac {\Pr(\lnot Q\mid P)\,a(P)}{\Pr(\lnot Q\mid P)\,a(P)+\Pr(\lnot Q\mid \lnot P)\,a(\lnot P)}}.}$$

В приведенных выше уравнениях обозначает вероятность и обозначает базовую ставку (также известную как априорная вероятность ) для . Условная вероятность обобщает логическое утверждение , т. е. помимо присвоения ИСТИНА или ЛОЖЬ мы также можем присвоить этому утверждению любую вероятность. Предположим, что это эквивалентно значению ИСТИНА, а это эквивалентно значению ЛОЖЬ. Тогда легко увидеть, что когда и . Это потому , что в последнем уравнении. Следовательно, члены произведения в первом уравнении всегда имеют нулевой коэффициент, что эквивалентно ЛОЖНОСТИ. Следовательно, закон полной вероятности в сочетании с теоремой Байеса представляет собой обобщение modus tollens . ^[6] ${\displaystyle \Pr(Q)}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle a(P)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Pr(Q\mid P)}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle \Pr(Q)=1}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \Pr(Q)=0}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \Pr(P)=0}$ ${\displaystyle \Pr(Q\mid P)=1}$ ${\displaystyle \Pr(Q)=0}$ ${\displaystyle \Pr(\lnot Q\mid P)=1-\Pr(Q\mid P)=0}$ ${\displaystyle \Pr(P\mid \lnot Q)=0}$ ${\displaystyle \Pr(P)=0}$ ${\displaystyle P}$

Субъективная логика

Modus tollens представляет собой экземпляр оператора абдукции в субъективной логике , выраженный как:

$${\displaystyle \omega _{P{\tilde {\|}}Q}^{A}=(\omega _{Q|P}^{A},\omega _{Q|\lnot P}^{A}){\widetilde {\circledcirc }}(a_{P},\,\omega _{Q}^{A})\,,}$$

где обозначает субъективное мнение о , а обозначает пару биномиальных условных мнений, выраженных источником . Параметр обозначает базовую ставку (также известную как априорная вероятность ) . Обозначается похищенное маргинальное мнение о . Условное мнение обобщает логическое высказывание , т.е. помимо присвоения ИСТИНА или ЛОЖЬ источник может приписать высказыванию любое субъективное мнение. Случай, когда абсолютно ВЕРНОЕ мнение, эквивалентен тому, что источник говорит, что это ПРАВДА, а случай, когда абсолютно ЛОЖНОЕ мнение, эквивалентен тому, что источник говорит, что это ЛОЖЬ. Оператор абдукции субъективной логики создает абсолютно ЛОЖНОЕ похищенное мнение, когда условное мнение абсолютно ИСТИНА, а последующее мнение абсолютно ЛОЖНО. Следовательно, абдукция субъективной логики представляет собой обобщение как modus tollens , так и закона полной вероятности в сочетании с теоремой Байеса . ^[7] ${\displaystyle \omega _{Q}^{A}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle (\omega _{Q|P}^{A},\omega _{Q|\lnot P}^{A})}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a_{P}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \omega _{P{\tilde {\|}}Q}^{A}}$ ${\displaystyle \omega _{Q|P}^{A}}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \omega _{Q}^{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \omega _{Q}^{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle {\widetilde {\circledcirc }}}$ ${\displaystyle \omega _{P{\widetilde {\|}}Q}^{A}}$ ${\displaystyle \omega _{Q|P}^{A}}$ ${\displaystyle \omega _{Q}^{A}}$

Смотрите также

• Доказательства отсутствия  – Ошибка релевантности
• Латинские фразы
• Modus Operandi  – Привычки работы
• Modus ponens  - Правило логического вывода.
• Modus vivendi  – Соглашение, позволяющее конфликтующим сторонам мирно сосуществовать.
• Non sequitur  - ошибочное дедуктивное рассуждение из-за логической ошибки.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Доказательство от противного  - Доказательство, показывающее, что отрицание невозможно.
• Доказательство контрапозитивом  – Логический аргумент
• Стоическая логика  - система логики высказываний, разработанная философами-стоиками.

Примечания

1. Мэтью С. Харрис. «Отрицание антецедента». Ханская академия .
2. Стоун, Джон Р. (1996). Латынь для неграмотных: изгнание призраков мертвого языка . Лондон: Рутледж. п. 60. ИСБН 978-0-415-91775-9.
3. Сэнфорд, Дэвид Хоули (2003). Если P, то Q: Условные обозначения и основы рассуждений (2-е изд.). Лондон: Рутледж. п. 39. ИСБН 978-0-415-28368-7. [Modus] tollens всегда является аббревиатурой от modus tollendo tollens, настроения, которое отрицается отрицанием.
4. Сюзанна Бобзиен (2002). «Развитие Modus Ponens в древности», Phronesis 47.
5. «Древняя логика: предшественники Modus Ponens и Modus Tollens». Стэнфордская энциклопедия философии .
6. Аудун Йосанг 2016: стр.2
7. Аудун Йосанг 2016: стр.92

Источники

• Аудун Йосанг, 2016, Субъективная логика; Формализм рассуждений в условиях неопределенности Спрингер, Чам, ISBN 978-3-319-42337-1 

Внешние ссылки

• Модус Толленс в Wolfram MathWorld