Главный идеал

Кольцевой идеал, порожденный одним элементом кольца

В математике , в частности в теории колец , главный идеал — это идеал в кольце , который порождается одним элементом из путем умножения на каждый элемент из Этот термин также имеет другое, похожее значение в теории порядков , где он относится к (порядковому) идеалу в частично упорядоченном множестве, порождаемом одним элементом, то есть множеству всех элементов, меньших или равных в ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x\in P,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P.}$

Оставшаяся часть статьи посвящена концепции теории колец.

Определения

• левый главный идеал — это подмножество , заданное для некоторого элемента ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle Ra=\{ra:r\in R\}}$ ${\displaystyle a,}$
• правый главный идеал — это подмножество, заданное для некоторого элемента ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle aR=\{ar:r\in R\}}$ ${\displaystyle a,}$
• двусторонний главный идеал — это подмножество, заданное для некоторого элемента, а именно, множество всех конечных сумм элементов вида ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle RaR=\{r_{1}as_{1}+\ldots +r_{n}as_{n}:r_{1},s_{1},\ldots ,r_{n},s_{n}\in R\}}$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle ras.}$

Хотя это определение двустороннего главного идеала может показаться более сложным, чем другие, необходимо гарантировать, что идеал остается замкнутым при сложении. ^{[ необходима цитата ]}

Если — коммутативное кольцо с единицей, то все три вышеприведенных понятия одинаковы. В этом случае принято записывать идеал, порожденный как или ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \langle a\rangle }$ ${\displaystyle (a).}$

Примеры неглавного идеала

Не все идеалы являются главными. Например, рассмотрим коммутативное кольцо всех многочленов от двух переменных и с комплексными коэффициентами. Идеал , порожденный и , который состоит из всех многочленов в , имеющих ноль для постоянного члена , не является главным. Чтобы увидеть это, предположим, что были бы генератором для Тогда и оба делились бы на , что невозможно, если только не является ненулевой константой. Но ноль является единственной константой в , поэтому мы имеем противоречие . ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle .}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle ,}$

В кольце числа, где четно, образуют неглавный идеал. Этот идеал образует правильную шестиугольную решетку в комплексной плоскости. Рассмотрим и Эти числа являются элементами этого идеала с одинаковой нормой (два), но поскольку единственными единицами в кольце являются и они не являются ассоциированными. ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]=\{a+b{\sqrt {-3}}:a,b\in \mathbb {Z} \},}$ ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle (a,b)=(2,0)}$ ${\displaystyle (1,1).}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -1,}$

Связанные определения

Кольцо, в котором каждый идеал является главным, называется главным или кольцом главных идеалов . Область главных идеалов (PID) — это область целостности, в которой каждый идеал является главным. Любой PID — это область уникальной факторизации ; обычное доказательство уникальной факторизации в целых числах (так называемая фундаментальная теорема арифметики ) справедливо в любом PID.

Примеры главного идеала

Главные идеалы в имеют вид Фактически, является областью главных идеалов, что можно показать следующим образом. Предположим, что и рассмотрим сюръективные гомоморфизмы Поскольку конечно, для достаточно больших имеем Таким образом, что подразумевает всегда конечно порождено. Поскольку идеал, порожденный любыми целыми числами и есть в точности по индукции по числу порождающих, следует, что является главным. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \langle n\rangle =n\mathbb {Z} .}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle I=\langle n_{1},n_{2},\ldots \rangle }$ ${\displaystyle n_{1}\neq 0,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /\langle n_{1}\rangle \rightarrow \mathbb {Z} /\langle n_{1},n_{2}\rangle \rightarrow \mathbb {Z} /\langle n_{1},n_{2},n_{3}\rangle \rightarrow \cdots .}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /\langle n_{1}\rangle }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /\langle n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}\rangle =\mathbb {Z} /\langle n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k+1}\rangle =\cdots .}$ ${\displaystyle I=\langle n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}\rangle ,}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \langle \mathop {\mathrm {gcd} } (a,b)\rangle ,}$ ${\displaystyle I}$

Однако все кольца имеют главные идеалы, а именно, любой идеал, порожденный ровно одним элементом. Например, идеал является главным идеалом и является главным идеалом Фактически, и являются главными идеалами любого кольца ${\displaystyle \langle x\rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y],}$ ${\displaystyle \langle {\sqrt {-3}}\rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}].}$ ${\displaystyle \{0\}=\langle 0\rangle }$ ${\displaystyle R=\langle 1\rangle }$ ${\displaystyle R.}$

Характеристики

Любая евклидова область является PID ; алгоритм, используемый для вычисления наибольших общих делителей , может быть использован для нахождения генератора любого идеала. В более общем смысле, любые два главных идеала в коммутативном кольце имеют наибольший общий делитель в смысле идеального умножения. В главных идеальных областях это позволяет нам вычислять наибольшие общие делители элементов кольца, с точностью до умножения на единицу ; мы определяем как любой генератор идеала ${\displaystyle \gcd(a,b)}$ ${\displaystyle \langle a,b\rangle .}$

Для дедекиндовой области мы также можем спросить, если задан неглавный идеал , существует ли некоторое расширение , такое, что идеал , порожденный , является главным (говоря более свободно, становится главным в ). Этот вопрос возник в связи с изучением колец алгебраических целых чисел (которые являются примерами дедекиндовых областей) в теории чисел и привел к разработке теории полей классов Тейджи Такаги , Эмилем Артином , Дэвидом Гильбертом и многими другими. ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle S}$

Теорема о главном идеале теории полей классов утверждает, что каждое кольцо целых чисел (т. е. кольцо целых чисел некоторого числового поля ) содержится в большем кольце целых чисел , которое обладает тем свойством, что каждый идеал становится главным идеалом В этой теореме мы можем взять кольцо целых чисел поля классов Гильберта ; то есть максимальное неразветвленное абелево расширение (то есть расширение Галуа , группа Галуа которого абелева ) поля дробей , и это однозначно определяется соотношением ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle R.}$

Теорема Крулля о главном идеале гласит, что если — нётерово кольцо и — главный собственный идеал кольца , то его высота не превышает единицы. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle I}$

Смотрите также

• Условие возрастающей цепи для главных идеалов

Ссылки

• Галлиан, Джозеф А. (2017). Contemporary Abstract Algebra (9-е изд.). Cengage Learning. ISBN 978-1-305-65796-0.