В алгебраической геометрии гладкое пополнение (или гладкая компактификация ) гладкой аффинной алгебраической кривой X — это полная гладкая алгебраическая кривая , которая содержит X как открытое подмножество. [1] Гладкие пополнения существуют и единственны над совершенным полем .
Аффинная форма гиперэллиптической кривой может быть представлена как , где и P ( x ) имеет различные корни и имеет степень не менее 5. Замыкание Зарисского аффинной кривой в является сингулярным в единственной добавленной бесконечной точке. Тем не менее, аффинная кривая может быть вложена в уникальную компактную риманову поверхность, называемую ее гладким завершением. Проекция римановой поверхности на является 2-к-1 над особой точкой на бесконечности, если имеет четную степень, и 1-к-1 (но разветвленной) в противном случае.
Это гладкое завершение можно получить также следующим образом. Спроецируйте аффинную кривую на аффинную прямую, используя координату x . Вложите аффинную прямую в проективную прямую, затем возьмите нормализацию проективной прямой в функциональном поле аффинной кривой.
Гладкая связная кривая над алгебраически замкнутым полем называется гиперболической, если g — род гладкого пополнения, а r — число добавленных точек.
Над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 фундаментальная группа X свободна с образующими, если r >0.
(Аналог теоремы Дирихле о единицах ) Пусть X — гладкая связная кривая над конечным полем. Тогда единицы кольца регулярных функций O(X) на X — конечно порождённая абелева группа ранга r -1.
Предположим, что базовое поле совершенно. Любая аффинная кривая X изоморфна открытому подмножеству целочисленной проективной (следовательно, полной) кривой. Взятие нормализации (или раздутие особенностей) проективной кривой тогда дает гладкое пополнение X. Их точки соответствуют дискретным оценкам поля функций , которые тривиальны на базовом поле.
По построению гладкое завершение является проективной кривой, которая содержит данную кривую как всюду плотное открытое подмножество, а добавленные новые точки являются гладкими. Такое (проективное) завершение всегда существует и единственно.
Если базовое поле не является совершенным, гладкое пополнение гладкой аффинной кривой не всегда существует. Но описанный выше процесс всегда производит регулярное пополнение, если мы начинаем с регулярной аффинной кривой (гладкие многообразия являются регулярными, и обратное верно над совершенными полями). Регулярное пополнение уникально и, по оценочному критерию правильности , любой морфизм из аффинной кривой в полное алгебраическое многообразие продолжается однозначно до регулярного пополнения.
Если X — отделимое алгебраическое многообразие, теорема Нагаты [2] гласит, что X может быть вложено как открытое подмножество полного алгебраического многообразия. Если X , кроме того, гладкое и базовое поле имеет характеристику 0, то по теореме Хиронаки X может быть даже вложено как открытое подмножество полного гладкого алгебраического многообразия с границей — нормальным пересекающимся дивизором. Если X квазипроективно, гладкое пополнение может быть выбрано проективным.
Однако, в отличие от одномерного случая, гладкое завершение не является ни единственным, ни каноническим.
