Поверхность Больца

В математике риманова поверхность

В математике поверхность Больца , или комплексная алгебраическая кривая Больца (введенная Оскаром Больца  (1887)), представляет собой компактную риманову поверхность рода с максимально возможным порядком группы конформных автоморфизмов в этом роде, а именно порядка 48 ( общая линейная группа матриц над конечным полем ). Полная группа автоморфизмов (включая отражения) является полупрямым произведением порядка 96. Аффинная модель для поверхности Больца может быть получена как геометрическое место уравнения ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle GL_{2}(3)}$ ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{3}}$ ${\displaystyle GL_{2}(3)\rtimes \mathbb {Z} _{2}}$

${\displaystyle y^{2}=x^{5}-x}$

в . Поверхность Больца является гладким завершением аффинной кривой. Из всех гиперболических поверхностей рода поверхность Больца максимизирует длину систолы ( Schmutz 1993). Как гиперэллиптическая риманова поверхность, она возникает как разветвленное двойное покрытие сферы Римана с точками разветвления в шести вершинах правильного октаэдра, вписанного в сферу, как легко увидеть из уравнения выше. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle 2}$

Поверхность Больца привлекла внимание физиков, поскольку она обеспечивает относительно простую модель квантового хаоса ; в этом контексте ее обычно называют моделью Адамара–Гуцвиллера . ^[1] Спектральная теория оператора Лапласа–Бельтрами, действующего на функции на поверхности Больца, представляет интерес как для математиков, так и для физиков, поскольку предполагается, что поверхность максимизирует первое положительное собственное значение лапласиана среди всех компактных замкнутых римановых поверхностей рода с постоянной отрицательной кривизной . ${\displaystyle 2}$

Треугольная поверхность

Замощение поверхности Больца областями отражения является частным случаем разбиения пополам восьмиугольной мозаики порядка 3 .

Фундаментальная область поверхности Больца в круге Пуанкаре; противоположные стороны обозначены.

Поверхность Больца конформно эквивалентна треугольной поверхности – см. треугольник Шварца . Более конкретно, фуксова группа, определяющая поверхность Больца, является подгруппой группы, порожденной отражениями относительно сторон гиперболического треугольника с углами . Группа изометрий, сохраняющих ориентацию, является подгруппой подгруппы индекса -2 группы отражений, которая состоит из произведений четного числа отражений, которая имеет абстрактное представление в терминах образующих и соотношений, а также . Фуксова группа, определяющая поверхность Больца, также является подгруппой группы треугольника (3,3,4) , которая является подгруппой индекса 2 в группе треугольников. Группа не имеет реализации в терминах кватернионной алгебры, но группа имеет. ${\displaystyle (2,3,8)}$ ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{3}},{\tfrac {\pi }{8}}}$ ${\displaystyle s_{2},s_{3},s_{8}}$ ${\displaystyle s_{2}{}^{2}=s_{3}{}^{3}=s_{8}{}^{8}=1}$ ${\displaystyle s_{2}s_{3}=s_{8}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle (2,3,8)}$ ${\displaystyle (2,3,8)}$ ${\displaystyle (3,3,4)}$

Под действием на диск Пуанкаре фундаментальная область поверхности Больца представляет собой правильный восьмиугольник с углами и вершинами при ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}}$

${\displaystyle p_{k}=2^{-1/4}e^{i\left({\tfrac {\pi }{8}}+{\tfrac {k\pi }{4}}\right)},}$

где . Противоположные стороны восьмиугольника определяются под действием группы Фукса. Ее образующими являются матрицы ${\displaystyle k=0,\ldots ,7}$

${\displaystyle g_{k}={\begin{pmatrix}1+{\sqrt {2}}&(2+{\sqrt {2}})\alpha e^{\tfrac {ik\pi }{4}}\\(2+{\sqrt {2}})\alpha e^{-{\tfrac {ik\pi }{4}}}&1+{\sqrt {2}}\end{pmatrix}},}$

где и , вместе с их обратными. Генераторы удовлетворяют соотношению ${\displaystyle \alpha ={\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}}$ ${\displaystyle k=0,\ldots ,3}$

${\displaystyle g_{0}g_{1}^{-1}g_{2}g_{3}^{-1}g_{0}^{-1}g_{1}g_{2}^{-1}g_{3}=1.}$

Эти генераторы связаны со спектром длин, который дает все возможные длины геодезических петель. Самая короткая такая длина называется систолой поверхности. Систола поверхности Больца — это

${\displaystyle \ell _{1}=2\operatorname {\rm {arcosh}} (1+{\sqrt {2}})\approx 3.05714.}$

Элемент спектра длины для поверхности Больца определяется выражением ${\displaystyle n^{\text{th}}}$ ${\displaystyle \ell _{n}}$

${\displaystyle \ell _{n}=2\operatorname {\rm {arcosh}} (m+n{\sqrt {2}}),}$

где пробегает положительные целые числа (но исключая 4, 24, 48, 72, 140 и различные более высокие значения) (Aurich, Bogomolny & Steiner 1991) и где — уникальное нечетное целое число, которое минимизирует ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle \vert m-n{\sqrt {2}}\vert .}$

Можно получить эквивалентную замкнутую форму систолы непосредственно из группы треугольников. Существуют формулы для явного вычисления длин сторон треугольников (2,3,8). Систола равна четырем длинам стороны средней длины в треугольнике (2,3,8), то есть,

${\displaystyle \ell _{1}=4\operatorname {\rm {arcosh}} \left({\tfrac {\csc \left({\tfrac {\pi }{8}}\right)}{2}}\right)\approx 3.05714.}$

Геодезические длины также появляются в координатах Фенхеля-Нильсена поверхности. Набор координат Фенхеля-Нильсена для поверхности рода 2 состоит из трех пар, каждая пара представляет собой длину и закручивание. Возможно, простейшим таким набором координат для поверхности Больца является , где . ${\displaystyle \ell _{n}}$ ${\displaystyle (\ell _{2},{\tfrac {1}{2}};\;\ell _{1},0;\;\ell _{1},0)}$ ${\displaystyle \ell _{2}=2\operatorname {\rm {arcosh}} (3+2{\sqrt {2}})\approx 4.8969}$

Существует также «симметричный» набор координат , где все три длины являются систолой , а все три поворота задаются как ^[2] ${\displaystyle (\ell _{1},t;\;\ell _{1},t;\;\ell _{1},t)}$ ${\displaystyle \ell _{1}}$

${\displaystyle t={\frac {\operatorname {\rm {arcosh}} \left({\sqrt {{\tfrac {2}{7}}(3+{\sqrt {2}})}}\right)}{\operatorname {\rm {arcosh}} (1+{\sqrt {2}})}}\approx 0.321281.}$

Симметрии поверхности

Четыре генератора группы симметрии поверхности Больца

Фундаментальная область поверхности Больца представляет собой правильный восьмиугольник в круге Пуанкаре; четыре симметричных действия, которые генерируют (полную) группу симметрии, следующие:

• R – вращение 8-го порядка вокруг центра восьмиугольника;
• S – отражение в действительной оси;
• T – отражение в сторону одного из 16 (4,4,4) треугольников, составляющих восьмиугольник;
• U – вращение третьего порядка вокруг центра треугольника (4,4,4).

Они показаны жирными линиями на соседнем рисунке. Они удовлетворяют следующему набору соотношений:

${\displaystyle \langle R,\,S,\,T,\,U\mid R^{8}=S^{2}=T^{2}=U^{3}=RSRS=STST=RTR^{3}T=e,\,UR=R^{7}U^{2},\,U^{2}R=STU,\,US=SU^{2},\,UT=RSU\rangle ,}$

где — тривиальное (тождественное) действие. Можно использовать этот набор отношений в GAP для извлечения информации о теории представлений группы. В частности, существует четыре одномерных, два двумерных, четыре трехмерных и три четырехмерных неприводимых представления, и ${\displaystyle e}$

${\displaystyle 4(1^{2})+2(2^{2})+4(3^{2})+3(4^{2})=96}$

как и ожидалось.

Спектральная теория

Графики трех собственных функций, соответствующих первому положительному собственному значению поверхности Больца. Функции равны нулю на светло-голубых линиях. Эти графики были получены с помощью FreeFEM++ .

Здесь спектральная теория относится к спектру лапласиана, . Первое собственное пространство (то есть собственное пространство, соответствующее первому положительному собственному значению) поверхности Больца является трехмерным, а второе — четырехмерным (Cook 2018), (Jenni 1981). Считается, что исследование возмущений узловых линий функций в первом собственном пространстве в пространстве Тейхмюллера даст предполагаемый результат во введении. Эта гипотеза основана на обширных численных вычислениях собственных значений поверхности и других поверхностей рода 2. В частности, спектр поверхности Больца известен с очень высокой точностью (Strohmaier & Uski 2013). В следующей таблице приведены первые десять положительных собственных значений поверхности Больца. ${\displaystyle \Delta }$

Спектральный определитель и энергия Казимира поверхности Больца равны ${\displaystyle \zeta (-1/2)}$

${\displaystyle \det {}_{\zeta }(\Delta )\approx 4.72273280444557}$

и

${\displaystyle \zeta _{\Delta }(-1/2)\approx -0.65000636917383}$

соответственно, где все десятичные знаки считаются правильными. Предполагается, что спектральный определитель максимизируется в роде 2 для поверхности Больца.

Алгебра кватернионов

Следуя Маклахлану и Риду, кватернионная алгебра может быть принята как алгебра, сгенерированная как ассоциативная алгебра генераторами i,j и соотношениями ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$

${\displaystyle i^{2}=-3,\;j^{2}={\sqrt {2}},\;ij=-ji,}$

с соответствующим выбором заказа .

Смотрите также

• Гиперэллиптическая кривая
• Клейн квартик
• кривая Бринга
• Поверхность Макбита
• Первый триплет Гурвица

Ссылки

• Больца, Оскар (1887), «О бинарных секстиках с линейными преобразованиями в себя», Американский журнал математики , 10 (1): 47–70, doi :10.2307/2369402, JSTOR  2369402
• Katz, M.; Sabourau, S. (2006). «Оптимальное систолическое неравенство для метрик CAT(0) в роде два». Pacific J. Math. 227 (1): 95–107. arXiv : math.DG/0501017 . doi :10.2140/pjm.2006.227.95. S2CID  16510851.
• Шмутц, П. (1993). «Римановы поверхности с кратчайшей геодезической максимальной длины». GAFA . 3 (6): 564–631. doi :10.1007/BF01896258. S2CID  120508826.
• Aurich, R.; Bogomolny, EB; Steiner, F. (1991). «Периодические орбиты на правильном гиперболическом восьмиугольнике». Physica D: Nonlinear Phenomena . 48 (1): 91–101. Bibcode :1991PhyD...48...91A. doi :10.1016/0167-2789(91)90053-C.
• Кук, Дж. (2018). Свойства собственных значений на римановых поверхностях с большими группами симметрии (докторская диссертация, неопубликованная). Университет Лафборо.
• Дженни, Ф. (1981). Über das Spectrum des Laplace-Operators auf einer Schar kompakter Riemannscher Flächen (докторская диссертация). Базельский университет. ОСЛК  45934169.
• Strohmaier, A.; Uski, V. (2013). "Алгоритм для вычисления собственных значений, спектральных дзета-функций и дзета-детерминантов на гиперболических поверхностях". Communications in Mathematical Physics . 317 (3): 827–869. arXiv : 1110.2150 . Bibcode : 2013CMaPh.317..827S. doi : 10.1007/s00220-012-1557-1. S2CID  14305255.
• Maclachlan, C.; Reid, A. (2003). Арифметика гиперболических 3-многообразий . Graduate Texts in Math. Том 219. Нью-Йорк: Springer. ISBN 0-387-98386-4.

Специфический

1. Aurich, R.; Sieber, M.; Steiner, F. (1 августа 1988 г.). «Квантовый хаос модели Адамара–Гуцвиллера». Physical Review Letters . 61 (5): 483–487. Bibcode :1988PhRvL..61..483A. doi :10.1103/PhysRevLett.61.483. PMID  10039347. S2CID  20390243.
2. Strohmaier, Alexander (2017). Girouard, Alexandre (ред.). "Compuration of eigenvalues, spectrumal zeta functions and zeta-determinants on hyperbolic surfaces". Contemporary Mathematics . 700 . Montréal: Centre de Recherches Mathématiques and American Mathematical Society: 194. arXiv : 1603.07356 . doi :10.1090/conm/700. ISBN 9781470426651.