В математике глобальное поле — это один из двух типов полей (другой — локальные поля ), которые характеризуются с помощью оценок . Существует два вида глобальных полей : [1]
Аксиоматическая характеристика этих полей через теорию оценки была дана Эмилем Артином и Джорджем Уэйплсом в 1940-х годах. [2] [3]
Глобальное поле — это одно из следующих:
Алгебраическое числовое поле F является конечным (и, следовательно, алгебраическим ) расширением поля рациональных чисел Q. Таким образом, F является полем , содержащим Q и имеющим конечную размерность, если рассматривать его как векторное пространство над Q.
Поле функций алгебраического многообразия — это множество всех рациональных функций на этом многообразии. На неприводимой алгебраической кривой (т. е. одномерном многообразии V ) над конечным полем мы говорим, что рациональная функция на открытом аффинном подмножестве U определяется как отношение двух многочленов в аффинном координатном кольце U , и что рациональная функция на всем V состоит из таких локальных данных, которые совпадают на пересечениях открытых аффинных функций. Это технически определяет рациональные функции на V как поле дробей аффинного координатного кольца любого открытого аффинного подмножества, поскольку все такие подмножества плотны.
Между двумя типами полей имеется ряд формальных сходств. Поле любого типа обладает тем свойством, что все его пополнения являются локально компактными полями (см. локальные поля ). Каждое поле любого типа может быть реализовано как поле дробей дедекиндовой области , в которой каждый ненулевой идеал имеет конечный индекс. В каждом случае имеется формула произведения для ненулевых элементов x :
где v изменяется по всем оценкам поля.
Аналогия между двумя видами полей была сильной движущей силой в алгебраической теории чисел . Идея аналогии между числовыми полями и римановыми поверхностями восходит к Ричарду Дедекинду и Генриху М. Веберу в девятнадцатом веке. Более строгая аналогия, выраженная идеей «глобального поля», в которой аспект римановой поверхности как алгебраической кривой отображается на кривые, определенные над конечным полем, была создана в 1930-х годах, достигнув кульминации в гипотезе Римана для кривых над конечными полями, обоснованной Андре Вейлем в 1940 году. Терминология может быть связана с Вейлем, который написал свою «Основную теорию чисел» (1967) отчасти для разработки параллелизма.
Обычно проще работать в случае функционального поля, а затем попытаться разработать параллельные методы на стороне числового поля. Развитие теории Аракелова и ее использование Гердом Фалтингсом в его доказательстве гипотезы Морделла является ярким примером. Аналогия также оказала влияние на развитие теории Ивасавы и Главной гипотезы . Доказательство фундаментальной леммы в программе Ленглендса также использовало методы, которые сводили случай числового поля к случаю функционального поля.
Теорема Хассе–Минковского — фундаментальный результат в теории чисел , утверждающий, что две квадратичные формы над глобальным полем эквивалентны тогда и только тогда, когда они эквивалентны локально во всех местах , т. е. эквивалентны над каждым пополнением поля.
Закон взаимности Артина подразумевает описание абелианизации абсолютной группы Галуа глобального поля K , основанное на локально-глобальном принципе Хассе . Его можно описать в терминах когомологий следующим образом:
Пусть L v ⁄ K v — расширение Галуа локальных полей с группой Галуа G. Локальный закон взаимности описывает канонический изоморфизм
называемый локальным символом Артина , локальной картой взаимности или символом нормированного остатка . [4] [5]
Пусть L ⁄ K — расширение Галуа глобальных полей, а C L — группа классов иделей L . Карты θ v для различных мест v из K можно собрать в одну глобальную карту символов , умножив локальные компоненты класса иделей. Одно из утверждений закона взаимности Артина заключается в том, что это приводит к каноническому изоморфизму. [6] [7]
