Топология пространства-времени — это топологическая структура пространства -времени , тема, изучаемая в первую очередь в общей теории относительности . Эта физическая теория моделирует гравитацию как кривизну четырехмерного лоренцева многообразия (пространства-времени), и концепции топологии , таким образом , становятся важными при анализе локальных, а также глобальных аспектов пространства-времени. Изучение топологии пространства-времени особенно важно в физической космологии .
Существует два основных типа топологии пространства- времени M.
Как и любое многообразие, пространство-время обладает естественной топологией многообразия . Здесь открытые множества являются образом открытых множеств в .
Определение : [1] Топология , в которой подмножество открыто , если для каждой времениподобной кривой существует множество в топологии многообразия такое, что .
Это тончайшая топология , которая порождает ту же топологию, что и на времяподобных кривых. [2]
Строго тоньше , чем топология многообразия. Следовательно, оно хаусдорфово , сепарабельно , но не локально компактно .
Базой топологии являются множества вида для некоторой точки и некоторой выпуклой нормальной окрестности .
( обозначают хронологическое прошлое и будущее ).
Топология Александрова в пространстве-времени — это самая грубая топология , в которой оба и открыты для всех подмножеств .
Здесь основой открытых множеств топологии являются множества вида для некоторых точек .
Эта топология совпадает с топологией многообразия тогда и только тогда, когда многообразие сильно причинно, но, вообще говоря, оно более грубое. [3]
Обратите внимание, что в математике топологией Александрова частичного порядка обычно считается самая грубая топология, в которой только верхние множества должны быть открытыми. Эта топология восходит к Павлу Александрову .
В настоящее время правильным математическим термином для топологии Александрова в пространстве-времени (который восходит к Александру Д. Александрову ) будет интервальная топология , но когда Кронхаймер и Пенроуз ввели этот термин, эта разница в номенклатуре не была столь явной [ нужна цитата ] , и в физике продолжает использоваться термин топология Александрова.
События, связанные светом, имеют нулевое разделение. Полнота пространства-времени на плоскости разбита на четыре квадранта, каждый из которых имеет топологию R 2 . Разделительные линии представляют собой траектории входящих и исходящих фотонов в точке (0,0). Топологическая сегментация планарной космологии — это будущее F, прошлое P, пространство слева L и пространство справа D. Гомеоморфизм F с R 2 сводится к полярному разложению расщепленных комплексных чисел :
F находится в биективном соответствии с каждым из P, L и D при отображениях z → – z , z → j z и z → – j z , поэтому каждое из них приобретает одну и ту же топологию. Тогда объединение U = F ∪ P ∪ L ∪ D имеет топологию, почти покрывающую плоскость, исключая только нулевой конус на (0,0). Гиперболическое вращение плоскости не смешивает квадранты, фактически каждый из них представляет собой инвариантное множество относительно единичной группы гипербол .
