Головоломка Хоффмана по упаковке — это сборочная головоломка, названная в честь Дина Г. Хоффмана, который описал ее в 1978 году. [1] Головоломка состоит из 27 одинаковых прямоугольных кубоидов , каждое из ребер которых имеет три разные длины. Ее цель — собрать их все так, чтобы они поместились в кубе, длина ребра которого равна сумме трех длин. [2] [3]
Хоффман (1981) пишет, что первым человеком, решившим эту головоломку, был Дэвид А. Кларнер , и что типичное время решения может варьироваться от 20 минут до нескольких часов. [2]
Сама головоломка состоит только из 27 идентичных прямоугольных кубоидных блоков, хотя физические реализации головоломки также обычно предоставляют кубическую коробку для размещения блоков. Если три длины ребер блока равны x , y и z , то куб должен иметь длину ребра x + y + z . Хотя головоломку можно построить с любыми тремя различными длинами ребер, она становится наиболее сложной, когда три длины ребер блоков достаточно близки друг к другу, так что x + y + z < 4 min( x , y , z ) , так как это предотвращает альтернативные решения, в которых четыре блока минимальной ширины упакованы рядом друг с другом. Кроме того, наличие трех длин, образующих арифметическую прогрессию, может сделать ее более запутанной, потому что в этом случае размещение трех блоков средней ширины рядом друг с другом дает ряд правильной общей ширины, но такой, который не может привести к правильному решению всей головоломки. [2]
Каждое допустимое решение головоломки размещает блоки в приблизительной сетке блоков 3 × 3 × 3 , со сторонами блоков, параллельными сторонам внешнего куба, и с одним блоком каждой ширины вдоль каждой параллельной оси линии из трех блоков. Считая отражения и вращения как одно и то же решение, головоломка имеет 21 комбинаторно различных решений. [2] [4]
Общий объем частей, 27 xyz , меньше объема ( x + y + z ) 3 куба, в который они упакованы. Если взять кубический корень из обоих объемов и разделить на три, то число, полученное таким образом из общего объема частей, будет средним геометрическим x , y и z , тогда как число, полученное таким же образом из объема куба, будет их средним арифметическим . Тот факт, что части имеют меньший общий объем, чем куб, следует из неравенства среднего арифметического и среднего геометрического . [2] [3]
21 различных решения сведены в таблицу, как описано в ссылках, цитируемых выше [2] [4] .
Все поля ниже вводятся в формате (длина восток-запад) x (длина север-юг) x (длина сверху-снизу) , обозначая размер каждого поля размерами A , B и C , где A < B < C. (В приведенном выше примере A = 4, B = 5 и C = 6).
Все матрицы 3x3 описывают набор из 9 блоков с соседями по направлению «восток-запад» вдоль каждой строки и соседями по направлению «север-юг» вдоль каждого столбца, при этом три сложенных слоя перечислены последовательно для каждого решения.
Двумерный аналог головоломки требует упаковать четыре одинаковых прямоугольника со сторонами x и y в квадрат со стороной x + y ; как показано на рисунке, это всегда возможно. В d измерениях головоломка требует упаковать d d одинаковых блоков в гиперкуб . Согласно результату Рафаэля М. Робинсона это снова разрешимо, когда d = d 1 × d 2 для двух чисел d 1 и d 2 таких, что d 1 - и d 2 -мерные случаи сами по себе разрешимы. Например, согласно этому результату, она разрешима для размерностей 4, 6, 8, 9 и других 3-гладких чисел . Во всех измерениях неравенство арифметических и геометрических средних показывает, что объем частей меньше объема гиперкуба, в который они должны быть упакованы. Однако неизвестно, можно ли решить головоломку в пяти измерениях или в более высоких простых числах . [2] [5]
