неравенство AM–GM

Среднее арифметическое больше или равно среднему геометрическому

Доказательство неравенства AM–GM без слов : PR
— диаметр окружности с центром в точке O; ее радиус AO — среднее арифметическое a и b . Используя теорему о среднем геометрическом , высота GQ треугольника PGR — среднее геометрическое . Для любого отношения a : b , AO ≥ GQ.

Визуальное доказательство того, что ( x + y ) ² ≥ 4 xy . Извлечение квадратных корней и деление на два дает неравенство AM–GM. ^[1]

В математике неравенство среднего арифметического и среднего геометрического , или, короче, неравенство AM–GM , утверждает, что среднее арифметическое списка неотрицательных действительных чисел больше или равно среднему геометрическому того же списка; и, кроме того, что два средних равны тогда и только тогда, когда все числа в списке одинаковы (в этом случае они оба являются этим числом).

Простейшим нетривиальным случаем (т. е. с более чем одной переменной) для двух неотрицательных чисел x и  y является утверждение, что

${\displaystyle {\frac {x+y}{2}}\geq {\sqrt {xy}}}$

с равенством тогда и только тогда, когда x = y . Этот случай можно увидеть из того факта, что квадрат действительного числа всегда неотрицателен (больше или равен нулю) и из элементарного случая ( a ± b ) ² = a ² ± 2 ab + b ² формулы бинома :

${\displaystyle {\begin{aligned}0&\leq (x-y)^{2}\\&=x^{2}-2xy+y^{2}\\&=x^{2}+2xy+y^{2}-4xy\\&=(x+y)^{2}-4xy.\end{aligned}}}$

Следовательно, ( x + y ) ² ≥ 4 xy , причем равенство достигается именно тогда, когда ( x − y ) ² = 0 , т.е. x = y . Неравенство AM–GM следует из извлечения положительного квадратного корня из обеих сторон и последующего деления обеих сторон на 2 .

Для геометрической интерпретации рассмотрим прямоугольник со сторонами длиной  x и  y , следовательно, он имеет периметр 2 x + 2 y и площадь  xy . Аналогично, квадрат со всеми сторонами длиной √ xy имеет периметр 4 √ xy и ту же площадь, что и прямоугольник. Простейший нетривиальный случай неравенства AM–GM подразумевает для периметров, что 2 x + 2 y ≥ 4 √ xy и что только квадрат имеет наименьший периметр среди всех прямоугольников равной площади.

Простейший случай подразумевается в «Началах» Евклида , Книга 5, Предложение 25. ^[2]

Расширения неравенства AM–GM рассматривают взвешенные средние значения и обобщенные средние значения .

Фон

Среднее арифметическое , или, менее точно , среднее значение списка из n чисел x ₁ , x ₂ , . . . , x _n — это сумма чисел, деленная на  n :

${\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}.}$

Геометрическое среднее аналогично, за исключением того, что оно определено только для списка неотрицательных действительных чисел и использует умножение и корень вместо сложения и деления:

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}.}$

Если x ₁ , x ₂ , . . . , x _n > 0 , то это равно экспоненте среднего арифметического натуральных логарифмов чисел:

${\displaystyle \exp \left({\frac {\ln {x_{1}}+\ln {x_{2}}+\cdots +\ln {x_{n}}}{n}}\right).}$

Примечание: Это не относится исключительно к функции exp() и натуральным логарифмам. Основание b возведения в степень может быть любым положительным действительным числом, кроме 1, если логарифм имеет основание b.

Неравенство

Переформулировав неравенство с использованием математической записи, мы имеем, что для любого списка из n неотрицательных действительных чисел x ₁ , x ₂ , . . . , x _n ,

${\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}\,,}$

и это равенство имеет место тогда и только тогда, когда x ₁ = x ₂ = · · · = x _n .

Геометрическая интерпретация

В двух измерениях 2 x ₁ + 2 x ₂ — периметр прямоугольника со сторонами длиной  x ₁ и  x ₂ . Аналогично, 4 √ x ₁ x ₂ — периметр квадрата с той же площадью x 1 x ₂ , _что и этот прямоугольник. Таким образом, для n = 2 неравенство AM–GM утверждает, что прямоугольник заданной площади имеет наименьший периметр, если этот прямоугольник также является квадратом.

Полное неравенство является расширением этой идеи на n измерений. Рассмотрим n -мерный ящик с длинами ребер x ₁ , x ₂ , . . . , x _n . Каждая вершина ящика соединена с n ребрами разных направлений, поэтому средняя длина ребер, инцидентных вершине, равна ( x ₁ + x ₂ + · · · + x _n )/ n . С другой стороны, — длина ребра n -мерного куба равного объема, которая, следовательно, также является средней длиной ребер, инцидентных вершине куба. ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}}$

Таким образом, неравенство AM–GM утверждает, что только n -мерный куб имеет наименьшую среднюю длину ребер, соединенных с каждой вершиной, среди всех n -мерных кубов с тем же объемом. ^[3]

Примеры

Пример 1

Если , то неравенство AM-GM говорит нам, что ${\displaystyle a,b,c>0}$

${\displaystyle (1+a)(1+b)(1+c)\geq 2{\sqrt {1\cdot {a}}}\cdot 2{\sqrt {1\cdot {b}}}\cdot 2{\sqrt {1\cdot {c}}}=8{\sqrt {abc}}}$

Пример 2

Простая верхняя граница может быть найдена. AM-GM сообщает нам ${\displaystyle n!}$

${\displaystyle 1+2+\dots +n\geq n{\sqrt[{n}]{n!}}}$

${\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}\geq n{\sqrt[{n}]{n!}}}$

и так

${\displaystyle \left({\frac {n+1}{2}}\right)^{n}\geq n!}$

с равенством при . ${\displaystyle n=1}$

Эквивалентно,

${\displaystyle (n+1)^{n}\geq 2^{n}n!}$

Пример 3

Рассмотрим функцию

${\displaystyle f(x,y,z)={\frac {x}{y}}+{\sqrt {\frac {y}{z}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}}$

для всех положительных действительных чисел x , y и  z . Предположим, мы хотим найти минимальное значение этой функции. Ее можно переписать как:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y,z)&=6\cdot {\frac {{\frac {x}{y}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}}{6}}\\&=6\cdot {\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}}{6}}\end{aligned}}}$

с

${\displaystyle x_{1}={\frac {x}{y}},\qquad x_{2}=x_{3}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}},\qquad x_{4}=x_{5}=x_{6}={\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}.}$

Применяя неравенство AM–GM для n = 6 , получаем

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y,z)&\geq 6\cdot {\sqrt[{6}]{{\frac {x}{y}}\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}\cdot {\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}\cdot {\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}\cdot {\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}}}\\&=6\cdot {\sqrt[{6}]{{\frac {1}{2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3}}{\frac {x}{y}}{\frac {y}{z}}{\frac {z}{x}}}}\\&=2^{2/3}\cdot 3^{1/2}.\end{aligned}}}$

Далее, мы знаем, что обе стороны равны именно тогда, когда все члены среднего равны:

${\displaystyle f(x,y,z)=2^{2/3}\cdot 3^{1/2}\quad {\mbox{when}}\quad {\frac {x}{y}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}={\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}.}$

Все точки ( x , y , z ), удовлетворяющие этим условиям, лежат на полупрямой, выходящей из начала координат, и задаются формулой

${\displaystyle (x,y,z)={\biggr (}t,{\sqrt[{3}]{2}}{\sqrt {3}}\,t,{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\,t{\biggr )}\quad {\mbox{with}}\quad t>0.}$

Приложения

Важным практическим применением финансовой математики является вычисление нормы прибыли : годовая доходность , вычисленная с помощью среднего геометрического, меньше средней годовой доходности, вычисленной с помощью среднего арифметического (или равна, если все доходности равны). Это важно при анализе инвестиций , поскольку средняя доходность завышает кумулятивный эффект. Это также можно использовать для доказательства неравенства Коши–Шварца .

Доказательства неравенства AM–GM

Неравенство AM–GM также известно разнообразием методов, которые можно использовать для его доказательства.

Доказательство с использованием неравенства Йенсена

Неравенство Йенсена утверждает, что значение вогнутой функции среднего арифметического больше или равно среднему арифметическому значений функции. Поскольку функция логарифма вогнута, мы имеем

${\displaystyle \log \left({\frac {\sum x_{i}}{n}}\right)\geq {\frac {1}{n}}\sum \log x_{i}={\frac {1}{n}}\log \left(\prod x_{i}\right)=\log \left(\prod x_{i}\right)^{1/n}.}$

Взяв антилогарифмы крайней левой и крайней правой частей, мы получаем неравенство AM–GM.

Доказательство путем последовательной замены элементов

Мы должны показать, что

${\displaystyle \alpha ={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}=\beta }$

с равенством только тогда, когда все числа равны.

Если не все числа равны, то существуют такие, что . Замена x _i на и x _j на оставит среднее арифметическое чисел неизменным, но увеличит среднее геометрическое, поскольку ${\displaystyle x_{i},x_{j}}$ ${\displaystyle x_{i}<\alpha <x_{j}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle (x_{i}+x_{j}-\alpha )}$

${\displaystyle \alpha (x_{j}+x_{i}-\alpha )-x_{i}x_{j}=(\alpha -x_{i})(x_{j}-\alpha )>0}$

Если числа все еще не равны, мы продолжаем заменять числа, как указано выше. После максимум таких шагов замены все числа будут заменены на , а геометрическое среднее строго увеличивается на каждом шаге. После последнего шага геометрическое среднее будет равно , что доказывает неравенство. ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\alpha \alpha \cdots \alpha }}=\alpha }$

Можно отметить, что стратегия замены работает так же хорошо с правой стороны. Если любое из чисел равно 0, то и среднее геометрическое будет равно 0, таким образом, доказывая неравенство тривиально. Поэтому мы можем предположить, что все числа положительны. Если они не все равны, то существуют такие, что . Замена на и на оставляет среднее геометрическое неизменным, но строго уменьшает среднее арифметическое, поскольку ${\displaystyle x_{i},x_{j}}$ ${\displaystyle 0<x_{i}<\beta <x_{j}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle {\frac {x_{i}x_{j}}{\beta }}}$

${\displaystyle x_{i}+x_{j}-\beta -{\frac {x_{i}x_{j}}{\beta }}={\frac {(\beta -x_{i})(x_{j}-\beta )}{\beta }}>0}$. Далее доказательство проводится по той же схеме, что и в предыдущей замене.

Индукционные доказательства

Доказательство по индукции №1

Для неотрицательных действительных чисел x ₁ , . . . , x _n утверждение AM–GM эквивалентно следующему:

${\displaystyle \alpha ^{n}\geq x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}$

с равенством тогда и только тогда, когда α = x _i для всех i ∈ {1, . . . , n } .

Для следующего доказательства мы применяем математическую индукцию и только общеизвестные правила арифметики.

Основание индукции: При n = 1 утверждение верно с равенством.

Гипотеза индукции: Предположим, что утверждение AM–GM справедливо для всех выборов n неотрицательных действительных чисел.

Шаг индукции: Рассмотрим n + 1 неотрицательных действительных чисел x ₁ , . . . , x _{n +1} , . Их арифметическое среднее α удовлетворяет условию

${\displaystyle (n+1)\alpha =\ x_{1}+\cdots +x_{n}+x_{n+1}.}$

Если все x _i равны α , то в утверждении AM–GM мы имеем равенство, и мы закончили. В случае, когда некоторые не равны α , должно существовать одно число, которое больше среднего арифметического α , и одно, которое меньше α . Без потери общности мы можем переупорядочить наши x _i , чтобы поместить эти два конкретных элемента в конец: x _n > α и x _{n +1} < α . Тогда

${\displaystyle x_{n}-\alpha >0\qquad \alpha -x_{n+1}>0}$

${\displaystyle \implies (x_{n}-\alpha )(\alpha -x_{n+1})>0\,.\qquad (*)}$

Теперь определим y с помощью

${\displaystyle y:=x_{n}+x_{n+1}-\alpha \geq x_{n}-\alpha >0\,,}$

и рассмотрим n чисел x ₁ , . . . , x _{n –1} , y , которые все неотрицательны. Так как

${\displaystyle (n+1)\alpha =x_{1}+\cdots +x_{n-1}+x_{n}+x_{n+1}}$

${\displaystyle n\alpha =x_{1}+\cdots +x_{n-1}+\underbrace {x_{n}+x_{n+1}-\alpha } _{=\,y},}$

Таким образом, α также является средним арифметическим n чисел x ₁ , . . . , x _{n –1} , y и из индукционной гипотезы следует

${\displaystyle \alpha ^{n+1}=\alpha ^{n}\cdot \alpha \geq x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}y\cdot \alpha .\qquad (**)}$

Благодаря (*) мы знаем, что

${\displaystyle (\underbrace {x_{n}+x_{n+1}-\alpha } _{=\,y})\alpha -x_{n}x_{n+1}=(x_{n}-\alpha )(\alpha -x_{n+1})>0,}$

следовательно

${\displaystyle y\alpha >x_{n}x_{n+1}\,,\qquad ({*}{*}{*})}$

в частности, α > 0. Следовательно, если хотя бы одно из чисел x ₁ , . . . , x _{n –1} равно нулю, то мы уже имеем строгое неравенство в (**). В противном случае правая часть (**) положительна, и строгое неравенство получается путем использования оценки (***) для получения нижней границы правой части (**). Таким образом, в обоих случаях мы можем подставить (***) в (**), чтобы получить

${\displaystyle \alpha ^{n+1}>x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}x_{n}x_{n+1}\,,}$

что завершает доказательство.

Доказательство по индукции №2

Прежде всего докажем, что для действительных чисел x ₁ < 1 и x ₂ > 1 следует

${\displaystyle x_{1}+x_{2}>x_{1}x_{2}+1.}$

Действительно, умножение обеих частей неравенства x ₂ > 1 на 1 – x ₁ дает

${\displaystyle x_{2}-x_{1}x_{2}>1-x_{1},}$

откуда немедленно получается требуемое неравенство.

Теперь мы докажем, что для положительных действительных чисел x ₁ , . . . , x _{n ,} удовлетворяющих условию x ₁ . . . x _n = 1 , справедливо

${\displaystyle x_{1}+\cdots +x_{n}\geq n.}$

Равенство выполняется только если x ₁ = ... = x _n = 1 .

Основание индукции: При n = 2 утверждение верно в силу указанного выше свойства.

Гипотеза индукции: Предположим, что утверждение верно для всех натуральных чисел до n – 1 .

Шаг индукции: Рассмотрим натуральное число n , т. е. для положительных действительных чисел x ₁ , . . . , x _n , выполняется x ₁ . . . x _n = 1 . Существует по крайней мере один x _k < 1 , поэтому должен быть по крайней мере один x _j > 1 . Без потери общности положим k = n – 1 и j = n .

Далее равенство x ₁ . . . x _n = 1 запишем в виде ( x ₁ . . . x _{n –2} ) ( x _{n –1} x _n ) = 1 . Тогда из предположения индукции следует

${\displaystyle (x_{1}+\cdots +x_{n-2})+(x_{n-1}x_{n})>n-1.}$

Однако, принимая во внимание индукционный базис, имеем

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}+\cdots +x_{n-2}+x_{n-1}+x_{n}&=(x_{1}+\cdots +x_{n-2})+(x_{n-1}+x_{n})\\&>(x_{1}+\cdots +x_{n-2})+x_{n-1}x_{n}+1\\&>n,\end{aligned}}}$

что завершает доказательство.

Для положительных действительных чисел a ₁ , . . . , a _n обозначим

${\displaystyle x_{1}={\frac {a_{1}}{\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}},...,x_{n}={\frac {a_{n}}{\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}}.}$

Числа x ₁ , . . . , x _n удовлетворяют условию x ₁ . . . x _n = 1. Итак, имеем

${\displaystyle {\frac {a_{1}}{\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}}+\cdots +{\frac {a_{n}}{\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}}\geq n,}$

откуда получаем

${\displaystyle {\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}},}$

причем равенство справедливо только для a ₁ = ... = a _n .

Доказательство Коши с использованием прямой и обратной индукции

Следующее доказательство по случаям напрямую опирается на известные правила арифметики, но использует редко используемый метод прямой-обратной индукции. Оно по сути от Огюстена Луи Коши и может быть найдено в его Cours d'analyse . ^[4]

Случай, когда все члены равны

Если все члены равны:

${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n},}$

тогда их сумма равна nx ₁ , поэтому их среднее арифметическое равно  x ₁ ; и их произведение равно x ₁ ⁿ , поэтому их среднее геометрическое равно  x ₁ ; следовательно, среднее арифметическое и среднее геометрическое равны, как и требовалось.

Случай, когда не все термины равны

Осталось показать, что если не все члены равны, то среднее арифметическое больше среднего геометрического. Очевидно, это возможно только при n > 1 .

Этот случай значительно сложнее, и мы разделяем его на подслучаи.

Подслучай, гден= 2

Если n = 2 , то у нас есть два члена, x ₁ и x ₂ , и поскольку (по нашему предположению) не все члены равны, то имеем:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\Bigl (}{\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}{\Bigr )}^{2}-x_{1}x_{2}&={\frac {1}{4}}(x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2})-x_{1}x_{2}\\&={\frac {1}{4}}(x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2})\\&={\Bigl (}{\frac {x_{1}-x_{2}}{2}}{\Bigr )}^{2}>0,\end{aligned}}}$

следовательно

${\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}>{\sqrt {x_{1}x_{2}}}}$

по желанию.

Подслучай, гден= 2^к

Рассмотрим случай, когда n = 2 ^k , где k — положительное целое число. Действуем методом математической индукции.

В базовом случае k = 1 , поэтому n = 2. Мы уже показали, что неравенство выполняется при n = 2 , так что на этом мы закончили.

Теперь предположим, что для заданного k > 1 мы уже показали, что неравенство выполняется для n = 2 ^{k −1} , и мы хотим показать, что оно выполняется для n = 2 ^k . Для этого мы применяем неравенство дважды для 2 ^{k -1} чисел и один раз для 2 чисел, чтобы получить:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{2^{k}}}{2^{k}}}&{}={\frac {{\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{2^{k-1}}}{2^{k-1}}}+{\frac {x_{2^{k-1}+1}+x_{2^{k-1}+2}+\cdots +x_{2^{k}}}{2^{k-1}}}}{2}}\\[7pt]&\geq {\frac {{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k-1}}}}+{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{2^{k-1}+1}x_{2^{k-1}+2}\cdots x_{2^{k}}}}}{2}}\\[7pt]&\geq {\sqrt {{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k-1}}}}{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{2^{k-1}+1}x_{2^{k-1}+2}\cdots x_{2^{k}}}}}}\\[7pt]&={\sqrt[{2^{k}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k}}}}\end{aligned}}}$

где в первом неравенстве обе стороны равны только если

${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{2^{k-1}}}$

и

${\displaystyle x_{2^{k-1}+1}=x_{2^{k-1}+2}=\cdots =x_{2^{k}}}$

(в этом случае первое арифметическое и первое геометрическое среднее оба равны  x ₁ , и аналогично со вторым арифметическим и вторым геометрическим средним); и во втором неравенстве обе стороны равны только в том случае, если равны два геометрических средних. Поскольку не все 2 ^k чисел равны, то оба неравенства не могут быть равенствами, поэтому мы знаем, что:

${\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{2^{k}}}{2^{k}}}>{\sqrt[{2^{k}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k}}}}}$

по желанию.

Подслучай, гден< 2^к

Если n не является натуральной степенью числа  2 , то оно, безусловно, меньше некоторой натуральной степени числа 2, поскольку последовательность 2, 4, 8, . . . , 2 ^k , . . . не ограничена сверху. Поэтому, не теряя общности, пусть m будет некоторой натуральной степенью числа 2 , большей, чем  n .

Итак, если у нас есть n членов, то обозначим их среднее арифметическое через  α и расширим наш список членов следующим образом:

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n+2}=\cdots =x_{m}=\alpha .}$

Тогда мы имеем:

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\\[6pt]&={\frac {{\frac {m}{n}}\left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\right)}{m}}\\[6pt]&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+{\frac {(m-n)}{n}}\left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\right)}{m}})(\because x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}={\frac {{n}(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})}{n}})\\[3pt]&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+\left(m-n\right)\alpha }{m}}\\[6pt]&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+x_{n+1}+\cdots +x_{m}}{m}}\\[6pt]&\geq {\sqrt[{m}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}x_{n+1}\cdots x_{m}}}\\[6pt]&={\sqrt[{m}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\alpha ^{m-n}}}\,,\end{aligned}}}$

так

${\displaystyle \alpha ^{m}\geq x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\alpha ^{m-n}}$

и

${\displaystyle \alpha \geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}}$

по желанию.

Доказательство методом индукции с использованием элементарного исчисления

Следующее доказательство использует математическую индукцию и некоторые основы дифференциального исчисления .

Основа индукции : При n = 1 утверждение верно с равенством.

Гипотеза индукции : Предположим, что утверждение AM–GM справедливо для всех выборов n неотрицательных действительных чисел.

Шаг индукции : Чтобы доказать утверждение для n + 1 неотрицательных действительных чисел x ₁ , . . . , x _n , x _{n +1} , нам нужно доказать, что

${\displaystyle {\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}+x_{n+1}}{n+1}}-({x_{1}\cdots x_{n}x_{n+1}})^{\frac {1}{n+1}}\geq 0}$

с равенством только в том случае, если все n + 1 числа равны.

Если все числа равны нулю, неравенство выполняется с равенством. Если некоторые, но не все числа равны нулю, мы имеем строгое неравенство. Поэтому в дальнейшем мы можем предположить, что все n + 1 числа положительны.

Рассмотрим последнее число x _{n +1} как переменную и определим функцию

${\displaystyle f(t)={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}+t}{n+1}}-({x_{1}\cdots x_{n}t})^{\frac {1}{n+1}},\qquad t>0.}$

Доказательство шага индукции эквивалентно показу того, что f ( t ) ≥ 0 для всех t > 0 , причем f ( t ) = 0 только если x ₁ , . . . , x _n и  t все равны. Это можно сделать, проанализировав критические точки f  с использованием некоторого базового исчисления.

Первая производная функции f определяется выражением

${\displaystyle f'(t)={\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{n+1}}({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n+1}}t^{-{\frac {n}{n+1}}},\qquad t>0.}$

Критическая точка t ₀ должна удовлетворять условию f′ ( t ₀ ) = 0 , что означает

${\displaystyle ({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n+1}}t_{0}^{-{\frac {n}{n+1}}}=1.}$

После небольшой перестановки получаем

${\displaystyle t_{0}^{\frac {n}{n+1}}=({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n+1}},}$

и наконец

${\displaystyle t_{0}=({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}},}$

что является геометрическим средним x ₁ , . . . , x _n . Это единственная критическая точка  f . Поскольку f′′ ( t ) > 0 для всех t > 0 , функция  f строго выпукла и имеет строгий глобальный минимум в  t ₀ . Далее мы вычисляем значение функции в этом глобальном минимуме:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(t_{0})&={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}+({x_{1}\cdots x_{n}})^{1/n}}{n+1}}-({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n+1}}({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n(n+1)}}\\&={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n+1}}+{\frac {1}{n+1}}({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}-({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}\\&={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n+1}}-{\frac {n}{n+1}}({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}\\&={\frac {n}{n+1}}{\Bigl (}{\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}-({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}{\Bigr )}\\&\geq 0,\end{aligned}}}$

где окончательное неравенство выполняется из-за индукционной гипотезы. Гипотеза также гласит, что мы можем иметь равенство только тогда, когда x ₁ , . . . , x _n все равны. В этом случае их геометрическое среднее   t ₀ имеет одинаковое значение, Следовательно, если только x ₁ , . . . , x _n , x _{n +1} все не равны, мы имеем f ( x _{n +1} ) > 0 . Это завершает доказательство.

Эту технику можно использовать таким же образом для доказательства обобщенного неравенства AM–GM и неравенства Коши–Шварца в евклидовом пространстве R ⁿ .

Доказательство Полиа с использованием показательной функции

Джордж Полиа предоставил доказательство, похожее на то, что следует ниже. Пусть f ( x ) = e ^{x –1} – x для всех действительных  x , с первой производной f′ ( x ) = e ^{x –1} – 1 и второй производной f′′ ( x ) = e ^{x –1} . Заметим, что f (1) = 0 , f′ ( 1) = 0 и f′′ ( x ) > 0 для всех действительных  x , следовательно, f строго выпукла с абсолютным минимумом при x = 1 . Следовательно, x ≤ e ^{x –1} для всех действительных  x с равенством только при x = 1 .

Рассмотрим список неотрицательных действительных чисел x ₁ , x ₂ , . . . , x _n . Если все они равны нулю, то неравенство AM–GM выполняется с равенством. Следовательно, мы можем предположить в дальнейшем для их арифметического среднего α > 0 . Применяя указанное выше неравенство n -кратно, мы получаем, что

${\displaystyle {\begin{aligned}{{\frac {x_{1}}{\alpha }}{\frac {x_{2}}{\alpha }}\cdots {\frac {x_{n}}{\alpha }}}&\leq {e^{{\frac {x_{1}}{\alpha }}-1}e^{{\frac {x_{2}}{\alpha }}-1}\cdots e^{{\frac {x_{n}}{\alpha }}-1}}\\&=\exp {\Bigl (}{\frac {x_{1}}{\alpha }}-1+{\frac {x_{2}}{\alpha }}-1+\cdots +{\frac {x_{n}}{\alpha }}-1{\Bigr )},\qquad (*)\end{aligned}}}$

с равенством тогда и только тогда, когда x _i = α для каждого i ∈ {1, . . . , n } . Аргумент показательной функции можно упростить:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x_{1}}{\alpha }}-1+{\frac {x_{2}}{\alpha }}-1+\cdots +{\frac {x_{n}}{\alpha }}-1&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{\alpha }}-n\\&={\frac {n\alpha }{\alpha }}-n\\&=0.\end{aligned}}}$

Возвращаясь к (*) ,

${\displaystyle {\frac {x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}{\alpha ^{n}}}\leq e^{0}=1,}$

что дает x ₁ x ₂ · · · x _n ≤ α ⁿ , отсюда и результат ^[5]

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}\leq \alpha .}$

Доказательство с помощью множителей Лагранжа

Если какие-либо из являются , то доказывать нечего. Поэтому мы можем предположить, что все строго положительны. ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x_{i}}$

Поскольку арифметические и геометрические средние являются однородными степени 1, без потери общности предположим, что . Положим , и . Неравенство будет доказано (вместе со случаем равенства), если мы сможем показать, что минимум с учетом ограничения равен , и минимум достигается только при . Сначала покажем, что задача ограниченной минимизации имеет глобальный минимум. ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}=1}$ ${\displaystyle G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\prod _{i=1}^{n}x_{i}}$ ${\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$ ${\displaystyle F(x_{1},x_{2},...,x_{n}),}$ ${\displaystyle G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=1,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}=1}$

Установите . Поскольку пересечение компактно, теорема об экстремальном значении гарантирует, что минимум при соблюдении ограничений и достигается в некоторой точке внутри . С другой стороны, заметим, что если любой из , то , тогда как и . Это означает, что минимум внутри на самом деле является глобальным минимумом, поскольку значение в любой точке внутри определенно не меньше минимума, а значение в любой точке не внутри строго больше значения в , которое не меньше минимума. ${\displaystyle K=\{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\colon 0\leq x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\leq n\}}$ ${\displaystyle K\cap \{G=1\}}$ ${\displaystyle F(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ ${\displaystyle G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=1}$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x_{i}>n}$ ${\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})>1}$ ${\displaystyle F(1,1,\ldots ,1)=1}$ ${\displaystyle (1,1,\ldots ,1)\in K\cap \{G=1\}}$ ${\displaystyle K\cap \{G=1\}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle K\cap \{G=1\}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle (1,1,\ldots ,1)}$

Метод множителей Лагранжа утверждает, что глобальный минимум достигается в точке , где градиент умножается на градиент , для некоторого . Мы покажем, что единственная точка, в которой это происходит, это когда и ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}=1}$ ${\displaystyle F(x_{1},x_{2},...,x_{n})=1.}$

Вычислить и ${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}={\frac {1}{n}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial G}{\partial x_{i}}}=\prod _{j\neq i}x_{j}={\frac {G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}{x_{i}}}={\frac {1}{x_{i}}}}$

вдоль ограничения. Установка градиентов пропорциональными друг другу, следовательно, дает для каждого, что и так Поскольку левая часть не зависит от , то следует, что , а поскольку , то следует, что и , как и требовалось. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\frac {1}{n}}={\frac {\lambda }{x_{i}}},}$ ${\displaystyle n\lambda =x_{i}.}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}$ ${\displaystyle G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=1}$ ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}=1}$ ${\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=1}$

Обобщения

Взвешенное неравенство AM–GM

Аналогичное неравенство существует для взвешенного арифметического среднего и взвешенного геометрического среднего . В частности, пусть даны неотрицательные числа x ₁ , x ₂ , . . . , x _n и неотрицательные веса w ₁ , w ₂ , . . . , w _n . Положим w = w ₁ + w ₂ + · · · + w _n . Если  w > 0 , то неравенство

${\displaystyle {\frac {w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+\cdots +w_{n}x_{n}}{w}}\geq {\sqrt[{w}]{x_{1}^{w_{1}}x_{2}^{w_{2}}\cdots x_{n}^{w_{n}}}}}$

выполняется с равенством тогда и только тогда, когда все x _k с w _k > 0 равны. Здесь используется соглашение 0 ⁰ = 1 .

Если все w _k = 1 , это сводится к указанному выше неравенству средних арифметических и геометрических.

Одна более сильная версия этого, которая также дает усиленную версию невзвешенной версии, принадлежит Aldaz. В частности, существует похожее неравенство для взвешенного арифметического среднего и взвешенного геометрического среднего . В частности, пусть даны неотрицательные числа x ₁ , x ₂ , . . . , x _n и неотрицательные веса w ₁ , w ₂ , . . . , w _n . Предположим далее, что сумма весов равна 1. Тогда

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}\geq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}+\sum _{i=1}^{n}w_{i}\left(x_{i}^{\frac {1}{2}}-\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{\frac {1}{2}}\right)^{2}}$. ^[6]

Доказательство с использованием неравенства Йенсена

Используя конечную форму неравенства Йенсена для натурального логарифма , можно доказать неравенство между взвешенным средним арифметическим и взвешенным средним геометрическим, указанное выше.

Так как x _k с весом w _k = 0 не влияет на неравенство, то в дальнейшем мы можем предположить, что все веса положительны. Если все x _k равны, то равенство имеет место. Поэтому остается доказать строгое неравенство, если они не все равны, что мы также предположим в дальнейшем. Если хотя бы один x _k равен нулю (но не все), то взвешенное геометрическое среднее равно нулю, а взвешенное арифметическое среднее положительно, следовательно, строгое неравенство имеет место. Поэтому мы можем также предположить, что все x _k положительны.

Поскольку натуральный логарифм строго вогнут , конечная форма неравенства Йенсена и функциональные уравнения натурального логарифма подразумевают

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln {\Bigl (}{\frac {w_{1}x_{1}+\cdots +w_{n}x_{n}}{w}}{\Bigr )}&>{\frac {w_{1}}{w}}\ln x_{1}+\cdots +{\frac {w_{n}}{w}}\ln x_{n}\\&=\ln {\sqrt[{w}]{x_{1}^{w_{1}}x_{2}^{w_{2}}\cdots x_{n}^{w_{n}}}}.\end{aligned}}}$

Так как натуральный логарифм строго возрастает ,

${\displaystyle {\frac {w_{1}x_{1}+\cdots +w_{n}x_{n}}{w}}>{\sqrt[{w}]{x_{1}^{w_{1}}x_{2}^{w_{2}}\cdots x_{n}^{w_{n}}}}.}$

Матричное арифметико-геометрическое среднее неравенство

Большинство матричных обобщений неравенства арифметического геометрического среднего применяются на уровне унитарно инвариантных норм, поскольку, даже если матрицы и являются положительно полуопределенными, матрица может не быть положительно полуопределенной и, следовательно, не иметь канонического квадратного корня. В ^[7] Бхатия и Киттанех доказали, что для любой унитарно инвариантной нормы и положительно полуопределенных матриц и это тот случай, когда ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle |||\cdot |||}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle |||AB|||\leq {\frac {1}{2}}|||A^{2}+B^{2}|||}$

Позднее в ^[8] те же авторы доказали более сильное неравенство:

${\displaystyle |||AB|||\leq {\frac {1}{4}}|||(A+B)^{2}|||}$

Наконец, известно, что для размерности справедливо следующее сильнейшее возможное матричное обобщение неравенства арифметического и среднего геометрического, и предполагается, что оно справедливо для всех ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle |||(AB)^{\frac {1}{2}}|||\leq {\frac {1}{2}}|||A+B|||}$

Это предполагаемое неравенство было показано Стивеном Друри в 2012 году. Действительно, он доказал ^[9]

${\displaystyle {\sqrt {\sigma _{j}(AB)}}\leq {\frac {1}{2}}\lambda _{j}(A+B),\ j=1,\ldots ,n.}$

Финансы: ссылка на геометрическую доходность активов

В финансах многие исследования посвящены точной оценке нормы доходности актива за несколько периодов в будущем. В случае логнормальной доходности активов существует точная формула для вычисления арифметической доходности актива из геометрической доходности актива.

Для простоты предположим, что мы рассматриваем годовую геометрическую доходность r ₁ , r ₂ , ... , r _N за временной горизонт N лет, т.е.

${\displaystyle r_{n}={\frac {V_{n}-V_{n-1}}{V_{n-1}}},}$

где:

${\displaystyle V_{n}}$= стоимость актива на момент времени , ${\displaystyle n}$

${\displaystyle V_{n-1}}$= стоимость актива на момент времени . ${\displaystyle n-1}$

Геометрическая и арифметическая доходность соответственно определяются как

${\displaystyle g_{N}=\left(\prod _{n=1}^{N}(1+r_{n})\right)^{1/N},}$

${\displaystyle a_{N}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}r_{n}.}$

Если годовая геометрическая доходность активов распределена логнормально, то для преобразования средней геометрической доходности в среднюю арифметическую доходность можно использовать следующую формулу: ^[10]

${\displaystyle 1+g_{N}={\frac {1+a_{N}}{\sqrt {1+{\frac {\sigma ^{2}}{(1+a_{N})^{2}}}}}},}$

где дисперсия наблюдаемых доходностей активов Это неявное уравнение для N может быть решено точно следующим образом. Во-первых _, обратите внимание, что, установив ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

${\displaystyle z=(1+a_{N})^{2},}$

получаем полиномиальное уравнение степени 2:

${\displaystyle z^{2}-(1+g)^{2}-(1+g)^{2}\sigma ^{2}=0.}$

Решая это уравнение относительно z и _{используя} определение z , получаем 4 возможных решения для N :

${\displaystyle a_{N}=\pm {\frac {1+g_{N}}{\sqrt {2}}}{\sqrt {1\pm {\sqrt {1+{\frac {4\sigma ^{2}}{(1+g_{N})^{2}}}}}}}-1.}$

Однако, обратите внимание, что

${\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {4\sigma ^{2}}{(1+g_{N})^{2}}}}}\geq 1.}$

Это означает, что единственными возможными решениями являются 2 (поскольку доходность активов — это реальные числа):

${\displaystyle a_{N}=\pm {\frac {1+g_{N}}{\sqrt {2}}}{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\frac {4\sigma ^{2}}{(1+g_{N})^{2}}}}}}}-1.}$

Наконец, мы ожидаем, что производная a _N по отношению к g _N будет неотрицательной, поскольку увеличение геометрической доходности никогда не должно вызывать уменьшение арифметической доходности. Действительно, оба измеряют средний рост стоимости актива и, следовательно, должны двигаться в схожих направлениях. Это оставляет нам одно решение неявного уравнения для a _N , а именно

${\displaystyle a_{N}={\frac {1+g_{N}}{\sqrt {2}}}{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\frac {4\sigma ^{2}}{(1+g_{N})^{2}}}}}}}-1.}$

Таким образом, при условии логарифмически нормального распределения доходности активов арифметическая доходность активов полностью определяется геометрической доходностью активов.

Другие обобщения

Геометрическое доказательство без слов того, что max  ( a , b ) > среднеквадратичное ( RMS ) или среднее квадратичное ( QM ) > среднее арифметическое ( AM ) > среднее геометрическое ( GM ) > среднее гармоническое ( HM ) > min  ( a , b ) двух различных положительных чисел a и b ^{[примечание 1]}

Другие обобщения неравенства средних арифметических и геометрических включают в себя:

• Неравенство Мьюирхеда ,
• Неравенство Маклорена ,
• неравенства QM-AM-GM-HM ,
• Обобщенное среднее неравенство ,
• Средние значения комплексных чисел. ^[11]

Смотрите также

• Упаковочная головоломка Хоффмана
• неравенство Кая Фана
• Неравенство Юнга для продуктов

Примечания

1. Если AC = a и BC = b . OC = AM точек a и b , и радиус r = QO = OG.
   Используя теорему Пифагора , QC² = QO² + OC² ∴ QC = √ QO² + OC² = QM .
   Используя теорему Пифагора, OC² = OG² + GC² ∴ GC = √ OC² − OG² = GM .
   Используя подобные треугольники , ⁠ХК/ГК⁠ = ⁠ГК/ОК⁠ ∴ ХК = ⁠GC²/ОК⁠ = ГМ .

Ссылки

1. Хоффман, Д.Г. (1981), «Проблемы упаковки и неравенства», в Кларнер, Дэвид А. (ред.), The Mathematical Gardner , Springer, стр. 212–225, doi :10.1007/978-1-4684-6686-7_19, ISBN 978-1-4684-6688-1
2. «Элементы Евклида, Книга V, Предложение 25».
3. Стил, Дж. Майкл (2004). Мастер-класс Коши-Шварца: Введение в искусство математических неравенств . Серия задач MAA. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-54677-5. OCLC  54079548.
4. Коши, Огюстен-Луи (1821). Курс анализа Королевской политехнической школы, первая вечеринка, Анализ алгебры, Париж. Доказательство неравенства средних арифметических и средних геометрических можно найти на стр. 457 и далее.
5. Арнольд, Дениз; Арнольд, Грэм (1993). Четырехблочная математика . Hodder Arnold H&S. стр. 242. ISBN 978-0-340-54335-1. OCLC  38328013.
6. Aldaz, JM (2009). «Самоулучшение неравенства между арифметическими и геометрическими средними». Журнал математических неравенств . 3 (2): 213–216. doi : 10.7153/jmi-03-21 . Получено 11 января 2023 г.
7. Бхатия, Раджендра; Киттанех, Фуад (1990). «О сингулярных значениях произведения операторов». Журнал SIAM по матричному анализу и приложениям . 11 (2): 272–277. doi :10.1137/0611018.
8. Бхатия, Раджендра; Киттанех, Фуад (2000). «Заметки о матричных арифметико-геометрических средних неравенствах». Линейная алгебра и ее приложения . 308 (1–3): 203–211. doi : 10.1016/S0024-3795(00)00048-3 .
9. SW Drury, К вопросу о Бхатии и Киттане, Linear Algebra Appl. 437 (2012) 1955–1960.
10. Миндлин, Димитрий (2011). «О связи между арифметическими и геометрическими доходностями». Электронный журнал SSRN . doi :10.2139/ssrn.2083915. ISSN  1556-5068.
11. см . Иорданеску, Р.; Ничита, ФФ; Пасареску, О. Теории объединения: средние и обобщенные формулы Эйлера. Аксиомы 2020, 9, 144.

Внешние ссылки

• Артур Лоуотер (1982). «Введение в неравенства». Электронная книга в формате PDF.