В математике и физике графическая нотация Пенроуза или нотация тензорной диаграммы — это (обычно рукописное) визуальное изображение полилинейных функций или тензоров, предложенное Роджером Пенроузом в 1971 году. [1] Диаграмма в нотации состоит из нескольких фигур, соединенных между собой линиями .
Эта нотация широко используется в современной квантовой теории , особенно в состояниях матричных произведений и квантовых цепях . В частности, категориальная квантовая механика (включающая ZX-исчисление ) представляет собой полностью исчерпывающую переформулировку квантовой теории в терминах диаграмм Пенроуза.
Эта нотация была подробно изучена Предрагом Цвитановичем , который использовал ее вместе с диаграммами Фейнмана и другими связанными с ними нотациями при разработке «птичьих следов», групповой теоретико-групповой диаграммы для классификации классических групп Ли . [2] Нотация Пенроуза также была обобщена с использованием теории представлений для спиновых сетей в физике и с наличием матричных групп для трассировки диаграмм в линейной алгебре .
На языке полилинейной алгебры каждая фигура представляет собой полилинейную функцию . Линии, присоединенные к фигурам, представляют собой входы или выходы функции, а присоединение фигур друг к другу каким-либо образом по сути является композицией функций .
На языке тензорной алгебры конкретный тензор ассоциируется с конкретной формой со многими линиями, выступающими вверх и вниз, соответствующими абстрактным верхним и нижним индексам тензоров соответственно. Соединение линий между двумя формами соответствует сокращению индексов . Одним из преимуществ этой нотации является то, что не нужно изобретать новые буквы для новых индексов. Эта нотация также явно базисно -независима. [3]
Каждая фигура представляет собой матрицу, причем умножение тензоров выполняется по горизонтали, а умножение матриц — по вертикали.
Метрический тензор представлен U-образной петлей или перевернутой U-образной петлей в зависимости от типа используемого тензора.
Антисимметричный тензор Леви -Чивиты представлен толстой горизонтальной чертой с палочками, направленными вниз или вверх, в зависимости от типа используемого тензора.
Структурные константы ( ) алгебры Ли представлены небольшим треугольником с одной линией, направленной вверх, и двумя линиями, направленными вниз.
Сокращение индексов осуществляется путем объединения линий индекса.
Симметризация индексов представлена толстой зигзагообразной или волнистой чертой, пересекающей индексные линии горизонтально.
Антисимметрия индексов представлена толстой прямой линией, пересекающей индексные линии по горизонтали.
Определитель формируется путем применения антисимметризации к индексам.
Ковариантная производная ( ) представлена окружностью вокруг тензора(ов), который необходимо дифференцировать, и линией, выходящей из окружности и направленной вниз, представляющей нижний индекс производной.
Диаграммная нотация полезна при манипуляциях с тензорной алгеброй. Обычно она включает несколько простых « тождеств » манипуляций с тензорами.
Например, , где n — число измерений, является общей «идентичностью».
Тождества Риччи и Бианки, заданные в терминах тензора кривизны Римана, иллюстрируют силу обозначения
Нотация была расширена поддержкой спиноров и твисторов . [4] [5]
