В обработке сигналов гребенчатый фильтр — это фильтр , реализованный путем добавления к самому себе задержанной версии сигнала , вызывающей конструктивные и деструктивные помехи . Частотная характеристика гребенчатого фильтра состоит из ряда регулярно расположенных вырезов между регулярно расположенными пиками (иногда называемых зубцами ), что создает вид гребенки .
Гребенчатые фильтры существуют в двух формах: с прямой связью и с обратной связью ; которые относятся к направлению задержки сигналов перед их добавлением на вход.
Гребенчатые фильтры могут быть реализованы в дискретной или непрерывной форме, которые очень похожи.
Приложения
Гребенчатые фильтры используются в различных приложениях обработки сигналов, в том числе:
Гребенчатые фильтры 2D и 3D, реализованные аппаратно (а иногда и программно) в аналоговых телевизионных декодерах PAL и NTSC , уменьшают такие артефакты, как сканирование точек .
В акустике гребенчатая фильтрация может возникнуть как нежелательный артефакт. Например, два динамика , воспроизводящие один и тот же сигнал на разных расстояниях от слушателя, создают эффект гребенчатой фильтрации звука. [1] В любом замкнутом пространстве слушатели слышат смесь прямого звука и отраженного звука. Отраженный звук проходит более длинный путь с задержкой по сравнению с прямым звуком, и создается гребенчатый фильтр, в котором они смешиваются на слушателе. [2] Аналогично, гребенчатая фильтрация может возникнуть в результате монофонического микширования нескольких микрофонов, отсюда и эмпирическое правило 3:1 , согласно которому соседние микрофоны должны быть разнесены как минимум в три раза дальше, чем расстояние от источника до микрофона. [ нужна цитата ]
Реализация дискретного времени
Форма прямой связи
Общая структура гребенчатого фильтра прямой связи описывается разностным уравнением :
где – длина задержки (измеряется в выборках), а α – масштабный коэффициент, применяемый к задержанному сигналу. Z - преобразование обеих частей уравнения дает:
Частотная характеристика системы с дискретным временем, выраженная в z -области, получается заменой где – мнимая единица измерения и – угловая частота . Следовательно, для гребенчатого фильтра прямой связи:
Используя формулу Эйлера , частотная характеристика также определяется выражением
Часто интерес представляет отклик величины , который игнорирует фазу. Это определяется как:
В случае гребенчатого фильтра прямой связи это:
Срок является постоянным, тогда как срок периодически меняется . Следовательно, амплитудная характеристика гребенчатого фильтра является периодической.
На графиках показана периодическая реакция величины для различных значений некоторых важных свойств:
Отклик периодически падает до локального минимума (иногда называемого провалом ) и периодически повышается до локального максимума (иногда называемого пиком или зубцом ).
Для положительных значений первый минимум возникает на половине периода задержки и после этого повторяется с частотой, кратной частоте задержки:
Уровни максимумов и минимумов всегда равноудалены от 1.
Когда минимумы имеют нулевую амплитуду. В этом случае минимумы иногда называют нулями .
Максимумы для положительных значений совпадают с минимумами для отрицательных значений и наоборот.
Импульсивный ответ
Гребенчатый фильтр прямой связи — один из простейших фильтров с конечной импульсной характеристикой . [3] Его ответ — это просто первоначальный импульс со вторым импульсом после задержки.
Интерпретация полюс-ноль
Взглянем еще раз на передаточную функцию z -домена гребенчатого фильтра с прямой связью:
числитель равен нулю, если z K = − α . Оно имеет K решений, равномерно расположенных по кругу в комплексной плоскости ; это нули передаточной функции. Знаменатель равен нулю в точке z K = 0 , что дает K полюсов в точке z = 0 . Это приводит к графику полюс-ноль, подобному показанному.
Форма для обратной связи
Аналогично, общая структура гребенчатого фильтра с обратной связью описывается разностным уравнением :
Это уравнение можно переставить так, чтобы все члены находились в левой части, а затем выполнить z- преобразование:
Таким образом, передаточная функция:
Частотная характеристика
Подставив в выражение z -домена гребенчатого фильтра обратной связи :
ответ величины становится:
Опять же, как показывают графики, реакция носит периодический характер. Гребенчатый фильтр обратной связи имеет некоторые общие свойства с формой прямой связи:
Отклик периодически падает до локального минимума и возрастает до локального максимума.
Максимумы для положительных значений совпадают с минимумами для отрицательных значений и наоборот.
Для положительных значений первый максимум возникает при 0 и после этого повторяется с частотой, кратной частоте задержки:
Однако есть и некоторые важные различия, поскольку в знаменателе отклика величины есть член :
Уровни максимумов и минимумов уже не равноудалены от 1. Максимумы имеют амплитуду1/1 − α.
Фильтр стабилен только в том случае, если | α | строго меньше 1. Как видно из графиков, при | α | увеличивается, амплитуда максимумов растет все быстрее.
Импульсивный ответ
Гребенчатый фильтр обратной связи представляет собой простой тип фильтра с бесконечной импульсной характеристикой . [4] Если реакция стабильна, то ответ просто состоит из повторяющейся серии импульсов, амплитуда которых уменьшается с течением времени.
Интерпретация полюс-ноль
Взглянем еще раз на передаточную функцию z -домена гребенчатого фильтра обратной связи:
На этот раз числитель равен нулю в точке z K = 0 , что дает K нулей в точке z = 0 . Знаменатель равен нулю, если z K = α . Оно имеет K решений, равномерно расположенных по кругу в комплексной плоскости ; это полюсы передаточной функции. Это приводит к графику полюс-ноль, подобному показанному ниже.
Непрерывная реализация времени
Гребенчатые фильтры также могут быть реализованы в непрерывном времени , что может быть выражено в области Лапласа как функция параметра комплексной частотной области, аналогичного области z. Аналоговые схемы используют некоторую форму аналоговой линии задержки в качестве элемента задержки. Реализации с непрерывным временем разделяют все свойства соответствующих реализаций с дискретным временем.
Форма прямой связи
Форму прямой связи можно описать уравнением:
где τ — задержка (измеряется в секундах). Это имеет следующую передаточную функцию: