Сравнение топологий

Математическое упражнение

В топологии и смежных областях математики совокупность всех возможных топологий на данном множестве образует частично упорядоченное множество . Это отношение порядка можно использовать для сравнения топологий .

Определение

Топологию множества можно определить как совокупность подмножеств , которые считаются «открытыми». Альтернативное определение состоит в том, что это совокупность подмножеств, которые считаются «закрытыми». Эти два способа определения топологии по существу эквивалентны, поскольку дополнение открытого множества закрыто, и наоборот. В дальнейшем не имеет значения, какое определение используется.

Пусть τ ₁ и τ ₂ — две топологии на множестве X такие, что τ ₁ содержится в τ ₂ :

${\displaystyle \tau _{1}\subseteq \tau _{2}}$.

То есть каждый элемент τ ₁ также является элементом τ ₂ . Тогда топология τ1 называется более грубой ( более слабой или меньшей ) топологией, чем _τ2 , а τ2 называется более тонкой ₍ более сильной или большей ) топологией _, чем τ1 _. ^{[номер 1]}

Если дополнительно

${\displaystyle \tau _{1}\neq \tau _{2}}$

мы говорим, что τ ₁ строго грубее, чем τ ₂ , а τ ₂ строго тоньше , чем τ ₁ . ^[1]

Бинарное отношение ⊆ определяет отношение частичного порядка на множестве всех возможных топологий на X .

Примеры

Наилучшей топологией на X является дискретная топология ; эта топология делает все подмножества открытыми. Самая грубая топология на X — это тривиальная топология ; эта топология допускает только пустое множество и все пространство как открытые множества.

В функциональных пространствах и пространствах мер часто существует несколько возможных топологий. См. топологии множества операторов в гильбертовом пространстве, чтобы узнать о некоторых сложных отношениях.

Все возможные полярные топологии дуальной пары тоньше слабой топологии и грубее сильной топологии .

Комплексное векторное пространство Cn может быть оснащено либо своей обычной (евклидовой) топологией, либо ^{топологией} Зарисского . В последнем случае подмножество V в Cn замкнуто тогда и только тогда, когда оно состоит из всех решений некоторой системы полиномиальных уравнений ^. Поскольку любое такое V также является замкнутым множеством в обычном смысле, а не наоборот , то топология Зарисского строго слабее обычной.

Характеристики

Пусть τ ₁ и τ ₂ — две топологии на множестве X. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

• τ ₁ ⊆ τ ₂
• тождественное отображение id _X  : ( X , τ ₂ ) → ( X , τ ₁ ) является непрерывным отображением .
• тождественное отображение id _X  : ( X , τ ₁ ) → ( X , τ ₂ ) является сильно/относительно открытым отображением .

(Тождественная карта id _X сюръективна и, следовательно , сильно открыта тогда и только тогда, когда она относительно открыта.)

Два непосредственных следствия приведенных выше эквивалентных утверждений:

• Непрерывное отображение f  : X → Y остается непрерывным, если топология на Y становится более грубой , а топология на X — более тонкой .
• Открытое (соответственно закрытое) отображение f  : X → Y остается открытым (соответственно закрытым), если топология на Y становится более тонкой , а топология на X — более грубой .

Можно также сравнивать топологии, используя базы соседства . Пусть τ ₁ и τ ₂ — две топологии на множестве X и пусть B _i ( x ) — локальная база топологии τ _i в точке x ∈ X для i = 1,2. Тогда τ ₁ ⊆ τ ₂ тогда и только тогда, когда для всех x ∈ X каждое открытое множество U ₁ в B ₁ ( x ) содержит некоторое открытое множество U ₂ в B ₂ ( x ). Интуитивно это имеет смысл: более тонкая топология должна иметь меньшие окрестности.

Решетка топологий

Совокупность всех топологий на множестве X вместе с отношением частичного порядка ⊆ образует полную решетку , также замкнутую относительно произвольных пересечений. ^[2] То есть любой набор топологий на X имеет встречу (или нижнюю границу ) и соединение (или верхнюю границу ). Встреча совокупности топологий — это пересечение этих топологий. Однако соединение обычно представляет собой не объединение этих топологий (объединение двух топологий не обязательно должно быть топологией), а скорее топологию, созданную в результате объединения.

Каждая полная решетка также является ограниченной решеткой , то есть она имеет наибольший и наименьший элемент . В случае топологий наибольшим элементом является дискретная топология , а наименьшим элементом — тривиальная топология .

Решетка топологий на множестве является решеткой с дополнениями ; то есть для данной топологии существует такая топология , что пересечение является тривиальной топологией, а топология, порожденная объединением, является дискретной топологией. ^{[3] [4]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau '}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau \cap \tau '}$ ${\displaystyle \tau \cup \tau '}$

Если множество имеет по крайней мере три элемента, решетка топологий на не является модулярной ^[5] и, следовательно, не является дистрибутивной . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Смотрите также

• Начальная топология — самая грубая топология набора, позволяющая сделать семейство отображений из этого набора непрерывным.
• Окончательная топология — лучшая топология на множестве, позволяющая сделать семейство отображений в этом множестве непрерывным.

Примечания

1. Есть некоторые авторы, особенно аналитики , которые используют термины «слабый» и «сильный» с противоположным значением (Мункрес, стр. 78).

Рекомендации

1. Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (2-е изд.). Сэддл-Ривер, Нью-Джерси: Прентис-Холл . стр. 77–78. ISBN 0-13-181629-2.
2. Ларсон, Роланд Э.; Андима, Сьюзен Дж. (1975). «Решетка топологий: обзор». Математический журнал Роки Маунтин . 5 (2): 177–198. дои : 10.1216/RMJ-1975-5-2-177 .
3. Штайнер, АК (1966). «Решетка топологий: структура и дополнение». Труды Американского математического общества . 122 (2): 379–398. дои : 10.1090/S0002-9947-1966-0190893-2 .
4. Ван Рой, ACM (1968). «Решетка всех топологий дополняется». Канадский математический журнал . 20 : 805–807. дои : 10.4153/CJM-1968-079-9 .
5. Штайнер 1966, Теорема 3.1.