Группа Паули

Граф Мёбиуса–Кантора , граф Кэли группы Паули с генераторами X , Y и Z ${\displaystyle G_{1}}$

В физике и математике группа Паули на 1 кубите — это 16-элементная матричная группа, состоящая из единичной матрицы 2 × 2 и всех матриц Паули. ${\displaystyle G_{1}}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle X=\sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad Y=\sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad Z=\sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$,

вместе с произведениями этих матриц с множителями и : ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle \pm i}$

${\displaystyle G_{1}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \{\pm I,\pm iI,\pm X,\pm iX,\pm Y,\pm iY,\pm Z,\pm iZ\}\equiv \langle X,Y,Z\rangle }$.

Группа Паули порождается матрицами Паули и, как и они, названа в честь Вольфганга Паули .

Группа Паули на кубитах, , является группой, порожденной описанными выше операторами, примененными к каждому из кубитов в тензорном произведении гильбертова пространства . То есть, ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle G_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (\mathbb {C} ^{2})^{\otimes n}}$

$${\displaystyle G_{n}=\langle W_{1}\otimes \cdots \otimes W_{n}:W_{i}\in \{X,Y,Z\}\rangle .}$$

Порядок таков , поскольку скаляр или фактор в любой позиции тензора можно переместить в любую другую позицию. ${\displaystyle G_{n}}$ ${\displaystyle 4\cdot 4^{n}}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle \pm i}$

Как абстрактная группа, является центральным произведением циклической группы порядка 4 и диэдральной группы порядка 8. ^[1] ${\displaystyle G_{1}\cong C_{4}\circ D_{4}}$

Группа Паули — это представление гамма -группы в трехмерном евклидовом пространстве. Она не изоморфна гамма-группе; она менее свободна, поскольку ее хиральный элемент — , тогда как для гамма-группы такой связи нет. ${\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}=iI}$

Ссылки

• Нильсен, Майкл А.; Чуан , Айзек Л. (2000). Квантовые вычисления и квантовая информация . Кембридж ; Нью-Йорк : Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-63235-5. OCLC  43641333.

Внешние ссылки

1. Группа Паули на GroupNames

2. https://arxiv.org/abs/quant-ph/9807006.