Групповой изоморфизм

Биективный групповой гомоморфизм

В абстрактной алгебре изоморфизм групп — это функция между двумя группами , которая устанавливает биекцию между элементами групп таким образом, который уважает заданные групповые операции. Если существует изоморфизм между двумя группами, то группы называются изоморфными . С точки зрения теории групп изоморфные группы обладают одинаковыми свойствами и не нуждаются в различении. ^[1]

Определение и обозначения

Для двух групп и группового изоморфизма из в есть биективный групповой гомоморфизм из в Если выразить это словами, то групповой изоморфизм есть биективная функция такая, что для всех и в имеет место соотношение ${\displaystyle (G,*)}$ ${\displaystyle (H,\odot ),}$ ${\displaystyle (G,*)}$ ${\displaystyle (H,\odot )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle f:G\to H}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle G}$ $${\displaystyle f(u*v)=f(u)\odot f(v).}$$

Две группы и изоморфны, если существует изоморфизм из одной в другую. ^{[1] [2]} Это записывается ${\displaystyle (G,*)}$ ${\displaystyle (H,\odot )}$ $${\displaystyle (G,*)\cong (H,\odot ).}$$

Часто можно использовать более короткие и простые обозначения. Когда соответствующие групповые операции понятны, они опускаются и пишутся $${\displaystyle G\cong H.}$$

Иногда можно даже просто написать Возможно ли такое обозначение без путаницы или двусмысленности, зависит от контекста. Например, знак равенства не очень подходит, когда обе группы являются подгруппами одной и той же группы. См. также примеры. ${\displaystyle G=H.}$

И наоборот, если задана группа, множество и биекция, мы можем создать группу , определив ${\displaystyle (G,*),}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle f:G\to H,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (H,\odot )}$ $${\displaystyle f(u)\odot f(v)=f(u*v).}$$

Если и то биекция является автоморфизмом ( см. qv ). ${\displaystyle H=G}$ ${\displaystyle \odot =*}$

Интуитивно теоретики групп рассматривают две изоморфные группы следующим образом: Для каждого элемента группы существует элемент из такой, что «ведет себя так же», как (действует с другими элементами группы так же, как ). Например, если порождает , то также порождает Это подразумевает, в частности, что и находятся во взаимно однозначном соответствии. Таким образом, определение изоморфизма вполне естественно. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle h.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$

Изоморфизм групп может быть эквивалентно определен как обратимый гомоморфизм групп (обратная функция биективного гомоморфизма групп также является гомоморфизмом групп).

Примеры

В этом разделе перечислены некоторые примечательные примеры изоморфных групп.

• Группа всех действительных чисел при сложении, изоморфна группе положительных действительных чисел при умножении : ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{+},\times )}$

  ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)\cong (\mathbb {R} ^{+},\times )}$через изоморфизм . ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$

• Группа целых чисел (со сложением) является подгруппой , а фактор-группа изоморфна группе комплексных чисел с абсолютным значением 1 (по умножению): ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle S^{1}}$

  ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} \cong S^{1}}$

• Четырехмерная группа Клейна изоморфна прямому произведению двух копий , и поэтому может быть записана в другой форме, поскольку это диэдральная группа . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}.}$ ${\displaystyle \operatorname {Dih} _{2},}$
• Обобщая это, для всех нечетных изоморфно прямому произведению и ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle \operatorname {Dih} _{2n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Dih} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}.}$
• Если — бесконечная циклическая группа , то изоморфна целым числам (с операцией сложения). С алгебраической точки зрения это означает, что множество всех целых чисел (с операцией сложения) является «единственной» бесконечной циклической группой. ${\displaystyle (G,*)}$ ${\displaystyle (G,*)}$

Некоторые группы можно доказать как изоморфные, опираясь на аксиому выбора , но доказательство не указывает, как построить конкретный изоморфизм. Примеры:

• Группа изоморфна группе всех комплексных чисел по сложению. ^[3] ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$ ${\displaystyle (\mathbb {C} ,+)}$
• Группа ненулевых комплексных чисел с операцией умножения изоморфна указанной выше группе. ${\displaystyle (\mathbb {C} ^{*},\cdot )}$ ${\displaystyle S^{1}}$

Характеристики

Ядро изоморфизма из в всегда равно {e _G }, где e _G — единица группы ${\displaystyle (G,*)}$ ${\displaystyle (H,\odot )}$ ${\displaystyle (G,*)}$

Если и изоморфны, то является абелевым тогда и только тогда, когда является абелевым. ${\displaystyle (G,*)}$ ${\displaystyle (H,\odot )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$

Если — изоморфизм из в , то для любого порядок равен порядку ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (G,*)}$ ${\displaystyle (H,\odot ),}$ ${\displaystyle a\in G,}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f(a).}$

Если и изоморфны, то является локально конечной группой тогда и только тогда, когда является локально конечной. ${\displaystyle (G,*)}$ ${\displaystyle (H,\odot )}$ ${\displaystyle (G,*)}$ ${\displaystyle (H,\odot )}$

Число различных групп (с точностью до изоморфизма) порядка задается последовательностью A000001 в OEIS . Первые несколько чисел — 0, 1, 1, 1 и 2, что означает, что 4 — это самый низкий порядок с более чем одной группой. ${\displaystyle n}$

Циклические группы

Все циклические группы данного порядка изоморфны , где обозначает сложение по модулю ${\displaystyle (\mathbb {Z} _{n},+_{n}),}$ ${\displaystyle +_{n}}$ ${\displaystyle n.}$

Пусть будет циклической группой и будет порядком Пусть будет генератором , тогда равно Мы покажем, что ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \langle x\rangle =\left\{e,x,\ldots ,x^{n-1}\right\}.}$ $${\displaystyle G\cong (\mathbb {Z} _{n},+_{n}).}$$

Определим так, что Очевидно, является биективным. Тогда что доказывает, что $${\displaystyle \varphi :G\to \mathbb {Z} _{n}=\{0,1,\ldots ,n-1\},}$$ ${\displaystyle \varphi (x^{a})=a.}$ ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle \varphi (x^{a}\cdot x^{b})=\varphi (x^{a+b})=a+b=\varphi (x^{a})+_{n}\varphi (x^{b}),}$$ ${\displaystyle G\cong (\mathbb {Z} _{n},+_{n}).}$

Последствия

Из определения следует, что любой изоморфизм будет отображать единичный элемент в единичный элемент того же типа, что и обратные элементы в обратные элементы, и, в более общем случае, степени в степени, и что обратное отображение также является групповым изоморфизмом. ${\displaystyle f:G\to H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H,}$ $${\displaystyle f(e_{G})=e_{H},}$$ $${\displaystyle f(u^{-1})=f(u)^{-1}\quad {\text{ for all }}u\in G,}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle f(u^{n})=f(u)^{n}\quad {\text{ for all }}u\in G,}$$ ${\displaystyle f^{-1}:H\to G}$

Отношение «быть изоморфным» является отношением эквивалентности . Если есть изоморфизм между двумя группами и тогда все, что верно относительно того , что относится только к структуре группы, может быть переведено посредством в истинное утверждение того же рода относительно и наоборот. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle H,}$

Автоморфизмы

Изоморфизм группы на себя называется автоморфизмом группы. Таким образом, это биекция, такая что ${\displaystyle (G,*)}$ ${\displaystyle f:G\to G}$ $${\displaystyle f(u)*f(v)=f(u*v).}$$

Образ при автоморфизме класса сопряженности всегда является классом сопряженности (тем же самым или другим) .

Композиция двух автоморфизмов снова является автоморфизмом, и при этой операции множество всех автоморфизмов группы, обозначенной самой собой , образует группу, группу автоморфизмов ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (G),}$ ${\displaystyle G.}$

Для всех абелевых групп существует по крайней мере автоморфизм, который заменяет элементы группы на их обратные. Однако в группах, где все элементы равны своим обратным, это тривиальный автоморфизм , например, в четверной группе Клейна . Для этой группы все перестановки трех нетождественных элементов являются автоморфизмами, поэтому группа автоморфизмов изоморфна (которая сама изоморфна ). ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle \operatorname {Dih} _{3}}$

В для простого числа один неединичный элемент можно заменить любым другим, с соответствующими изменениями в других элементах. Группа автоморфизмов изоморфна Например, для умножения всех элементов из на 3 по модулю 7 есть автоморфизм порядка 6 в группе автоморфизмов, поскольку в то время как меньшие степени не дают 1. Таким образом, этот автоморфизм порождает Есть еще один автоморфизм с этим свойством: умножение всех элементов из на 5 по модулю 7. Следовательно, эти два соответствуют элементам 1 и 5 из в этом порядке или наоборот. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p-1}}$ ${\displaystyle n=7,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{7}}$ ${\displaystyle 3^{6}\equiv 1{\pmod {7}},}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}.}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{7}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6},}$

Группа автоморфизмов изоморфна , поскольку порождает только каждый из двух элементов 1 и 5 , поэтому, за исключением тождества, мы можем только обменивать их. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2},}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6},}$

Группа автоморфизмов имеет порядок 168, как можно найти следующим образом. Все 7 нетождественных элементов играют одну и ту же роль, поэтому мы можем выбрать, какой из оставшихся 6 элементов играет роль Любой из оставшихся 6 может быть выбран для игры в роли (0,1,0). Это определяет, какой элемент соответствует Для того, чтобы мы могли выбрать из 4, что определяет остальные. Таким образом, у нас есть автоморфизмы. Они соответствуют автоморфизмам плоскости Фано , из которых 7 точек соответствуют 7 нетождественным элементам. Прямые, соединяющие три точки, соответствуют групповой операции: и на одной прямой означает и См. также общая линейная группа над конечными полями . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}=\operatorname {Dih} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle (1,0,0).}$ ${\displaystyle (1,1,0).}$ ${\displaystyle (0,0,1)}$ ${\displaystyle 7\times 6\times 4=168}$ ${\displaystyle a,b,}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a+b=c,}$ ${\displaystyle a+c=b,}$ ${\displaystyle b+c=a.}$

Для абелевых групп все нетривиальные автоморфизмы являются внешними автоморфизмами .

Неабелевы группы имеют нетривиальную внутреннюю группу автоморфизмов, а также, возможно, и внешние автоморфизмы.

Смотрите также

• Проблема группового изоморфизма
• Биекция  – взаимно-однозначное соответствие

Ссылки

• Herstein, IN (1975). Topics in Algebra (2-е изд.). Нью-Йорк: John Wiley & Sons. ISBN 0471010901.

1. Barnard, Tony & Neil, Hugh (2017). Discovering Group Theory: A Transition to Advanced Mathematics . Boca Ratan: CRC Press. стр. 94. ISBN 9781138030169.
2. Бадден, Ф. Дж. (1972). Очарование групп (PDF) . Кембридж: Cambridge University Press. стр. 142. ISBN 0521080169. Получено 12 октября 2022 г. – через VDOC.PUB.
3. Эш (1973). «Следствие аксиомы выбора». Журнал Австралийского математического общества . 19 (3): 306–308. doi : 10.1017/S1446788700031505 . Получено 21 сентября 2013 г.