В области абстрактной алгебры , известной как теория групп , группа монстров M (также известная как монстр Фишера-Грисса или дружественный гигант ) является крупнейшей спорадической простой группой , имеющей порядок
2 46 · 3 20 · 5 9
· 7 6 · 11 2 · 13 3 · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71 ≈ 8 × 10
53 .
Конечные простые группы полностью классифицированы . Каждая такая группа принадлежит к одному из 18 счетно бесконечных семейств или к одной из 26 спорадических групп, не следующих такой систематической схеме. Группа монстров содержит 20 спорадических групп (включая саму себя) в качестве подфакторов . Роберт Грисс , доказавший существование монстра в 1982 году, назвал эти 20 групп счастливой семьей , а остальные шесть исключений — изгоями .
Дать хорошее конструктивное определение монстру сложно из-за его сложности. Мартин Гарднер написал популярный отчет о группе монстров в своей колонке «Математические игры» в журнале Scientific American в июне 1980 года . [1]
Монстр был предсказан Берндом Фишером (неопубликовано, около 1973 г.) и Робертом Гриссом [2] как простая группа, содержащая двойное покрытие группы маленьких монстров Фишера в качестве централизатора инволюции . В течение нескольких месяцев порядок M был найден Гриссом с использованием формулы порядка Томпсона , а Фишер, Конвей , Нортон и Томпсон открыли другие группы в качестве подфакторов, включая многие известные спорадические группы, а также две новые: группу Томпсона и группа Харада -Нортон . Таблица символов монстра, массив размером 194х194, была рассчитана в 1979 году Фишером и Дональдом Ливингстоном с использованием компьютерных программ, написанных Майклом Торном. В 1970-х годах не было ясно, существует ли монстр на самом деле. Грисс [3] построил M как группу автоморфизмов алгебры Грисса , 196 884-мерной коммутативной неассоциативной алгебры над действительными числами; он впервые объявил о своем строительстве в Анн-Арборе 14 января 1980 года. В своей статье 1982 года он назвал монстра Дружелюбным Гигантом, но это имя не получило широкого распространения. Джон Конвей [4] и Жак Тит [5] [6] впоследствии упростили эту конструкцию.
Конструкция Грисса показала, что монстр существует. Томпсон [7] показал, что ее единственность (как простой группы, удовлетворяющей определенным условиям, вытекающим из классификации конечных простых групп) будет следовать из существования 196 883-мерного точного представления . Доказательство существования такого представления было анонсировано Нортоном [8] , хотя подробности он так и не опубликовал. Грисс, Мейерфранкенфельд и Сегев дали первое полное опубликованное доказательство единственности монстра (точнее, они показали, что группа с теми же централизаторами инволюций, что и монстр, изоморфна монстру). [9]
Монстр стал кульминацией развития спорадических простых групп и может быть построен из любых двух из трех подчастных: группы Фишера Fi 24 , маленького монстра и группы Конвея Co 1 .
Множитель Шура и внешняя группа автоморфизмов монстра тривиальны .
Минимальная степень точного комплексного представления равна 47 × 59 × 71 = 196 883, следовательно, является произведением трех крупнейших простых делителей порядка M. Наименьшее точное линейное представление над любым полем имеет размерность 196 882 над полем с двумя элементами. , всего на единицу меньше размерности наименьшего точного комплексного представления.
Наименьшее точное перестановочное представление монстра находится на
97 239 461 142 009 186 000
= 2 4 ·3 7 ·5 3 ·7 4 ·11 · 13 2 ·29 · 41 · 59 · 71
≈ 10 20
точки.
Монстр может быть реализован как группа Галуа над рациональными числами [ 10] и как группа Гурвица . [11]
Монстр необычен среди простых групп тем, что не существует простого способа представления его элементов. Это связано не столько с его размерами, сколько с отсутствием «маленьких» изображений. Например, простые группы A 100 и SL 20 (2) намного больше, но их легко вычислить, поскольку они имеют «маленькие» перестановки или линейные представления. Альтернирующие группы , такие как A 100 , имеют представления перестановок, которые «маленькие» по сравнению с размером группы, а все конечные простые группы лиева типа , такие как SL 20 (2), имеют линейные представления, которые «маленькие» по сравнению с размеру группы. Все спорадические группы, кроме монстра, также имеют достаточно маленькие линейные представления, чтобы с ними было легко работать на компьютере (следующий по сложности случай после монстра — это ребенок-монстр с представлением размером 4370).
Мартин Сейсен реализовал быстрый пакет Python под названием mmgroup, который утверждает, что является первой реализацией группы монстров, позволяющей эффективно выполнять произвольные операции. В документации указано, что умножение элементов группы занимает менее 40 миллисекунд на типичном современном ПК, что на пять порядков быстрее, чем предполагал Роберт А. Уилсон в 2013 году. [12] [13] [14] [15] The mmgroup Программный пакет был использован для поиска двух новых максимальных подгрупп группы монстров. [16]
Ранее Роберт А. Уилсон явно нашел (с помощью компьютера) две обратимые матрицы размером 196 882 на 196 882 (с элементами в поле порядка 2 ), которые вместе порождают группу монстров путем матричного умножения; это на одно измерение меньше, чем 196 883-мерное представление в характеристике 0. Выполнение вычислений с этими матрицами было возможно, но это слишком дорого с точки зрения времени и места для хранения, чтобы быть полезным, поскольку каждая такая матрица занимает более четырех с половиной гигабайт. [17]
Уилсон утверждает, что лучшее описание монстра — это сказать: «Это группа автоморфизмов вершинной алгебры монстра » . Однако это не особо поможет, потому что никто не нашел «действительно простой и естественной конструкции вершинной алгебры монстра». [18]
Уилсон с сотрудниками нашел метод выполнения вычислений с помощью монстра, который был значительно быстрее, хотя теперь его заменила вышеупомянутая работа Сейсена. Пусть V — векторное пространство размерности 196 882 над полем с двумя элементами. Выбирается большая подгруппа H (желательно максимальная подгруппа) Монстра, в которой легко производить вычисления. Выбрана подгруппа H : 3 1+12 .2.Suz.2, где Suz — группа Сузуки . Элементы монстра хранятся в виде слов в элементах H и дополнительном генераторе T. Достаточно быстро вычислить действие одного из этих слов на вектор в V . С помощью этого действия можно выполнять вычисления (например, порядок элемента монстра). Уилсон представил векторы u и v , совместным стабилизатором которых является тривиальная группа. Таким образом (например) можно вычислить порядок элемента g монстра, найдя наименьшее i > 0 такое, что gi u = u и gi v = v . Эта и подобные конструкции (в разных характеристиках ) были использованы для нахождения некоторых нелокальных максимальных подгрупп группы монстров.
Монстр содержит 20 из 26 спорадических групп в качестве субчастных. Эта диаграмма, основанная на схеме из книги Марка Ронана «Симметрия и монстр» , показывает, как они сочетаются друг с другом. [19] Линии означают включение в качестве подчастного нижней группы в верхнюю. Символы в кружках обозначают группы, не входящие в более крупные спорадические группы. Для ясности лишние включения не показаны.
Монстр имеет 46 классов сопряженности максимальных подгрупп . [16] Неабелевы простые группы некоторых 60 типов изоморфизма находятся как подгруппы или как факторы подгрупп. Самая крупная представленная чередующаяся группа — А 12 .
46 классов максимальных подгрупп монстра представлены в следующей таблице. Предыдущая неопубликованная работа Wilson et. Аль стремился исключить любые почти простые подгруппы с неабелевыми простыми цоколями вида U 3 (4), L 2 (8) и L 2 (16). [20] [21] [22] Однако последнее было опровергнуто Дитрихом и др., которые нашли новую максимальную подгруппу вида U 3 (4). Ранее те же авторы нашли новую максимальную подгруппу вида L 2 (13) и подтвердили отсутствие максимальных подгрупп с цоколем L 2 (8) или L 2 (16), завершив тем самым классификацию в литературе. [16]
Обратите внимание, что таблицы максимальных подгрупп часто содержат тонкие ошибки, в частности, по крайней мере две подгруппы в этой таблице были ошибочно исключены из некоторых предыдущих списков.
Существуют также связи между монстром и расширенными диаграммами Дынкина, в частности между узлами диаграммы и определенными классами сопряженности в монстре, известные как наблюдение Маккея E 8 . [26] [27] [28] Затем это распространяется на отношение между расширенными диаграммами и группами 3.Fi 24 ′ , 2.B и M, где это (3/2/1-кратные центральные расширения) группы Фишера , группы младенцев-монстров и монстра. Это спорадические группы , связанные с централизаторами элементов типа 1А, 2А и 3А в монстре, а порядок расширения соответствует симметриям диаграммы. См. классификацию ADE: троицы для дальнейших связей ( типа соответствия Маккея ), в том числе (для монстра) с довольно небольшой простой группой PSL (2,11) и со 120 трикасательными плоскостями канонической секстической кривой рода 4, известной как группы Бринга. изгиб .
Группа монстров — одна из двух основных составляющих гипотезы о чудовищном самогоне Конвея и Нортона [29] , которая связывает дискретную и недискретную математику и была окончательно доказана Ричардом Борчердсом в 1992 году.
В этом случае группа монстров видна как группа автоморфизмов модуля монстра , алгебры вершинных операторов , бесконечномерной алгебры, содержащей алгебру Грисса, и действует на монстр-алгебре Ли , обобщенной алгебре Каца – Муди .
Многие математики, в том числе Конвей, видели в монстре красивый и до сих пор загадочный объект. [30] Конвей сказал о группе монстров: «Никогда не было никакого объяснения, почему она здесь, и, очевидно, она там не просто по совпадению. У нее слишком много интригующих свойств, чтобы все это было просто случайностью». [31] Саймон П. Нортон , эксперт по свойствам группы монстров, сказал: «Я могу объяснить, что такое Monstrous Moonshine, в одном предложении, это голос Бога». [32]
