Группа Хигмана–Симса

В области современной алгебры, известной как теория групп , группа Хигмана–Симса HS является спорадической простой группой порядка

2 ⁹ ⋅3 ² ⋅5 ³ ⋅7⋅11 = 44352000

≈ 4 × 10⁷ .

Множитель Шура имеет порядок 2, внешняя группа автоморфизмов имеет порядок 2, а группа 2.HS.2 появляется как централизатор инволюции в группе Харады–Нортона .

История

HS является одной из 26 спорадических групп и была найдена Дональдом Г. Хигманом и Чарльзом К. Симсом (1968). Они присутствовали на презентации Маршалла Холла о группе Холла–Янко J ₂ . Оказывается, J ₂ действует как группа перестановок на графе Холла–Янко из 100 точек, причем стабилизатор одной точки является подгруппой с двумя другими орбитами длиной 36 и 63. Вдохновленные этим, они решили проверить другие группы перестановок ранга 3 на 100 точках. Вскоре они сосредоточились на возможной группе, содержащей группу Матье M ₂₂ , которая имеет представления перестановок на 22 и 77 точках. (Последнее представление возникает, потому что система Штейнера M ₂₂ имеет 77 блоков.) Объединив эти два представления, они нашли HS с одноточечным стабилизатором, изоморфным M ₂₂ .

HS — простая подгруппа индекса два в группе автоморфизмов графа Хигмана–Симса . Граф Хигмана–Симса имеет 100 узлов, поэтому группа Хигмана–Симса HS — транзитивная группа перестановок множества из 100 элементов. Наименьшее точное комплексное представление HS имеет размерность 22. ^[1]

Грэм Хигман (1969) независимо открыл эту группу как дважды транзитивную группу перестановок, действующую на определенной «геометрии» в 176 точках.

Строительство

Код GAP для построения группы Хигмана-Симса представлен в качестве примера в самой документации GAP. ^[2]

Группа Хигмана-Симса может быть построена с помощью следующих двух генераторов : ^[2]

$(1,50,65)$ $(2,89,62,52,88,25)$ $(3,46,57,18,74,55)$ $(4,45,10,70,56,39)$ $(5,97 ,77)$ $(6,84,8,48,99,67)$ $(7,26,92,28,20,100)$ $(9,30,79,66,49,95)$ $(11,72)$ $(12,94, 98,27,83,93)$ $(13,31,61,59,40,47)$ $(14,51,68,44,16,34)$ $(15,38)$ $(17,82,87)$ $(19,76 ) ,73,71,63,32)$ $(21,37,58,69,75,35)$ $(22,53,81)$ $(23,33,54)$ $(24,43,80,78,29,86)$ $(42,64)$ $(60,90, 96)$ $(85,91)$

$(1,65,44,13,34,57)$ $(2,10,39,54,42,84)$ $(3,15,69,63,37,11)$ $(5,21,79)$ $(6,89 ,49,64,46,80)$ $(7,70,93,29,8,38)$ $(9,81,17,23,77,59)$ $(12,68,66,75,96,82)$ $(14 ,18,95,43,76,32)$ $(16,33,99,26,92,48)$ $(19,50)$ $(20,97,83)$ $(22,88,85,53,24,56)$ $( 25,62,67)$ $(27,98)$ $(28,55)$ $(30,58,71,86,94,90)$ $(31,87,52,78,100,60)$ $(35,61,51)$ $(36,73,72)$ $(40,74)$ $(41,45,47)$

Связь с группами Конвея

Конвей (1968) определил группу Хигмана–Симса как подгруппу группы Конвея Co ₀ . В Co ₀ HS возникает как точечный стабилизатор треугольника 2-3-3 , чьи ребра (разности вершин) являются векторами типа 2 и 3. Таким образом, HS является подгруппой каждой из групп Конвея Co ₀ , Co ₂ и Co ₃ .

Wilson (2009) (стр. 208) показывает, что группа HS хорошо определена. В решетке Лича предположим, что точка v типа 3 зафиксирована экземпляром Co ₃ . Подсчитайте точки w типа 2, такие, что скалярное произведение v · w = 2 (и, таким образом, v - w имеет тип 3). Он показывает, что их число равно 11 178 = 2⋅3 ⁵ ⋅23 и что этот Co ₃ транзитивен на этих w .

$| HS | = | Co 3 | / 11 178 = 44 352 000.$

На самом деле, $| HS | = 100 | M 22 |$ , и существуют примеры HS, включающие представление матрицы перестановок группы Матье M ₂₂ .

Если экземпляр HS в Co ₀ фиксирует определенную точку типа 3, эта точка находится в 276 треугольниках типа 2-2-3, которые эта копия HS переставляет в орбитах 176 и 100. Этот факт приводит к конструкции Грэма Хигмана, а также к графу Хигмана–Симса. HS дважды транзитивен на 176 и имеет ранг 3 на 100.

Треугольник 2-3-3 определяет 2-мерное подпространство, фиксированное поточечно HS. Таким образом, стандартное представление HS может быть сведено к 22-мерному.

График Хигмана-Симса

Уилсон (2009) (стр. 210) приводит пример графа Хигмана-Симса в решетке Лича , переставленного представлением M ₂₂ по последним 22 координатам:

22 точки формы (1, 1, −3, 1 ²¹ )
77 точек формы (2, 2, 2 ⁶ , 0 ¹⁶ )
100-я точка (4, 4, 0 ²² )

Разности смежных точек имеют тип 3, разности несмежных — тип 2.

Здесь HS фиксирует треугольник 2-3-3 с вершинами x = (5, 1 ²³ ) , y = (1, 5, 1 ²² ) , и z - началом координат. x и y имеют тип 3, в то время как x - y = (4, −4, 0 ²² ) имеет тип 2. Любая вершина графа отличается от x , y , и z векторами типа 2.

Два класса инволюций

Инволюция в подгруппе M ₂₂ переставляет 8 пар координат. Как матрица перестановок в Co ₀ она имеет след 8. Можно показать, что она перемещает 80 из 100 вершин графа Хигмана-Симса. Никакая переставленная пара вершин не является ребром в графе.

Существует еще один класс инволюций, следа 0, которые перемещают все 100 вершин. ^[3] Как перестановки в знакопеременной группе A ₁₀₀ , будучи произведениями нечетного числа (25) двойных транспозиций, эти инволюции поднимаются до элементов порядка 4 в двойном покрытии 2.A ₁₀₀ . Таким образом, HS имеет двойное покрытие 2.HS, которое не связано с двойным покрытием подгруппы M ₂₂ .

Максимальные подгруппы

Магливерас (1971) нашел 12 классов сопряженности максимальных подгрупп HS следующим образом:

Классы сопряженности

Показаны следы матриц в стандартном 24-мерном представлении HS. ^[4] Перечислены 2 представления перестановок: на 100 вершинах графа Хигмана–Симса и на 176 точках геометрии Грэма Хигмана. ^[5]

Обобщенный чудовищный лунный свет

Конвей и Нортон предположили в своей статье 1979 года, что чудовищный лунный свет не ограничивается группой монстров , но что подобные явления могут быть обнаружены для других групп. Ларисса Куин и другие впоследствии обнаружили, что можно построить расширения многих Hauptmoduln из простых комбинаций измерений спорадических групп. Для HS ряд Маккея-Томпсона — это, где можно установить a(0) = 4 ( OEIS : A058097 ), $T_{10A}(\tau )$

{\begin{aligned}j_{10A}(\tau )&=T_{10A}(\tau )+4\\&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )\;\eta (5\tau )}{\eta (2\tau )\;\eta (10\tau )}}\right)^{2}+2^{2}\left({\frac {\eta (2\tau )\;\eta (10\tau )}{\eta (\tau )\;\eta (5\tau )}}\right)^{2}\right)^{2}\\&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )\;\eta (2\tau )}{\eta (5\tau )\;\eta (10\tau )}}\right)+5\left({\frac {\eta (5\tau )\;\eta (10\tau )}{\eta (\tau )\;\eta (2\tau )}}\right)\right)^{2}-4\\&={\frac {1}{q}}+4+22q+56q^{2}+177q^{3}+352q^{4}+870q^{5}+1584q^{6}+\cdots \end{aligned}}

Ссылки

^ Янсен (2009), стр. 123
^ ab "Построение HS и Co3 в GAP 4".
^ Уилсон (2009), стр. 213
^ Конвей и др. (1985)
^ "ATLAS: Группа Хигмана–Симса HS".

Конвей, Джон Хортон (1968), «Совершенная группа порядка 8 315 553 613 086 720 000 и спорадические простые группы», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 61 (2): 398–400, Bibcode : 1968PNAS...61..398C, doi : 10.1073/pnas.61.2.398 , ISSN 0027-8424, MR 0237634, PMC 225171 , PMID 16591697
JS Frame (1972) «Вычисления характеров группы Хигмана-Симса и ее группы автоморфизмов» Журнал алгебры, 20, 320-349
Конвей, Джон Хортон ; Паркер, Ричард А.; Нортон, Саймон П.; Кертис, Р. Т.; Уилсон, Роберт А. (1985), Атлас конечных групп, Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853199-9, МР 0827219
Диксон, Джон Д.; Мортимер, Брайан (1996), Группы перестановок , Graduate Texts in Mathematics, т. 163, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4612-0731-3, ISBN 978-0-387-94599-6, МР 1409812
Галлиан, Джозеф (1976), «Поиск конечных простых групп», Mathematics Magazine , 49 (4): 163–180, doi :10.2307/2690115, ISSN 0025-570X, JSTOR 2690115, MR 0414688
Грисс, Роберт Л. младший (1998), Двенадцать спорадических групп , Springer Monographs in Mathematics, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-03516-0, ISBN 978-3-540-62778-4, МР 1707296
Хигман, Дональд Г .; Симс, Чарльз К. (1968), «Простая группа порядка 44 352 000» (PDF) , Mathematische Zeitschrift , 105 (2): 110–113, doi : 10.1007/BF01110435, hdl : 2027.42/46258 , ISSN 0025-5874, МР 0227269, S2CID 32803979
Хигман, Грэм (1969), «О простой группе Д. Г. Хигмана и К. К. Симса», Illinois Journal of Mathematics , 13 : 74–80, doi : 10.1215/ijm/1256053736 , ISSN 0019-2082, MR 0240193
Янсен, Кристоф (2005). "Минимальные степени точных представлений спорадических простых групп и их покрывающих групп". LMS Journal of Computation and Mathematics . 8 : 123. doi : 10.1112/S1461157000000930 .
Magliveras, Spyros S. (1971), «Структура подгруппы простой группы Хигмана–Симса», Бюллетень Американского математического общества , 77 (4): 535–539, doi : 10.1090/S0002-9904-1971-12743-X , ISSN 0002-9904, MR 0283077
Уилсон, Роберт А. (2009), Конечные простые группы. , Graduate Texts in Mathematics 251, т. 251, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-84800-988-2, ISBN 978-1-84800-987-5, ЗБЛ 1203.20012

Внешние ссылки

MathWorld: Хигман–Симс
Атлас представлений конечных групп: группа Хигмана–Симса