В области современной алгебры, известной как теория групп , группы Конвея — это три спорадические простые группы Co 1 , Co 2 и Co 3 вместе с связанной с ними конечной группой Co 0 , введенной ( Conway 1968, 1969).
Самая большая из групп Конвея, Co 0 , является группой автоморфизмов решетки Лича Λ относительно сложения и скалярного произведения . Она имеет порядок
но это не простая группа. Простая группа Co 1 порядка
определяется как частное от деления Co 0 на его центр , который состоит из скалярных матриц ±1. Группы Co 2 порядка
и Co 3 порядка
состоят из автоморфизмов Λ, фиксирующих вектор решетки типа 2 и типа 3 соответственно. Поскольку скаляр −1 не фиксирует ненулевой вектор, эти две группы изоморфны подгруппам Co 1 .
Внутренний продукт на решетке Лича определяется как 1/8 суммы произведений соответствующих координат двух векторов-множителей; это целое число. Квадратная норма вектора — это его внутренний продукт с самим собой, всегда четное целое число. Обычно говорят о типе вектора решетки Лича: половина квадратной нормы. Подгруппы часто называют в соответствии с типами соответствующих неподвижных точек. Эта решетка не имеет векторов типа 1.
Томас Томпсон (1983) рассказывает, как примерно в 1964 году Джон Лич исследовал плотные упаковки сфер в евклидовых пространствах большой размерности. Одним из открытий Лича была решетчатая упаковка в 24-мерном пространстве, основанная на том, что стало называться решеткой Лича Λ. Он задавался вопросом, содержит ли группа симметрии его решетки интересную простую группу, но чувствовал, что ему нужна помощь кого-то, кто лучше знаком с теорией групп. Ему пришлось много расспрашивать, потому что математики были заняты собственными делами. Джон Конвей согласился рассмотреть проблему. Джон Г. Томпсон сказал, что ему было бы интересно, если бы ему дали порядок группы. Конвей рассчитывал потратить месяцы или годы на проблему, но нашел результаты всего за несколько сеансов.
Витт (1998, стр. 329) заявил, что он нашел решетку Лича в 1940 году, и намекнул, что он вычислил порядок ее группы автоморфизмов Co 0 .
Конвей начал свое исследование Co 0 с подгруппы, которую он назвал N , голоморфа (расширенного) двоичного кода Голея (как диагональные матрицы с 1 или −1 в качестве диагональных элементов) по группе Матье M 24 (как матрицы перестановок ). N ≈ 2 12 :M 24 .
Стандартное представление двоичного кода Голея, используемое в этой статье, упорядочивает 24 координаты таким образом, что 6 последовательных блоков (тетрад) по 4 составляют секстет .
Матрицы Co 0 ортогональны , т.е. они оставляют скалярное произведение инвариантным. Обратной является транспонирование . Co 0 не имеет матриц с детерминантом −1.
Решетку Лича можно легко определить как Z - модуль, порожденный множеством Λ 2 всех векторов типа 2, состоящим из
и их образы под N. Λ 2 под N распадается на 3 орбиты размером 1104, 97152 и 98304. Тогда | Λ 2 | =196 560 = 2 4 ⋅3 3 ⋅5⋅7⋅13 . Конвей сильно подозревал, что Co 0 транзитивенна Λ 2 , и действительно , он нашел новую матрицу, не мономиальную и не целочисленную.
Пусть η будет матрицей 4х4
Теперь пусть ζ будет блочной суммой 6 матриц: нечетные числа каждая из η и − η . [1] [2] ζ является симметричной и ортогональной матрицей, следовательно, инволюцией . Некоторые эксперименты показывают, что она обменивает векторы между различными орбитами N .
Для вычисления |Co 0 | лучше всего рассмотреть Λ 4 , множество векторов типа 4. Любой вектор типа 4 является одним из ровно 48 векторов типа 4, конгруэнтных друг другу по модулю 2Λ, распадающихся на 24 ортогональные пары { v , – v }. Множество из 48 таких векторов называется фреймом или крестом . N имеет в качестве орбиты стандартный фрейм из 48 векторов вида (±8, 0 23 ). Подгруппа, фиксирующая данный фрейм, является сопряженной к N . Группа 2 12 , изоморфная коду Голея, действует как изменение знака на векторах фрейма, в то время как M 24 переставляет 24 пары фрейма. Можно показать, что Co 0 транзитивен на Λ 4 . Конвей умножил порядок 2 12 |M 24 | от N на количество кадров, причем последнее равно частному | Λ 4 |/48 =8 252 375 = 3 6 ⋅5 3 ⋅7 ⋅13 . Это произведение является порядком любой подгруппы Co 0 , которая собственно содержит N ; следовательно, N является максимальной подгруппой Co 0 и содержит 2-силовские подгруппы Co 0 . N также является подгруппой в Co 0 всех матриц с целыми компонентами.
Поскольку Λ включает векторы формы (±8, 0 23 ) , Co 0 состоит из рациональных матриц, все знаменатели которых являются делителями 8.
Наименьшее нетривиальное представление Co0 над любым полем — это 24-мерное представление, полученное из решетки Лича, и оно является точным для полей характеристики, отличной от 2.
Можно показать, что любая инволюция в Co 0 сопряжена с элементом кода Голея. Co 0 имеет 4 класса сопряженности инволюций.
Можно показать, что матрица перестановок формы 2 12 сопряжена с додекадой . Ее централизатор имеет вид 2 12 :M 12 и имеет сопряженные элементы внутри мономиальной подгруппы. Любая матрица в этом классе сопряженности имеет след 0.
Можно показать, что матрица перестановок вида 2 8 1 8 сопряжена с октадой ; она имеет след 8. Она и ее отрицательная матрица (след −8) имеют общий централизатор вида (2 1+8 ×2).O 8 + (2) , максимальную подгруппу в Co 0 .
Конвей и Томпсон обнаружили, что четыре недавно открытые спорадические простые группы, описанные в трудах конференции (Brauer & Sah 1969), изоморфны подгруппам или факторам подгрупп Co 0 .
Сам Конвей использовал обозначение для стабилизаторов точек и подпространств, где он ставил точку. Исключением были .0 и .1 , будучи Co 0 и Co 1 . Для целого числа n ≥ 2 пусть .n обозначает стабилизатор точки типа n (см. выше) в решетке Лича.
Затем Конвей назвал стабилизаторы плоскостей, определяемые треугольниками, имеющими начало координат в качестве вершины. Пусть .hkl будет точечным стабилизатором треугольника с ребрами (разностями вершин) типов h , k и l . Треугольник обычно называют треугольником hkl . В простейших случаях Co 0 транзитивен на рассматриваемых точках или треугольниках, а группы стабилизаторов определены с точностью до сопряженности.
Конвей идентифицировал .322 с группой Маклафлина McL (заказ898,128,000 ) и .332 с группой Хигмана-Симса HS (заказ44 352 000 ); оба они были недавно обнаружены.
Вот таблица [3] [4] некоторых групп подрешеток:
Две спорадические подгруппы можно определить как факторы стабилизаторов структур на решетке Лича. Отождествляя R 24 с C 12 и Λ с
результирующая группа автоморфизмов (т.е. группа автоморфизмов решетки Лича, сохраняющих комплексную структуру ) при делении на шестиэлементную группу комплексных скалярных матриц дает группу Сузуки Suz (порядок448 345 497 600 ). Эта группа была открыта Мичио Судзуки в 1968 году.
Аналогичная конструкция дает группу Холла–Янко J 2 (порядок604,800 ) как факторгруппы кватернионных автоморфизмов Λ по группе ±1 скаляров.
Семь простых групп, описанных выше, составляют то, что Роберт Грайс называет вторым поколением Счастливой семьи , которое состоит из 20 спорадических простых групп, обнаруженных в группе Монстров . Несколько из семи групп содержат по крайней мере некоторые из пяти групп Матье , которые составляют первое поколение .
Co 0 имеет 4 класса сопряженности элементов порядка 3. В M 24 элемент формы 3 8 порождает групповую нормаль в копии S 3 , которая коммутирует с простой подгруппой порядка 168. Прямое произведение PSL(2,7) × S 3 в M 24 переставляет октады трио и переставляет 14 додекадных диагональных матриц в мономиальной подгруппе. В Co 0 этот мономиальный нормализатор 2 4 :PSL(2,7) × S 3 расширяется до максимальной подгруппы вида 2.A 9 × S 3 , где 2.A 9 — двойное покрытие знакопеременной группы A 9 .
Джон Томпсон указал, что было бы плодотворно исследовать нормализаторы меньших подгрупп вида 2.A n (Conway 1971, стр. 242). Несколько других максимальных подгрупп Co 0 находятся таким образом. Более того, в полученной цепочке появляются две спорадические группы.
Имеется подгруппа 2.A 8 × S 4 , единственная из этой цепочки, не максимальная в Co 0 . Далее следует подгруппа (2.A 7 × PSL 2 (7)):2 . Далее следует (2.A 6 × SU 3 (3)):2 . Унитарная группа SU 3 (3) (порядок6,048 ) обладает графом из 36 вершин, в ожидании следующей подгруппы. Эта подгруппа — (2.A 5 o 2.HJ):2 , в которой появляется группа Холла–Янко HJ. Вышеупомянутый граф расширяется до графа Холла–Янко со 100 вершинами. Далее следует (2.A 4 o 2.G 2 (4)):2 , где G 2 (4) — исключительная группа лиева типа .
Цепочка заканчивается 6.Suz:2 (Suz = спорадическая группа Сузуки ), которая, как упоминалось выше, соответствует сложному представлению решетки Лича.
Конвей и Нортон предположили в своей статье 1979 года, что чудовищный лунный свет не ограничивается монстром. Ларисса Куин и другие впоследствии обнаружили, что можно построить расширения многих Hauptmoduln из простых комбинаций размерностей спорадических групп. Для групп Конвея соответствующий ряд Маккея–Томпсона равен = {1, 0, 276,−2,048 ,11,202 ,−49,152 , ...} ( OEIS : A007246 ) и = {1, 0, 276,2,048 ,11,202 ,49,152 , ...} ( OEIS : A097340 ), где можно установить постоянный член a(0) = 24 ,
и η ( τ ) — эта-функция Дедекинда .
![{\displaystyle \mathbf {Z} \left[e^{{\frac {2}{3}}\pi i}\right]^{12},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/326324564b54ab185c9ca6f223a4212452d85ba6)
