Голоморф (математика)

В математике , особенно в области алгебры , известной как теория групп , голоморф группы , обозначаемый , является группой , которая одновременно содержит (копии) и ее группу автоморфизмов . Это дает интересные примеры групп и позволяет рассматривать элементы группы и автоморфизмы группы в едином контексте. Голоморф может быть описан как полупрямое произведение или как группа перестановок . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \operatorname {Hol} (G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (G)}$

Хол(Г) как полупрямое произведение

Если — группа автоморфизмов , то ${\displaystyle \operatorname {Aut} (G)}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \operatorname {Hol} (G)=G\rtimes \operatorname {Aut} (G)}$

где умножение задается как

Обычно полупрямое произведение задается в виде, где и — группы, а — гомоморфизм , и где умножение элементов в полупрямом произведении задается как ${\displaystyle G\rtimes _{\phi }A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \phi :A\rightarrow \operatorname {Aut} (G)}$

${\displaystyle (g,a)(h,b)=(g\phi (a)(h),ab)}$

что хорошо определено , поскольку и поэтому . ${\displaystyle \phi (a)\in \operatorname {Aut} (G)}$ ${\displaystyle \phi (a)(h)\in G}$

Для голоморфа и является тождественным отображением , поэтому мы явно опускаем запись в умножении, приведенном в уравнении ( 1 ) выше. ${\displaystyle A=\operatorname {Aut} (G)}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$

Например,

• ${\displaystyle G=C_{3}=\langle x\rangle =\{1,x,x^{2}\}}$циклическая группа порядка 3
• ${\displaystyle \operatorname {Aut} (G)=\langle \sigma \rangle =\{1,\sigma \}}$где ${\displaystyle \sigma (x)=x^{2}}$
• ${\displaystyle \operatorname {Hol} (G)=\{(x^{i},\sigma ^{j})\}}$с умножением, заданным как:

${\displaystyle (x^{i_{1}},\sigma ^{j_{1}})(x^{i_{2}},\sigma ^{j_{2}})=(x^{i_{1}+i_{2}2^{^{j_{1}}}},\sigma ^{j_{1}+j_{2}})}$где показатели степени берутся по модулю 3, а показатели степени — по модулю 2. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \sigma }$

Понаблюдайте, например,

${\displaystyle (x,\sigma )(x^{2},\sigma )=(x^{1+2\cdot 2},\sigma ^{2})=(x^{2},1)}$

и эта группа не является абелевой , так как , так что является неабелевой группой порядка 6, которая, согласно базовой теории групп, должна быть изоморфна симметрической группе . ${\displaystyle (x^{2},\sigma )(x,\sigma )=(x,1)}$ ${\displaystyle \operatorname {Hol} (C_{3})}$ ${\displaystyle S_{3}}$

Хол(Г) как группа перестановок

Группа G естественным образом действует на себя левым и правым умножением, каждое из которых порождает гомоморфизм из G в симметрическую группу на базовом множестве G. Один гомоморфизм определяется как λ : G → Sym( G ), ( h ) = g · h . То есть g отображается в перестановку , полученную левым умножением каждого элемента G на g . Аналогично, второй гомоморфизм ρ : G → Sym( G ) определяется как ( h ) = h · g ⁻¹ , где обратное гарантирует, что ( k ) = ( ( k ) ) . Эти гомоморфизмы называются левым и правым регулярными представлениями G . Каждый гомоморфизм инъективен , этот факт называется теоремой Кэли . ${\displaystyle \lambda _{g}}$ ${\displaystyle \rho _{g}}$ ${\displaystyle \rho _{gh}}$ ${\displaystyle \rho _{g}}$ ${\displaystyle \rho _{h}}$

Например, если G = C ₃ = {1, x , x ² } — циклическая группа третьего порядка, то

• ${\displaystyle \lambda _{x}}$(1) = х ·1 = х ,
• ${\displaystyle \lambda _{x}}$( х ) = х · х = х ² , и
• ${\displaystyle \lambda _{x}}$( х ² ) = х · х ² = 1,

поэтому λ ( x ) переводит (1, x , x ² ) в ( x , x ² , 1).

Образ λ является подгруппой Sym( G ), изоморфной G , и его нормализатор в Sym( G ) определяется как голоморф N группы G . Для каждого n из N и g из G существует h из G такой, что n · = · n . Если элемент n голоморфа фиксирует тождество G , то для 1 из G , ( n · )(1) = ( · n )(1), но левая часть равна n ( g ), а правая часть равна h . Другими словами, если n из N фиксирует тождество G , то для каждого g из G , n · = · n . Если g , h являются элементами G , а n является элементом N , фиксирующим тождество G , то применение этого равенства дважды к n · · и один раз к (эквивалентному) выражению n · дает, что n ( g )· n ( h ) = n ( g · h ). То есть, каждый элемент N , фиксирующий тождество G , на самом деле является автоморфизмом G . Такой n нормализует , и единственным , что фиксирует тождество, является λ (1). Если установить A в качестве стабилизатора тождества, то подгруппа , порожденная A , является полупрямым произведением с нормальной подгруппой и дополнением A . Поскольку является транзитивным , подгруппа , порожденная и стабилизатором точки A , полностью принадлежит N , что показывает, что голоморф как группа перестановок изоморфен голоморфу как полупрямому произведению. ${\displaystyle \lambda _{g}}$ ${\displaystyle \lambda _{h}}$ ${\displaystyle \lambda _{g}}$ ${\displaystyle \lambda _{h}}$ ${\displaystyle \lambda _{g}}$ ${\displaystyle \lambda _{n(g)}}$ ${\displaystyle \lambda _{g}}$ ${\displaystyle \lambda _{h}}$ ${\displaystyle \lambda _{gh}}$ ${\displaystyle \lambda _{G}}$ ${\displaystyle \lambda _{g}}$ ${\displaystyle \lambda _{G}}$ ${\displaystyle \lambda _{G}}$ ${\displaystyle \lambda _{G}}$ ${\displaystyle \lambda _{G}}$

Полезно, но не имеет прямого отношения к делу, что централизатор в Sym( G ) равен , их пересечение равно , где Z( G ) — центр G , и что A — общее дополнение к обеим этим нормальным подгруппам N . ${\displaystyle \lambda _{G}}$ ${\displaystyle \rho _{G}}$ ${\displaystyle \rho _{Z(G)}=\lambda _{Z(G)}}$

Характеристики

• ρ ( G ) ∩ Aut( G ) = 1
• Aut( G ) нормализует ρ ( G ) так, что канонически ρ ( G )Aut( G ) ≅ G ⋊ Aut( G )
• ${\displaystyle \operatorname {Inn} (G)\cong \operatorname {Im} (g\mapsto \lambda (g)\rho (g))}$поскольку λ ( g ) ρ ( g )( h ) = ghg ^​​−1 ( — группа внутренних автоморфизмов группы G .) ${\displaystyle \operatorname {Inn} (G)}$
• K ≤ G является характеристической подгруппой тогда и только тогда, когда λ ( K ) ⊴ Hol( G )

Ссылки

• Холл, Маршалл-младший (1959), Теория групп , Macmillan, MR  0103215
• Бернсайд, Уильям (2004), Теория групп конечного порядка, 2-е изд. , Довер, стр. 87