Теорема Кэли

Представление групп перестановками

В теории групп теорема Кэли , названная в честь Артура Кэли , утверждает, что каждая группа G изоморфна подгруппе симметрической группы . ^[1] Более конкретно, G изоморфна подгруппе симметрической группы , элементы которой являются перестановками базового множества G. Явно, ${\displaystyle \operatorname {Sym} (G)}$

• для каждого , отображение левого умножения на g, отправляющее каждый элемент x в gx, является перестановкой G , и ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle \ell _{g}\colon G\to G}$
• отображение, переводящее каждый элемент g в , является инъективным гомоморфизмом , поэтому оно определяет изоморфизм из G на подгруппу . ${\displaystyle G\to \operatorname {Sym} (G)}$ ${\displaystyle \ell _{g}}$ ${\displaystyle \operatorname {Sym} (G)}$

Гомоморфизм можно также понимать как результат действия левого переноса G на базовое множество G. ^[2 ] ${\displaystyle G\to \operatorname {Sym} (G)}$

Когда G конечна, также конечна. Доказательство теоремы Кэли в этом случае показывает, что если G — конечная группа порядка n , то G изоморфна подгруппе стандартной симметрической группы . Но G также может быть изоморфна подгруппе меньшей симметрической группы для некоторых ; например, группа порядка 6 не только изоморфна подгруппе , но также (тривиально) изоморфна подгруппе . ^[3] Задача нахождения симметрической группы минимального порядка, в которую вкладывается заданная группа G, довольно сложна. ^{[4] [5]} ${\displaystyle \operatorname {Sym} (G)}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle S_{m}}$ ${\displaystyle m<n}$ ${\displaystyle G=S_{3}}$ ${\displaystyle S_{6}}$ ${\displaystyle S_{3}}$

Альперин и Белл отмечают, что «в целом тот факт, что конечные группы вложены в симметрические группы, не повлиял на методы, используемые для изучения конечных групп» ^{[6] .}

Когда G бесконечно, бесконечно, но теорема Кэли все еще применима. ${\displaystyle \operatorname {Sym} (G)}$

История

Хотя это кажется достаточно элементарным, в то время современных определений не существовало, и когда Кэли ввел то, что сейчас называется группами, не сразу стало ясно, что это эквивалентно ранее известным группам, которые сейчас называются группами перестановок . Теорема Кэли объединяет их.

Хотя Бернсайд ^[7] приписывает теорему Джордану ^[8] , Эрик Нуммела ^[9] тем не менее утверждает, что стандартное название — «Теорема Кэли» — на самом деле подходит. Кэли в своей оригинальной статье 1854 года ^[10] показал, что соответствие в теореме является однозначным, но он не смог явно показать, что это был гомоморфизм (и, следовательно, вложение). Однако Нуммела отмечает, что Кэли сделал этот результат известным математическому сообществу в то время, таким образом, опередив Джордана примерно на 16 лет.

Теорема была позднее опубликована Вальтером Дайком в 1882 году ^[11] и приписывается Дайку в первом издании книги Бернсайда. ^[12]

Фон

Перестановка множества A — это биективная функция из A в A. Множество всех перестановок A образует группу относительно композиции функций , называемую симметрической группой на A и записываемую как . ^[13] В частности, если взять A в качестве базового множества группы G, то получится симметрическая группа, обозначаемая . ${\displaystyle \operatorname {Sym} (A)}$ ${\displaystyle \operatorname {Sym} (G)}$

Доказательство теоремы

Если g — любой элемент группы G с операцией ∗, рассмотрим функцию f _g  : G → G , определяемую формулой f _g ( x ) = g ∗ x . В силу существования обратных эта функция также имеет обратную, . Так что умножение на g действует как биективная функция. Таким образом, f _g является перестановкой G , и поэтому является членом Sym( G ). ${\displaystyle f_{g^{-1}}}$

Множество K = { f _g  : g ∈ G } является подгруппой Sym( G ), которая изоморфна G . Самый быстрый способ установить это — рассмотреть функцию T  : G → Sym( G ) с T ( g ) = f _g для каждого g из G . T является гомоморфизмом групп , потому что (используя · для обозначения композиции в Sym( G )):

${\displaystyle (f_{g}\cdot f_{h})(x)=f_{g}(f_{h}(x))=f_{g}(h*x)=g*(h*x)=(g*h)*x=f_{g*h}(x),}$

для всех x в G , и, следовательно:

${\displaystyle T(g)\cdot T(h)=f_{g}\cdot f_{h}=f_{g*h}=T(g*h).}$

Гомоморфизм T инъективен , поскольку T ( g ) = id _G (элемент единицы Sym( G )) подразумевает, что g ∗ x = x для всех x в G , и взятие x в качестве элемента единицы e группы G дает g = g ∗ e = e , т. е. ядро ​​тривиально. С другой стороны, T также инъективен , поскольку g ∗ x = g ′ ∗ x подразумевает, что g = g ′ (потому что каждая группа является сокращаемой ).

Таким образом, G изоморфна образу T , который является подгруппой K.

T иногда называют регулярным представлением G.

Альтернативная установка доказательства

Альтернативная настройка использует язык групповых действий . Мы рассматриваем группу как действующую на себя левым умножением, т.е. , которая имеет представление перестановки, скажем . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g\cdot x=gx}$ ${\displaystyle \phi :G\to \mathrm {Sym} (G)}$

Представление является точным, если инъективно, то есть если ядро ​​тривиально. Предположим . Тогда, . Таким образом, тривиально. Результат следует из первой теоремы об изоморфизме , из которой мы получаем . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle g\in \ker \phi }$ ${\displaystyle g=ge=g\cdot e=e}$ ${\displaystyle \ker \phi }$ ${\displaystyle \mathrm {Im} \,\phi \cong G}$

Замечания по регулярному представительству группы

Элемент тождества группы соответствует тождественной перестановке. Все остальные элементы группы соответствуют расстройствам : перестановкам, которые не оставляют ни один элемент неизменным. Поскольку это также применимо к степеням элемента группы, ниже порядка этого элемента, каждый элемент соответствует перестановке, которая состоит из циклов, все из которых имеют одинаковую длину: эта длина является порядком этого элемента. Элементы в каждом цикле образуют правый смежный класс подгруппы, порожденной элементом.

Примеры регулярного группового представительства

${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}=\{0,1\}}$с добавлением по модулю 2; элемент группы 0 соответствует тождественной перестановке e, элемент группы 1 — перестановке (12) (см. обозначение цикла ). Например, 0 +1 = 1 и 1+1 = 0, так и как они были бы при перестановке. ${\textstyle 1\mapsto 0}$ ${\textstyle 0\mapsto 1,}$

${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}=\{0,1,2\}}$с добавлением по модулю 3; элемент группы 0 соответствует тождественной перестановке e, элемент группы 1 — перестановке (123), а элемент группы 2 — перестановке (132). Например, 1 + 1 = 2 соответствует (123)(123) = (132).

${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}=\{0,1,2,3\}}$со сложением по модулю 4; элементы соответствуют e, (1234), (13)(24), (1432).

Элементы четверной группы Клейна {e, a, b, c} соответствуют e, (12)(34), (13)(24) и (14)(23).

S ₃ ( диэдральная группа порядка 6 ) — это группа всех перестановок 3 объектов, а также группа перестановок 6 элементов группы, и последнее — это то, как она реализуется ее регулярным представлением.

Более общее заявление

Теорема: Пусть G — группа, а H — ее подгруппа. Пусть — множество левых смежных классов H в G. Пусть N — нормальное ядро ​​H в G , определяемое как пересечение сопряженных элементов H в G. Тогда фактор - группа изоморфна подгруппе . ${\displaystyle G/H}$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle \operatorname {Sym} (G/H)}$

Частным случаем является исходная теорема Кэли. ${\displaystyle H=1}$

Смотрите также

• Аналогом для инверсных полугрупп является теорема Вагнера–Престона .
• Теорема Биркгофа о представлении , аналогичный результат в теории порядка
• Теорема Фрухта , каждая конечная группа является группой автоморфизмов графа
• Лемма Йонеды , обобщение теоремы Кэли в теории категорий
• Теорема о представлении

Примечания

1. Якобсон (2009, стр. 38)
2. Якобсон (2009, стр. 72, упр. 1)
3. Питер Дж. Кэмерон (2008). Введение в алгебру, второе издание . Oxford University Press. стр. 134. ISBN 978-0-19-852793-0.
4. Джонсон, Д. Л. (1971). «Минимальные перестановочные представления конечных групп». Американский журнал математики . 93 (4): 857–866. doi :10.2307/2373739. JSTOR  2373739.
5. Гречкосеева, М. А. (2003). «О минимальных перестановочных представлениях классических простых групп». Сибирский математический журнал . 44 (3): 443–462. doi :10.1023/A:1023860730624. S2CID  126892470.
6. JL Alperin; Rowen B. Bell (1995). Группы и представления . Springer. стр. 29. ISBN 978-0-387-94525-5.
7. Бернсайд, Уильям (1911), Теория групп конечного порядка (2-е изд.), Кембридж, стр. 22, ISBN 0-486-49575-2{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
8. Джордан, Камилла (1870), Traite des substitutions et des algebriques , Париж: Готер-Вилларс
9. Нуммела, Эрик (1980), «Теорема Кэли для топологических групп», American Mathematical Monthly , 87 (3), Математическая ассоциация Америки: 202–203, doi :10.2307/2321608, JSTOR  2321608
10. Кэли, Артур (1854), «О теории групп как зависящих от символического уравнения θn=1», Philosophical Magazine , 7 (42): 40–47
11. фон Дейк, Вальтер (1882), «Gruppentheoretische Studien» [Теоретико-групповые исследования], Mathematische Annalen , 20 (1): 30, doi : 10.1007/BF01443322, hdl : 2027/njp.32101075301422 , ISSN  0025-5831, S2CID  179178038. (на немецком)
12. Бернсайд, Уильям (1897), Теория групп конечного порядка (1-е изд.), Кембридж, стр. 22{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
13. Якобсон (2009, стр. 31)

Ссылки

• Якобсон, Натан (2009), Основы алгебры (2-е изд.), Довер, ISBN 978-0-486-47189-1.