В математике , и в частности в теории представлений групп , регулярное представление группы G — это линейное представление, получаемое при действии группы G на себя посредством трансляции .
Различают левое регулярное представление λ, задаваемое левым переносом, и правое регулярное представление ρ, задаваемое обратным правым переносом.
Для конечной группы G левое регулярное представление λ (над полем K ) является линейным представлением на K -векторном пространстве V , свободно порожденным элементами G , т.е. элементы G могут быть отождествлены с базисом V . При g ∈ G , λ g является линейным отображением , определяемым его действием на базис левым сдвигом на g , т.е.
Для правильного регулярного представления ρ инверсия должна произойти, чтобы удовлетворить аксиомам представления. В частности, при g ∈ G , ρ g является линейным отображением на V , определяемым его действием на основе правого переноса на g −1 , т.е.
Альтернативно, эти представления могут быть определены на K -векторном пространстве W всех функций G → K. Именно в этой форме регулярное представление обобщается на топологические группы, такие как группы Ли .
Конкретное определение в терминах W выглядит следующим образом. Дана функция f : G → K и элемент g ∈ G ,
и
Каждая группа G действует на себя посредством трансляций. Если мы рассмотрим это действие как представление перестановки, то оно характеризуется как имеющее одну орбиту и стабилизатор единичной подгруппы { e } группы G. Регулярное представление группы G для заданного поля K — это линейное представление, полученное путем взятия этого представления перестановки как набора базисных векторов векторного пространства над K. Значение состоит в том, что хотя представление перестановки не разлагается — оно транзитивно — регулярное представление в общем случае распадается на меньшие представления. Например, если G — конечная группа, а K — поле комплексных чисел , регулярное представление разлагается как прямая сумма неприводимых представлений , причем каждое неприводимое представление появляется в разложении с кратностью своей размерности . Число этих неприводимых равно числу классов сопряженности группы G.
Вышеуказанный факт можно объяснить с помощью теории характеров . Напомним, что характер регулярного представления χ (g) — это число неподвижных точек g, действующих на регулярное представление V . Это означает, что число неподвижных точек χ (g) равно нулю, когда g не является id и | G | в противном случае. Пусть V имеет разложение ⊕ a i V i , где V i — неприводимые представления G , а a i — соответствующие кратности. Согласно теории характеров , кратность a i можно вычислить как
что означает, что множественность каждого неприводимого представления является его размерностью.
В статье о групповых кольцах описывается регулярное представление конечных групп , а также показывается, как регулярное представление можно рассматривать как модуль .
Чтобы представить конструкцию более абстрактно, групповое кольцо K [ G ] рассматривается как модуль над собой. (Здесь есть выбор левого действия или правого действия, но это не имеет значения, за исключением обозначений.) Если G конечно и характеристика K не делит | G |, это полупростое кольцо , и мы рассматриваем его левые (правые) кольцевые идеалы . Эта теория была изучена очень глубоко. Известно, в частности, что разложение в прямую сумму регулярного представления содержит представителя каждого класса изоморфизма неприводимых линейных представлений G над K . Можно сказать, что регулярное представление является всеобъемлющим для теории представлений в этом случае. Модульный случай, когда характеристика K делит | G |, сложнее в основном потому, что с K [ G ] не полупростым представление может не быть неприводимым без расщепления в прямую сумму.
Для циклической группы C, порожденной g порядка n , матричная форма элемента K [ C ], действующего на K [ C ] путем умножения, принимает характерную форму, известную как циркулянтная матрица , в которой каждая строка является сдвигом вправо предыдущей (в циклическом порядке , т.е. с самым правым элементом, появляющимся слева), применительно к естественному базису.
Когда поле K содержит примитивный корень n-й степени из единицы , можно диагонализовать представление C , записав n линейно независимых одновременных собственных векторов для всех n × n циркулянтов. Фактически, если ζ является любым корнем n -й степени из единицы, элемент
является собственным вектором для действия g путем умножения, с собственным значением
а также собственный вектор всех степеней g и их линейных комбинаций.
Это явная форма в данном случае абстрактного результата, что над алгебраически замкнутым полем K (таким как комплексные числа ) регулярное представление G полностью приводимо , при условии, что характеристика K (если это простое число p ) не делит порядок G. Это называется теоремой Машке . В этом случае условие на характеристику подразумевается существованием примитивного корня n- й степени из единицы, чего не может быть в случае простой характеристики p, делящей n .
Циркулянтные определители впервые были обнаружены в математике девятнадцатого века, и было нарисовано следствие их диагонализации. А именно, определитель циркулянта является произведением n собственных значений для n собственных векторов, описанных выше. Основная работа Фробениуса по представлениям групп началась с мотивации нахождения аналогичных факторизаций определителей групп для любого конечного G ; то есть, определителей произвольных матриц, представляющих элементы K [ G ], действующих путем умножения на базисные элементы, заданные g в G . Если G не является абелевой , факторизация должна содержать нелинейные множители, соответствующие неприводимым представлениям G степени > 1.
Для топологической группы G регулярное представление в указанном выше смысле следует заменить подходящим пространством функций на G , где G действует посредством переноса. См. теорему Петера–Вейля для компактного случая. Если G — группа Ли, но не компактная и не абелева , это сложная задача гармонического анализа . Локально компактный абелев случай является частью теории двойственности Понтрягина .
В теории Галуа показано, что для поля L и конечной группы G автоморфизмов L фиксированное поле K из G имеет [ L : K ] = | G |. Фактически мы можем сказать больше: L , рассматриваемое как K [ G ]-модуль, является регулярным представлением. Это содержание теоремы о нормальном базисе , нормальный базис является элементом x из L таким, что g ( x ) для g в G являются базисом векторного пространства для L над K . Такие x существуют , и каждый из них дает K [ G ]-изоморфизм из L в K [ G ]. С точки зрения алгебраической теории чисел представляет интерес изучение нормальных целочисленных базисов , где мы пытаемся заменить L и K кольцами алгебраических целых чисел, которые они содержат. Уже в случае гауссовых целых чисел можно увидеть , что такие базы могут не существовать: a + bi и a − bi никогда не могут образовать Z -модульный базис Z [ i ], поскольку 1 не может быть целочисленной комбинацией. Причины этого подробно изучаются в теории модулей Галуа .
Регулярное представление группового кольца таково, что левое и правое регулярные представления дают изоморфные модули (и нам часто не нужно различать эти случаи). Если задана алгебра над полем A , не имеет смысла сразу спрашивать о связи между A как левым модулем над собой и как правым модулем. В групповом случае отображение на базисные элементы g из K [ G ], определенное путем взятия обратного элемента, дает изоморфизм K [ G ] на его противоположное кольцо. Для A в общем случае такая структура называется алгеброй Фробениуса . Как следует из названия, они были введены Фробениусом в девятнадцатом веке. Было показано, что они связаны с топологической квантовой теорией поля в 1 + 1 измерениях с помощью частного случая гипотезы кобордизма .
