G2 (математика)

Простая группа Ли; группа автоморфизмов октонионов

В математике G ₂ — это три простые группы Ли (комплексная форма, компактная вещественная форма и расщепляемая вещественная форма), их алгебры Ли , а также некоторые алгебраические группы . Они являются наименьшими из пяти исключительных простых групп Ли . G ₂ имеет ранг 2 и размерность 14. У нее есть два фундаментальных представления с размерностью 7 и 14. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{2},}$

Компактную форму G2 _можно описать как группу автоморфизмов алгебры октонионов или , что эквивалентно, как подгруппу SO(7), которая сохраняет любой выбранный конкретный вектор в его 8-мерном действительном спинорном представлении ( спиновое представление ).

История

Алгебра Ли , будучи наименьшей исключительной простой алгеброй Ли, была первой из них, которая была открыта в попытке классифицировать простые алгебры Ли. 23 мая 1887 года Вильгельм Киллинг написал письмо Фридриху Энгелю , в котором сообщил, что он нашел 14-мерную простую алгебру Ли, которую мы теперь называем . ^[1] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{2}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{2}}$

В 1893 году Эли Картан опубликовал заметку, описывающую открытое множество в , снабженное 2-мерным распределением — то есть плавно меняющимся полем 2-мерных подпространств касательного пространства — для которого алгебра Ли появляется как бесконечно малые симметрии. ^[2] В том же году, в том же журнале, Энгель заметил то же самое. Позже было обнаружено, что 2-мерное распределение тесно связано с шаром, катящимся по другому шару. Пространство конфигураций катящегося шара является 5-мерным, с 2-мерным распределением, которое описывает движения шара, когда он катится без скольжения или скручивания. ^{[3] [4]} ${\displaystyle \mathbb {C} ^{5}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{2}}$

В 1900 году Энгель открыл, что общая антисимметричная трилинейная форма (или 3-форма) на 7-мерном комплексном векторном пространстве сохраняется группой, изоморфной комплексной форме G ₂ . ^[5]

В 1908 году Картан упомянул, что группа автоморфизмов октонионов является 14-мерной простой группой Ли. ^[6] В 1914 году он заявил, что это компактная вещественная форма G ₂ . ^[7]

В старых книгах и статьях G ₂ иногда обозначается как E ₂ .

Реальные формы

С этой корневой системой связаны 3 простые действительные алгебры Ли:

• Базовая действительная алгебра Ли комплексной алгебры Ли G ₂ имеет размерность 28. Она имеет комплексное сопряжение как внешний автоморфизм и является односвязной. Максимальная компактная подгруппа ее ассоциированной группы является компактной формой G ₂ .
• Алгебра Ли компактной формы является 14-мерной. Ассоциированная группа Ли не имеет внешних автоморфизмов, центра, односвязна и компактна.
• Алгебра Ли некомпактной (расщепляемой) формы имеет размерность 14. Ассоциированная простая группа Ли имеет фундаментальную группу порядка 2, а ее внешняя группа автоморфизмов является тривиальной группой. Ее максимальная компактная подгруппа — SU(2) × SU(2)/(−1,−1) . Она имеет неалгебраическое двойное покрытие, которое односвязно.

Алгебра

Диаграмма Дынкина и матрица Картана

Диаграмма Дынкина для G ₂ имеет вид .

Его матрица Картана имеет вид:

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rr}2&-3\\-1&2\end{array}}\right]}$

Корни G2

Набор простых корней дляможно прочитать непосредственно из матрицы Картана выше. Это (2,−3) и (−1, 2), однако целочисленная решетка, охватываемая ими, не та, что изображена выше (по очевидной причине: гексагональная решетка на плоскости не может быть создана целочисленными векторами). Диаграмма выше получена из другой пары корней: и . ${\displaystyle \alpha =\left(1,0\right)}$ ${\textstyle \beta ={\sqrt {3}}\left(\cos {\frac {5\pi }{6}},\sin {\frac {5\pi }{6}}\right)={\frac {1}{2}}\left(-3,{\sqrt {3}}\right)}$

Остальные (положительные) корни равны . ${\textstyle A=\alpha +\beta ,\,B=3\alpha +\beta ,\,\alpha +A=2\alpha +\beta \,\,{\rm {and}}\,\,\beta +B=3\alpha +2\beta }$

Хотя они охватывают 2-мерное пространство, как показано на рисунке, гораздо более симметрично рассматривать их как векторы в 2-мерном подпространстве трехмерного пространства. В этой идентификации α соответствует e₁−e₂, β соответствует −e₁ + 2e₂−e₃, A соответствует e₂−e₃ и так далее. В евклидовых координатах эти векторы выглядят следующим образом:

Соответствующий набор простых корней :

e₁−e₂ = (1,−1,0), и −e₁+2e₂−e₃ = (−1,2,−1)

Примечание: α и A вместе образуют корневую систему, идентичную A₂ , тогда как система, образованная β и B , изоморфна A₂ .

Группа Вейля/Коксетера

Ее группа Вейля / Коксетера является диэдральной группой порядка 12. Она имеет минимальную точную степень . ${\displaystyle G=W(G_{2})}$ ${\displaystyle D_{6}}$ ${\displaystyle \mu (G)=5}$

Специальная голономия

G ₂ — одна из возможных специальных групп, которая может выступать в качестве группы голономии римановой метрики . Многообразия голономии G ₂ также называются G ₂ -многообразиями .

Полиномиальный инвариант

G ₂ — группа автоморфизмов следующих двух многочленов от 7 некоммутативных переменных.

${\displaystyle C_{1}=t^{2}+u^{2}+v^{2}+w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

${\displaystyle C_{2}=tuv+wtx+ywu+zyt+vzw+xvy+uxz}$(± перестановки)

что происходит из алгебры октонионов. Переменные должны быть некоммутативными, иначе второй многочлен будет тождественно равен нулю.

Генераторы

Добавление представления 14 генераторов с коэффициентами A , ...,  N дает матрицу:

${\displaystyle A\lambda _{1}+\cdots +N\lambda _{14}={\begin{bmatrix}0&C&-B&E&-D&-G&F-M\\-C&0&A&F&-G+N&D-K&-E-L\\B&-A&0&-N&M&L&-K\\-E&-F&N&0&-A+H&-B+I&C-J\\D&G-N&-M&A-H&0&J&I\\G&K-D&-L&B-I&-J&0&-H\\-F+M&E+L&K&-C+J&-I&H&0\end{bmatrix}}}$

Это в точности алгебра Ли группы

${\displaystyle G_{2}=\{g\in \mathrm {SO} (7):g^{*}\varphi =\varphi ,\varphi =\omega ^{123}+\omega ^{145}+\omega ^{167}+\omega ^{246}-\omega ^{257}-\omega ^{347}-\omega ^{356}\}}$

Существует 480 различных представлений , соответствующих 480 представлениям октонионов. Калиброванная форма имеет 30 различных форм, и каждая имеет 16 различных знаковых вариаций. Каждая из знаковых вариаций порождает знаковые разности , и каждая является автоморфизмом всех 16 соответствующих октонионов. Следовательно, на самом деле существует только 30 различных представлений . Все они могут быть построены с помощью алгебры Клиффорда ^[8] с использованием обратимой формы для октонионов. Для других знаковых вариаций эта форма имеет остатки, которые классифицируют 6 других неассоциативных алгебр, которые показывают частичную симметрию. Аналогичная калибровка в приводит к седенионам и по крайней мере 11 другим связанным алгебрам. ${\displaystyle G_{2}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle G_{2}}$ ${\displaystyle G_{2}}$ ${\displaystyle 3e_{1234567}\pm \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle G_{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {Spin} (15)}$

Представления

Вложения максимальных подгрупп группы G2 _до размерности 77 с соответствующей матрицей проекции.

Характеры конечномерных представлений действительных и комплексных алгебр Ли и групп Ли задаются формулой Вейля для характеров . Размерности наименьших неприводимых представлений следующие (последовательность A104599 в OEIS ):

1, 7, 14, 27, 64, 77 (дважды), 182, 189, 273, 286, 378, 448, 714, 729, 748, 896, 924, 1254, 1547, 1728, 1729, 2079 (дважды), 2261, 2926, 3003, 3289, 3542, 4096, 4914, 4928 (дважды), 5005, 5103, 6630, 7293, 7371, 7722, 8372, 9177, 9660, 10206, 10556, 11571, 11648, 12096, 13090....

14-мерное представление является присоединенным представлением , а 7-мерное — действием G2 _на мнимые октонионы.

Существуют два неизоморфных неприводимых представления размерностей 77, 2079, 4928, 30107 и т. д. Основными представлениями являются представления с размерностями 14 и 7 (соответствующие двум узлам на диаграмме Дынкина в таком порядке, что тройная стрелка указывает от первого ко второму).

Воган (1994) описал (бесконечномерные) унитарные неприводимые представления расщепленной действительной формы G ₂ .

Справа показаны вложения максимальных подгрупп группы G2 _{до размерности 77.}

Конечные группы

Группа G ₂ ( q ) является точками алгебраической группы G ₂ над конечным полем F _q . Эти конечные группы были впервые введены Леонардом Юджином Диксоном в Dickson (1901) для нечетных q и Dickson (1905) для четных q . Порядок G ₂ ( q ) равен q ⁶ ( q ⁶ − 1)( q ² − 1) . Когда q ≠ 2 , группа проста , а когда q = 2 , она имеет простую подгруппу индекса 2 , изоморфную ² A ₂ (3 ² ), и является группой автоморфизмов максимального порядка октонионов. Группа Янко J 1 была впервые построена как подгруппа G ₂ (11). Ри (1960) ввел скрученные группы Ри ² G ₂ ( q ) порядка q ³ ( q ³ + 1)( q − 1) для q = 3 ^{2 n +1} , нечетной степени числа 3.

Смотрите также

• матрица Картана
• Диаграмма Дынкина
• Исключительная йорданова алгебра
• Фундаментальное представление
• G ₂ -структура
• Группа Ли
• Семимерное векторное произведение
• Простая группа Ли
• Звезда Давида

Ссылки

1. Агрикола, Илка (2008). «Старое и новое об исключительной группе G2» (PDF) . Notices of the American Mathematical Society . 55 (8): 922–929. MR  2441524.
2. Эли Картан (1893). «Сюр-ла-структура простых групп, конечных и непрерывных». ЧР акад. Наука . 116 : 784–786.
3. Гил Бор и Ричард Монтгомери (2009). "G ₂ и "скользящее распределение"". L'Enseignement Mathématique . 55 : 157–196. arXiv : math/0612469 . doi : 10.4171/lem/55-1-8. S2CID  119679882.
4. Джон Баез и Джон Уэрта (2014). «G ₂ и катящийся шар». Trans. Amer. Math. Soc . 366 (10): 5257–5293. arXiv : 1205.2447 . doi :10.1090/s0002-9947-2014-05977-1.
5. Фридрих Энгель (1900). «Ein neues, dem Linearen Komplexe Analoges Gebilde». Лейпц. Бер . 52 : 63–76, 220–239.
6. Эли Картан (1908). «Комплексы Номбрес». Энциклопедия математических наук . Париж: Готье-Виллар. стр. 329–468.
7. Эли Картан (1914), «Les groupes reels simples finis et continus», Ann. наук. Эколь Норм. Как дела. , 31 : 255–262
8. Уилмот, ГП (2023), Построение G2 с использованием алгебры Клиффорда

• Адамс, Дж. Фрэнк (1996), Лекции по исключительным группам Ли, Чикагские лекции по математике, Издательство Чикагского университета , ISBN 978-0-226-00526-3, г-н  1428422
• Баез, Джон (2002), «Октонионы», Bull. Amer. Math. Soc. , 39 (2): 145–205, arXiv : math/0105155 , doi :10.1090/S0273-0979-01-00934-X, S2CID  586512.

См. раздел 4.1: G ₂ ; онлайн-версия HTML доступна по адресу http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node14.html.

• Брайант, Роберт (1987), «Метрики с исключительной голономией», Annals of Mathematics , 2, 126 (3): 525–576, doi :10.2307/1971360, JSTOR  1971360
• Диксон, Леонард Юджин (1901), «Теория линейных групп в произвольном поле», Transactions of the American Mathematical Society , 2 (4), Providence, RI: American Mathematical Society : 363–394, doi : 10.1090/S0002-9947-1901-1500573-3 , ISSN  0002-9947, JSTOR  1986251, Перепечатано во II томе его сборника статейЛеонард Э. Диксон сообщил о группах типа G ₂ в полях с нечетными характеристиками.
• Диксон, Л. Э. (1905), «Новая система простых групп», Math. Ann. , 60 : 137–150, doi : 10.1007/BF01447497, S2CID  179178145Леонард Э. Диксон сообщил о группах типа G ₂ в полях с четными характеристиками.
• Ри, Римхак (1960), «Семейство простых групп, связанных с простой алгеброй Ли типа (G ₂ )», Бюллетень Американского математического общества , 66 (6): 508–510, doi : 10.1090/S0002-9904-1960-10523-X , ISSN  0002-9904, MR  0125155
• Воган, Дэвид А. младший (1994), «Унитарная двойственность G ₂ », Inventiones Mathematicae , 116 (1): 677–791, Bibcode : 1994InMat.116..677V, doi : 10.1007/BF01231578, ISSN  0020-9910, MR  1253210, S2CID  120845135