Группа автоморфизмов

Математическая группа, образованная из автоморфизмов объекта.

В математике группа автоморфизмов объекта X — это группа , состоящая из автоморфизмов X относительно композиции морфизмов . Например, если X — конечномерное векторное пространство , то группа автоморфизмов X — это группа обратимых линейных преобразований из X в себя ( общая линейная группа X ) . Если вместо этого X является группой, то ее группой автоморфизмов является группа, состоящая из всех групповых автоморфизмов X . ${\displaystyle \operatorname {Aut} (X)}$

Группа автоморфизмов, особенно в геометрическом контексте, также называется группой симметрии . Подгруппу группы автоморфизмов иногда называют группой преобразований .

Группы автоморфизмов в общем изучаются в области теории категорий .

Примеры

Если X — множество без дополнительной структуры, то любая биекция X в себя является автоморфизмом, и, следовательно, группа автоморфизмов X в этом случае является в точности симметрической группой X. Если множество X имеет дополнительную структуру, то может случиться так, что не все биекции на множестве сохраняют эту структуру, и в этом случае группа автоморфизмов будет подгруппой симметрической группы на X . Некоторые примеры этого включают следующее:

• Группа автоморфизмов расширения поля — это группа, состоящая из полевых автоморфизмов L , которые фиксируют K . Если расширение поля есть Галуа , группа автоморфизмов называется группой Галуа расширения поля. ${\displaystyle L/K}$
• Группой автоморфизмов проективного n -пространства над полем k является проективная линейная группа ^[1] ${\displaystyle \operatorname {PGL} _{n}(k).}$
• Группа автоморфизмов конечной циклической группы порядка n изоморфна мультипликативной группе целых чисел по модулю n с изоморфизмом, заданным . ^[2] В частности, является абелевой группой . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle {\overline {a}}\mapsto \sigma _{a}\in G,\,\sigma _{a}(x)=x^{a}}$ ${\displaystyle G}$
• Группа автоморфизмов конечномерной вещественной алгебры Ли имеет структуру (вещественной) группы Ли (фактически это даже линейная алгебраическая группа : см. ниже). Если G — группа Ли с алгеброй Ли , то группа автоморфизмов группы G имеет структуру группы Ли, индуцированной из группы автоморфизмов группы Ли . ^{[3] [4] [а]} ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Если G — группа, действующая на множестве X , действие сводится к групповому гомоморфизму из G в группу автоморфизмов X и наоборот. Действительно, каждое левое G -действие на множестве X определяет , и, наоборот, каждый гомоморфизм определяет действие . Это распространяется на случай, когда набор X имеет больше структуры, чем просто набор. Например, если X — векторное пространство, то групповое действие G на X — это групповое представление группы G , представляющее G как группу линейных преобразований (автоморфизмов) X ; эти представления являются основным объектом изучения в области теории представлений . ${\displaystyle G\to \operatorname {Aut} (X),\,g\mapsto \sigma _{g},\,\sigma _{g}(x)=g\cdot x}$ ${\displaystyle \varphi :G\to \operatorname {Aut} (X)}$ ${\displaystyle g\cdot x=\varphi (g)x}$

Вот некоторые другие факты о группах автоморфизмов:

• Пусть – два конечных множества одинаковой мощности и множество всех биекций . Тогда , являющаяся симметрической группой (см. выше), действует слева свободно и транзитивно ; то есть является торсором для (ср. #В теории категорий). ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$ ${\displaystyle A\mathrel {\overset {\sim }{\to }} B}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}$ ${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$ ${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}$
• Пусть P — конечно порожденный проективный модуль над кольцом R. Тогда существует вложение , единственное с точностью до внутренних автоморфизмов . ^[5] ${\displaystyle \operatorname {Aut} (P)\hookrightarrow \operatorname {GL} _{n}(R)}$

В теории категорий

Группы автоморфизмов очень естественно появляются в теории категорий .

Если X — объект в категории, то группа автоморфизмов X — это группа, состоящая из всех обратимых морфизмов из X в себя. Это единичная группа моноида эндоморфизмов X . (Некоторые примеры см. в PROP .)

Если объекты относятся к какой-то категории, то множество всех представляет собой левый торсор . На практике это говорит о том, что другой выбор базовой точки однозначно отличается на элемент или что каждый выбор базовой точки есть в точности выбор тривиализации торсора. ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$ ${\displaystyle A\mathrel {\overset {\sim }{\to }} B}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}$ ${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}$

Если и - объекты в категориях и , и если - функтор , отображающий на , то индуцирует групповой гомоморфизм , поскольку он отображает обратимые морфизмы в обратимые морфизмы. ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle F:C_{1}\to C_{2}}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (X_{1})\to \operatorname {Aut} (X_{2})}$

В частности, если G — группа, рассматриваемая как категория с единственным объектом * или, в более общем плане, если G — группоид, то каждый функтор C — категория , называется действием или представлением G на объекте , или объекты . Эти объекты тогда называются -объектами (поскольку на них воздействует ); ср. -объект . Если - категория модулей, подобная категории конечномерных векторных пространств, то -объекты также называются -модулями. ${\displaystyle F:G\to C}$ ${\displaystyle F(*)}$ ${\displaystyle F(\operatorname {Obj} (G))}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Функтор группы автоморфизмов

Пусть — конечномерное векторное пространство над полем k , наделенное некоторой алгебраической структурой (т. е. M — конечномерная алгебра над k ). Это может быть, например, ассоциативная алгебра или алгебра Ли . ${\displaystyle M}$

Теперь рассмотрим k - линейные карты , сохраняющие алгебраическую структуру: они образуют векторное подпространство в . Единичная группа — это группа автоморфизмов . При выборе базиса на M - пространство квадратных матриц и - нулевое множество некоторых полиномиальных уравнений , а обратимость снова описывается полиномами. Следовательно, — линейная алгебраическая группа над k . ${\displaystyle M\to M}$ ${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M)}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (M)}$ ${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M)}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (M)}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (M)}$ ${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M)}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (M)}$

Теперь расширения базы, примененные к приведенному выше обсуждению, определяют функтор: ^[6], а именно, для каждого коммутативного кольца R над k рассмотрим R -линейные отображения , сохраняющие алгебраическую структуру: обозначим его через . Тогда единичная группа кольца матриц над R является группой автоморфизмов и является групповым функтором : функтором из категории коммутативных колец над k в категорию групп . Еще лучше, она изображается схемой (поскольку группы автоморфизмов определяются полиномами): эта схема называется схемой группы автоморфизмов и обозначается . ${\displaystyle M\otimes R\to M\otimes R}$ ${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M\otimes R)}$ ${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M\otimes R)}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (M\otimes R)}$ ${\displaystyle R\mapsto \operatorname {Aut} (M\otimes R)}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (M)}$

Однако в общем случае функтор группы автоморфизмов не может быть представлен схемой.

Смотрите также

• Группа внешних автоморфизмов
• Структура уровней , метод удаления группы автоморфизмов.
• Группа голономии

Примечания

1. Во-первых, если G односвязен, группа автоморфизмов G — это группа . Во-вторых, каждая связная группа Ли имеет вид где — односвязная группа Ли, а C — центральная подгруппа, а группа автоморфизмов группы G — это группа автоморфизмов , сохраняющая C. В-третьих, по соглашению группа Ли является второй счетной и имеет не более счетного числа связных компонент; таким образом, общий случай сводится к связному случаю. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\widetilde {G}}/C}$ ${\displaystyle {\widetilde {G}}}$ ${\displaystyle G}$

Цитаты

1. Хартсхорн 1977, гл. II, Пример 7.1.1.
2. Даммит и Фут 2004, § 2.3. Упражнение 26.
3. Хохшильд, Г. (1952). «Группа автоморфизмов группы Ли». Труды Американского математического общества . 72 (2): 209–216. JSTOR  1990752.
4. Фултон и Харрис 1991, Упражнение 8.28.
5. Милнор 1971, Лемма 3.2.
6. Уотерхаус 2012, § 7.6.

Рекомендации

• Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Уайли . ISBN 978-0-471-43334-7.
• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для аспирантов по математике , Чтения по математике. Том. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. МР  1153249. OCLC  246650103.
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-90244-9, МР  0463157
• Милнор, Джон Уиллард (1971). Введение в алгебраическую K-теорию. Анналы математических исследований. Том. 72. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . ISBN 9780691081014. МР  0349811. Збл  0237.18005.
• Уотерхаус, Уильям К. (2012) [1979]. Введение в схемы аффинных групп. Тексты для аспирантов по математике. Том. 66. Шпрингер Верлаг. ISBN 9781461262176.

Внешние ссылки

• https://mathoverflow.net/questions/55042/automorphism-group-of-a-scheme