Решетка пиявки

24-мерный повторяющийся узор из точек

В математике решетка Лича — это четная унимодулярная решетка Λ ₂₄ в 24-мерном евклидовом пространстве , которая является одной из лучших моделей для задачи о поцелуях . Она была открыта Джоном Личем  (1967). Она также могла быть открыта (но не опубликована) Эрнстом Виттом в 1940 году.

Характеристика

Решетка Лича Λ ₂₄ является единственной решеткой в ​​24-мерном евклидовом пространстве E 24 ^со следующим списком свойств:

• Она унимодулярна , т.е. может быть сгенерирована столбцами некоторой матрицы 24×24 с определителем  1.
• Он четный, т. е. квадрат длины каждого вектора в Λ ₂₄ является четным целым числом.
• Длина каждого ненулевого вектора в Λ ₂₄ не менее 2.

Последнее условие эквивалентно условию, что единичные шары с центрами в точках Λ ₂₄ не перекрываются. Каждый касается 196 560 соседей, и известно, что это наибольшее число неперекрывающихся 24-мерных единичных шаров, которые могут одновременно касаться одного единичного шара . Такое расположение 196 560 единичных шаров с центрами вокруг другого единичного шара настолько эффективно, что нет места для перемещения любого из шаров; эта конфигурация вместе со своим зеркальным отражением является единственным 24-мерным расположением, где 196 560 единичных шаров одновременно касаются другого. Это свойство также верно в 1, 2 и 8 измерениях с 2, 6 и 240 единичными шарами соответственно, основанными на целочисленной решетке , гексагональной мозаике и решетке E 8 соответственно.

Она не имеет корневой системы и фактически является первой унимодулярной решеткой без корней (векторы нормы меньше 4), и поэтому имеет плотность центра 1. Умножая это значение на объем единичного шара в 24 измерениях, можно вывести его абсолютную плотность. ${\displaystyle {\tfrac {\pi ^{12}}{12!}}}$

Конвей (1983) показал, что решетка Лича изометрична множеству простых корней (или диаграмме Дынкина ) группы отражений 26-мерной четной лоренцевой унимодулярной решетки II _25,1 . Для сравнения, диаграммы Дынкина II _9,1 и II _17,1 конечны.

Приложения

Двоичный код Голея , независимо разработанный в 1949 году, является приложением в теории кодирования . Более конкретно, это код с исправлением ошибок, способный исправлять до трех ошибок в каждом 24-битном слове и обнаруживать до четырех. Он использовался для связи с зондами Voyager , поскольку он намного компактнее, чем ранее используемый код Адамара .

Квантизаторы , или аналого-цифровые преобразователи , могут использовать решетки для минимизации средней среднеквадратической ошибки. Большинство квантизаторов основаны на одномерной целочисленной решетке , но использование многомерных решеток уменьшает среднеквадратичную ошибку. Решетка Лича является хорошим решением этой проблемы, поскольку ячейки Вороного имеют низкий второй момент .

Вершинная алгебра двумерной конформной теории поля , описывающая теорию бозонных струн , компактифицированная на 24-мерном фактор -торе R ²⁴ /Λ ₂₄ и орбифолдированная двухэлементной группой отражений, дает явное построение алгебры Грисса , которая имеет группу-монстр в качестве своей группы автоморфизмов. Эта вертексная алгебра-монстр также использовалась для доказательства чудовищных гипотез лунного света .

Конструкции

Решетка Лича может быть построена различными способами. Как и все решетки, она может быть построена путем взятия целочисленного диапазона столбцов ее матрицы-генератора , матрицы 24×24 с определителем 1.

Матрица генератора пиявки

Генератор 24x24 (в строках) для решетки Лича задается следующей матрицей, деленной на : ${\displaystyle {\sqrt {8}}}$

8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 2 0 0 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 2 2 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 2 2 0 0 2 0 2 0 2 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0-3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

^[1]

Использование двоичного кода Голея

Решетка Лича может быть явно построена как набор векторов вида 2 ^−3/2 ( a ₁ , a ₂ , ..., a ₂₄ ), где a _i — целые числа, такие что

${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{24}\equiv 4a_{1}\equiv 4a_{2}\equiv \cdots \equiv 4a_{24}{\pmod {8}}}$

и для каждого фиксированного класса остатков по модулю 4, 24-битное слово, чьи 1 соответствуют координатам i таким образом, что a _i принадлежит этому классу остатков, является словом в двоичном коде Голея . Код Голея вместе с соответствующей конструкцией Витта фигурирует в конструкции для 196560 минимальных векторов в решетке Лича.

Решетка Лича (L mod 8) может быть непосредственно построена путем объединения трех следующих наборов:

${\displaystyle L~=~~(4B+C)\otimes {1_{2^{12}}}~~+~~~{1_{2^{24}}}\otimes 2G~~~}$, ( — вектор единиц размера n), ${\displaystyle {1_{n}}}$

• G - 24-битный код Голея
• B - Двоичная целочисленная последовательность
• C - Последовательность Туэ-Морса или сумма четности целых битов (которая придает хиральность решетке)

24 - битный код Голея [ 2 ^ 12 кодов ] 24 - битное целое число [ 2 ^ 24 кода ] Решетка четности Лича [ 2 ^ 36 кодов ] G = B = C = L = ( 4 B + C ) ⊕ 2 G 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 0 000000000 00000000 00000000 1111111 00000000 00000000 10000000 00000000 00000000 1 22222222 00000000 00000000 11110000 11110000 00000000 01000000 00000000 00000000 1 22220000 22220000 00000000 00001111 11110000 00000000 11000000 00000000 00000000 0 ... 11001100 11001100 00000000 00100000 00000000 00000000 1 51111111 11111111 11111111 00110011 11001100 00000000 10100000 00000000 00000000 0 73333333 11111111 11111111 00111100 00111100 00000000 01100000 00000000 00000000 0 ... 11000011 00111100 00000000 11100000 00000000 00000000 1 15111111 11111111 11111111 10101010 10101010 00000000 00010000 00000000 00000000 1 37333333 11111111 11111111 01010101 10101010 00000000 10010000 00000000 00000000 0 ... 01011010 01011010 00000000 01010000 00000000 00000000 0 44000000 00000000 00000000 10100101 01011010 00000000 11010000 00000000 00000000 1 66222222 00000000 00000000                                                                                                                             ... ... ... ... 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 0 66666666 66666666 66666666            

Использование решетки Лоренца II25,1

Решетку Лича можно также построить следующим образом, где w — вектор Вейля: ${\displaystyle w^{\perp }/w}$

${\displaystyle (0,1,2,3,\dots ,22,23,24;70)}$

в 26-мерной четной лоренцевой унимодулярной решетке II _25,1 . Существование такого интегрального вектора с нулевой нормой Лоренца основано на том факте, что 1 ² + 2 ² + ... + 24 ² является полным квадратом (фактически 70 ² ); число 24 является единственным целым числом, большим 1, обладающим этим свойством (см. задачу о пушечном ядре ). Это предположение высказал Эдуард Люка , но доказательство пришло гораздо позже, на основе эллиптических функций .

Вектор в этой конструкции на самом деле является вектором Вейля четной подрешетки D ₂₄ нечетной унимодулярной решетки I ²⁵ . В более общем случае, если L — любая положительно определенная унимодулярная решетка размерности 25 с не менее чем 4 векторами нормы 1, то вектор Вейля ее корней нормы 2 имеет целую длину, и существует аналогичное построение решетки Лича с использованием L и этого вектора Вейля. ${\displaystyle (0,1,2,3,\dots ,22,23,24)}$

На основе других решеток

Конвей и Слоан (1982) описали еще 23 конструкции для решетки Лича, каждая из которых основана на решетке Нимейера . Ее также можно построить, используя три копии решетки E8 , таким же образом, как двоичный код Голея может быть построен с использованием трех копий расширенного кода Хэмминга , H ₈ . Эта конструкция известна как конструкция Тьюрина решетки Лича.

Как слоистая решетка

Начиная с одной точки, Λ ₀ , можно сложить копии решетки Λ _n , чтобы сформировать ( n  + 1)-мерную решетку, Λ _{n +1} , не уменьшая минимального расстояния между точками. Λ ₁ соответствует целочисленной решетке , Λ ₂ — гексагональной решетке , а Λ ₃ — гранецентрированной кубической упаковке. Конвей и Слоан (1982b) показали, что решетка Лича является уникальной слоистой решеткой в ​​24 измерениях.

Как сложная решетка

Решетка Лича также является 12-мерной решеткой над целыми числами Эйзенштейна . Она известна как комплексная решетка Лича и изоморфна 24-мерной действительной решетке Лича. В комплексной конструкции решетки Лича двоичный код Голея заменяется троичным кодом Голея , а группа Матье M ₂₄ заменяется группой Матье M _12. Решетка E ₆ , решетка E ₈ и решетка Коксетера–Тодда также имеют конструкции как комплексные решетки над целыми числами Эйзенштейна или Гаусса .

Использование икосианского кольца

Решётку Лича можно также построить с помощью кольца икосианов . Кольцо икосианов абстрактно изоморфно решётке E8 , три копии которой можно использовать для построения решётки Лича с помощью конструкции Тьюрина.

Конструкция Витта

В 1972 году Витт дал следующую конструкцию, которую, по его словам, он нашел в 1940 году, 28 января. Предположим, что H — это матрица Адамара размером n на n , где n =4 ab . Тогда матрица определяет билинейную форму в 2 n измерениях, ядро ​​которой имеет n измерений. Частное по этому ядру — это невырожденная билинейная форма, принимающая значения в (1/2) Z . Она имеет 3 подрешетки индекса 2, которые являются целочисленными билинейными формами. Витт получил решетку Лича как одну из этих трех подрешеток, взяв a = 2, b = 3 и взяв H в качестве матрицы 24 на 24 (индексированной как Z /23 Z ∪ ∞) с элементами Χ( m + n ), где Χ(∞)=1, Χ(0)=−1, Χ( n )=является квадратичным символом вычета по модулю 23 для ненулевого n . Эта матрица H является матрицей Пэли с некоторыми незначительными изменениями знака. ${\displaystyle {\begin{pmatrix}Ia&H/2\\H/2&Ib\end{pmatrix}}}$

Использование матрицы Пейли

Чепмен (2001) описал конструкцию с использованием косой матрицы Адамара типа Пейли . Решетка Нимейера с корневой системой может быть сделана в модуль для кольца целых чисел поля . Умножение этой решетки Нимейера на неглавный идеал кольца целых чисел дает решетку Лича. ${\displaystyle D_{24}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-23}})}$

Использование кодов остатков более высокой мощности

Раджи (2005) построил решетку Лича, используя коды остатков более высокой мощности над кольцом . Подобная конструкция используется для построения некоторых других решеток ранга 24. ${\displaystyle Z_{4}}$

Использование октонионов

Если L — множество октонионов с координатами на решетке , то решетка Лича — это множество триплетов, таких что ${\displaystyle E_{8}}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$

${\displaystyle x,y,z\in L}$

${\displaystyle x+y,y+z,x+z\in L{\bar {s}}}$

${\displaystyle x+y+z\in Ls}$

где . Эта конструкция обусловлена ​​(Wilson 2009). ${\displaystyle s={\frac {1}{2}}(-e_{1}+e_{2}+e_{3}+e_{4}+e_{5}+e_{6}+e_{7})}$

Симметрии

Решетка Лича высокосимметрична. Ее группа автоморфизмов — группа Конвея Co ₀ , имеющая порядок 8 315 553 613 086 720 000. Центр Co ₀ имеет два элемента, а фактор Co ₀ по этому центру — группа Конвея Co ₁ , конечная простая группа. Многие другие спорадические группы , такие как оставшиеся группы Конвея и группы Матье , могут быть построены как стабилизаторы различных конфигураций векторов в решетке Лича.

Несмотря на такую ​​высокую группу вращательной симметрии, решетка Лича не обладает никакими гиперплоскостями симметрии отражения. Другими словами, решетка Лича является хиральной . Она также имеет гораздо меньше симметрий, чем 24-мерный гиперкуб и симплекс, или даже декартово произведение трех копий решетки E8 .

Группа автоморфизмов была впервые описана Джоном Конвеем . 398034000 векторов нормы 8 распадаются на 8292375 «крестов» из 48 векторов. Каждый крест содержит 24 взаимно ортогональных вектора и их отрицательные значения и, таким образом, описывает вершины 24-мерного ортоплекса . Каждый из этих крестов можно принять за систему координат решетки, и он имеет ту же симметрию кода Голея , а именно 2 ¹² × |M ₂₄ |. Следовательно, полная группа автоморфизмов решетки Лича имеет порядок 8292375 × 4096 × 244823040, или 8 315 553 613 086 720 000.

Геометрия

Конвей, Паркер и Слоан (1982) показали, что радиус покрытия решетки Лича равен ; другими словами, если мы поместим замкнутый шар этого радиуса вокруг каждой точки решетки, то они просто покроют евклидово пространство. Точки на расстоянии не менее от всех точек решетки называются глубокими дырами решетки Лича. Существует 23 их орбиты под группой автоморфизмов решетки Лича, и эти орбиты соответствуют 23 решеткам Нимейера, отличным от решетки Лича: множество вершин глубокой дыры изометрично аффинной диаграмме Дынкина соответствующей решетки Нимейера. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Решетка Лича имеет плотность . Кон и Кумар (2009) показали, что она дает самую плотную решетчатую упаковку шаров в 24-мерном пространстве. Генри Кон, Абхинав Кумар и Стивен Д. Миллер и др. (2017) улучшили это, показав, что это самая плотная упаковка сфер, даже среди нерешетчатых упаковок. ${\displaystyle {\tfrac {\pi ^{12}}{12!}}\approx 0.001930}$

196560 минимальных векторов бывают трех различных видов, известных как формы :

• ${\displaystyle 1104={\binom {24}{2}}\cdot 2^{2}}$векторы формы (4 ² ,0 ²² ), для всех перестановок и выборов знаков;
• ${\displaystyle 97152=759\cdot 2^{8}\cdot {\frac {1}{2}}}$векторы формы (2 ⁸ ,0 ¹⁶ ), где «2» соответствуют октаде в коде Голея, а знаков «минус» может быть любое четное количество;
• ${\displaystyle 98304=2^{12}\cdot 24}$векторы формы (∓3,±1 ²³ ), где нижний знак используется для единиц любого кодового слова кода Голея, а «∓3» может появляться в любой позиции.

Троичный код Голея , двоичный код Голея и решетка Лича дают очень эффективные 24-мерные сферические коды из 729, 4096 и 196560 точек соответственно. Сферические коды являются многомерными аналогами проблемы Таммеса , которая возникла как попытка объяснить распределение пор на пыльцевых зернах. Они распределены так, чтобы максимизировать минимальный угол между ними. В двух измерениях задача тривиальна, но в трех измерениях и выше — нет. Примером сферического кода в трех измерениях является набор из 12 вершин правильного икосаэдра.

Тета-серия

Любой (положительно определенной) решетке Λ можно сопоставить тета-функцию, заданную формулой

${\displaystyle \Theta _{\Lambda }(\tau )=\sum _{x\in \Lambda }e^{i\pi \tau \|x\|^{2}}\qquad \operatorname {Im} \tau >0.}$

Тогда тета-функция решетки является голоморфной функцией на верхней полуплоскости . Более того, тета-функция четной унимодулярной решетки ранга n на самом деле является модулярной формой веса n /2 для полной модулярной группы PSL(2, Z ). Тета-функция целочисленной решетки часто записывается в виде степенного ряда по так, что коэффициент при q ⁿ дает число векторов решетки с квадратом нормы 2 n . В решетке Лича имеется 196560 векторов с квадратом нормы 4, 16773120 векторов с квадратом нормы 6, 398034000 векторов с квадратом нормы 8 и так далее. Тета-ряд решетки Лича равен ${\displaystyle q=e^{2i\pi \tau }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{\Lambda _{24}}(\tau )&=E_{12}(\tau )-{\frac {65520}{691}}\Delta (\tau )\\[5pt]&=1+\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {65520}{691}}\left(\sigma _{11}(m)-\tau (m)\right)q^{m}\\[5pt]&=1+196560q^{2}[phone]q^{3}[phone]q^{4}+\cdots ,\end{aligned}}}$

где — нормализованный ряд Эйзенштейна веса 12, — модульный дискриминант , — функция делителя для показателя 11, а — тау-функция Рамануджана . Отсюда следует, что для m ≥1 число векторов квадрата нормы 2 m равно ${\displaystyle E_{12}(\tau )}$ ${\displaystyle \Delta (\tau )}$ ${\displaystyle \sigma _{11}(n)}$ ${\displaystyle \tau (n)}$

${\displaystyle {\frac {65520}{691}}\left(\sigma _{11}(m)-\tau (m)\right).}$

История

Многие из сечений решетки Лича, включая решетку Коксетера–Тодда и решетку Барнса–Уолла , в 12 и 16 измерениях, были найдены гораздо раньше, чем решетка Лича. О'Коннор и Полл (1944) открыли родственную нечетную унимодулярную решетку в 24 измерениях, теперь называемую нечетной решеткой Лича , одним из двух четных соседей которой является решетка Лича. Решетка Лича была открыта в 1965 году Джоном Личем  (1967, 2.31, стр. 262) путем улучшения некоторых более ранних упаковок сфер, которые он нашел (Leech 1964).

Конвей  (1968) вычислил порядок группы автоморфизмов решетки Лича и, работая с Джоном Г. Томпсоном , открыл три новые спорадические группы как побочный продукт: группы Конвея , Co ₁ , Co ₂ , Co ₃ . Они также показали, что четыре другие (тогда) недавно объявленные спорадические группы, а именно, Хигман-Симс , Сузуки , Маклафлин и группа Янко J ₂ могут быть найдены внутри групп Конвея, используя геометрию решетки Лича. (Ронан, стр. 155)

Bei dem Veruch, eine Form aus einer solchen Klasse wirklich anzugeben, fand Ich mehr als 10 verschiedene Klassen in Γ ₂₄

Витт (1941, стр. 324)

Витт (1941, стр. 324) упоминает одно довольно загадочное предложение, в котором упоминается, что он нашел более 10 даже унимодулярных решеток в 24 измерениях, не приводя дополнительных подробностей. Витт (1998, стр. 328–329) заявил, что он нашел 9 из этих решеток ранее в 1938 году, и нашел еще две, решетку Нимейера с A²⁴
₁корневая система и решетка Лича (а также странная решетка Лича) в 1940 году.

Смотрите также

• Упаковка сфер
• Решетка E ₈

Ссылки

1. Конвей, Дж. Х .; Слоан, NJA (1999), Сферические упаковки, решетки и группы , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 290, При участии Баннаи Э.; Борчердс, RE; Лич, Дж.; Нортон, СП; Одлыжко А.М.; Паркер, РА; Королева, Л.; Венков, BB (Третье изд.), Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98585-5, MR  0662447, Zbl  0915.52003

• Чепмен, Робин (2001), «Конференц-матрицы и унимодулярные решетки», Европейский журнал комбинаторики , 22 (8): 1033–1045, arXiv : math.NT/0007116 , doi :10.1006/eujc.2001.0539, ISSN  0195-6698, MR  1861046, S2CID  744078, Zbl  0993.05036
• Раджи, Мехрдад Ахмадзаде (2005), «Высшие степенные остаточные коды и решетка Лича», Журнал алгебраической комбинаторики , 21 (1): 39–53, doi : 10.1007/s10801-005-6279-4 , ISSN  1572-9192, S2CID  120908420
• Кон, Генри; Кумар, Абхинав (2009), «Оптимальность и уникальность решетки Лича среди решеток», Annals of Mathematics , 170 (3): 1003–1050, arXiv : math.MG/0403263 , doi :10.4007/annals.2009.170.1003, ISSN  1939-8980, MR  2600869, S2CID  10696627, Zbl  1213.11144
• Кон, Генри; Кумар, Абхинав (2004), «Самая плотная решетка в двадцати четырех измерениях», Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society , 10 (7): 58–67, arXiv : math.MG/0408174 , Bibcode : 2004math......8174C, doi : 10.1090/S1079-6762-04-00130-1, ISSN  1079-6762, MR  2075897, S2CID  15874595
• Кон, Генри; Кумар, Абхинав; Миллер, Стивен Д.; Радченко, Данило; Вязовская, Марина (2017), «Проблема упаковки сфер в размерности 24», Annals of Mathematics , 185 (3): 1017–1033, arXiv : 1603.06518 , Bibcode : 2016arXiv160306518C, doi : 10.4007/annals.2017.185.3.8, S2CID  119281758
• Конвей, Джон Хортон (1968), «Совершенная группа порядка 8 315 553 613 086 720 000 и спорадические простые группы», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 61 (2): 398–400, Bibcode : 1968PNAS...61..398C, doi : 10.1073/pnas.61.2.398 , MR  0237634, PMC  225171 , PMID  16591697
• Конвей, Джон Хортон (1983), «Группа автоморфизмов 26-мерной четной унимодулярной лоренцевой решетки», Журнал алгебры , 80 (1): 159–163, doi : 10.1016/0021-8693(83)90025-X , ISSN  0021-8693, MR  0690711
• Конвей, Джон Хортон ; Слоан, NJA (1982b), «Слоистые решетки», Annals of Mathematics , вторая серия, 116 (3): 593–620, doi :10.2307/2007025, ISSN  0003-486X, JSTOR  2007025, MR  0678483
• Conway, John Horton ; Parker, RA; Sloane, NJA (1982), «Радиус покрытия решетки Лича», Труды Королевского общества A , 380 (1779): 261–290, Bibcode : 1982RSPSA.380..261C, doi : 10.1098/rspa.1982.0042, ISSN  0080-4630, MR  0660415, S2CID  202575323
• Conway, John Horton ; Sloane, NJA (1982), "Двадцать три конструкции для решетки Лича", Труды Королевского общества A , 381 (1781): 275–283, Bibcode :1982RSPSA.381..275C, doi :10.1098/rspa.1982.0071, ISSN  0080-4630, MR  0661720, S2CID  202575295
• Конвей, Дж. Х. ; Слоан, NJA (1999), Сферические упаковки, решетки и группы , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 290, При участии Баннаи Э.; Борчердс, RE; Лич, Дж.; Нортон, СП; Одлыжко А.М.; Паркер, РА; Королева, Л.; Венков, BB (Третье изд.), Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98585-5, MR  0662447, Zbl  0915.52003
• Дю Сотой, Маркус (2009), В поисках самогона , Четвертая власть, ISBN 978-0-00-721462-4
• Грисс, Роберт Л. (1998), Двенадцать спорадических групп , Монографии Спрингера по математике, Берлин: Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-3-662-03516-0, ISBN 978-3-540-62778-4, г-н  1707296
• Лич, Джон (1964), «Некоторые упаковки сфер в высшем пространстве», Канадский журнал математики , 16 : 657–682, doi : 10.4153/CJM-1964-065-1 , ISSN  0008-414X, MR  0167901, S2CID  123244939
• Лич, Джон (1967), «Заметки об упаковках сфер», Канадский журнал математики , 19 : 251–267, doi : 10.4153/CJM-1967-017-0 , ISSN  0008-414X, MR  0209983
• О'Коннор, Р. Э.; Полл, Г. (1944), «Построение целочисленных квадратичных форм определителя 1», Duke Mathematical Journal , 11 (2): 319–331, doi :10.1215/S0012-7094-44-01127-0, ISSN  0012-7094, MR  0010153
• Томпсон, Томас М. (1983), От кодов исправления ошибок через сферические упаковки к простым группам , Carus Mathematical Monographs, т. 21, Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, ISBN 978-0-88385-023-7, МР  0749038
• Ронан, Марк (2006), Симметрия и монстр , Оксфорд: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-280722-9, г-н  2215662
• Уилсон, Роберт А. (2009), «Октонионы и решетка Лича», Журнал алгебры , 322 (6): 2186–2190, doi : 10.1016/j.jalgebra.2009.03.021 , MR  2542837
• Витт, Эрнст (1941), «Eine Identität zwischen Modulformen zweiten Grades», Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg , 14 : 323–337, doi : 10.1007/BF02940750, MR  0005508, S2CID  120849019
• Витт, Эрнст (1998), Сборник статей. Gesammelte Abhandlungen , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-57061-5, г-н  1643949

Внешние ссылки

• Решетка пиявки (CP4space)
• Вайсштейн, Эрик В. «Решетка пиявки». Математический мир .
• The Leech Lattice, Иллинойсский университет в Чикаго, сайт Марка Ронана
• Статьи RE Borcherds