Группа персонажей

В математике группа символов — это группа представлений абелевой группы комплексными -значными функциями . Эти функции можно рассматривать как одномерные матричные представления, и поэтому они являются частными случаями групповых символов , которые возникают в соответствующем контексте теории символов . Всякий раз , когда группа представлена ​​матрицами, функция, определяемая следом матриц , называется характером; однако эти следы в общем случае не образуют группу. Некоторые важные свойства этих одномерных символов применимы к символам в целом:

• Характеры инвариантны относительно классов сопряженности .
• Характеры неприводимых представлений ортогональны.

Основное значение группы характеров для конечных абелевых групп имеет теория чисел , где она используется для построения характеров Дирихле . Группа характеров циклической группы также появляется в теории дискретного преобразования Фурье . Для локально компактных абелевых групп группа характеров (с предположением о непрерывности) является центральной для анализа Фурье .

Предварительные данные

Пусть — абелева группа. Функция, отображающая группу ненулевых комплексных чисел, называется характером группы , если она является гомоморфизмом группы — то есть, если для всех . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f:G\to \mathbb {C} ^{\times }}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }=\mathbb {C} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f(g_{1}g_{2})=f(g_{1})f(g_{2})}$ ${\displaystyle g_{1},g_{2}\in G}$

Если — характер конечной группы (или, в более общем случае, группы кручения ) , то каждое значение функции является корнем из единицы , поскольку для каждого существует такое, что , и, следовательно , . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f(g)}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle g^{k}=e}$ ${\displaystyle f(g)^{k}=f(g^{k})=f(e)=1}$

Каждый символ f является константой на классах сопряженности G , то есть f ( hgh ⁻¹ ) = f ( g ). По этой причине символ иногда называют функцией класса .

Конечная абелева группа порядка n имеет ровно n различных характеров. Они обозначаются f ₁ , ..., f _n . Функция f ₁ является тривиальным представлением, которое задается для всех . Она называется главным характером группы G ; остальные называются неглавными характерами . ${\displaystyle f_{1}(g)=1}$ ${\displaystyle g\in G}$

Определение

Если G — абелева группа, то множество символов f _k образует абелеву группу относительно поточечного умножения. То есть произведение символов и определяется как для всех . Эта группа является группой символов группы G и иногда обозначается как . Единичным элементом является главный символ f ₁ , а обратным символом символа f _k является его обратный символ 1/ f _k . Если конечен порядка n , то также имеет порядок n . В этом случае, поскольку для всех , обратный символ равен комплексно сопряженному . ${\displaystyle f_{j}}$ ${\displaystyle f_{k}}$ ${\displaystyle (f_{j}f_{k})(g)=f_{j}(g)f_{k}(g)}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle |f_{k}(g)|=1}$ ${\displaystyle g\in G}$

Альтернативное определение

Существует другое определение группы характеров ^{[1] стр. 29} , которое использует в качестве цели вместо просто . Это полезно при изучении комплексных торов , поскольку группа характеров решетки в комплексном торе канонически изоморфна двойственному тору через теорему Аппеля–Гумберта . То есть, ${\displaystyle U(1)=\{z\in \mathbb {C} ^{*}:|z|=1\}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle V/\Lambda }$

${\displaystyle {\text{Hom}}(\Lambda ,U(1))\cong V^{\vee }\!/\Lambda ^{\vee }=X^{\vee }}$

Мы можем выразить явные элементы в группе символов следующим образом: напомним, что элементы в могут быть выражены как ${\displaystyle U(1)}$

${\displaystyle e^{2\pi ix}}$

для . Если мы рассмотрим решетку как подгруппу базового действительного векторного пространства , то гомоморфизм ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \phi :\Lambda \to U(1)}$

можно разложить на составляющие как карту

${\displaystyle \phi :\Lambda \to \mathbb {R} \xrightarrow {\exp({2\pi i\cdot })} U(1)}$

Это следует из элементарных свойств гомоморфизмов. Заметим, что

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi (x+y)&=\exp({2\pi i}f(x+y))\\&=\phi (x)+\phi (y)\\&=\exp(2\pi if(x))\exp(2\pi if(y))\end{aligned}}}$

давая нам желаемую факторизацию. Поскольку группа

${\displaystyle {\text{Hom}}(\Lambda ,\mathbb {R} )\cong {\text{Hom}}(\mathbb {Z} ^{2n},\mathbb {R} )}$

мы имеем изоморфизм группы характеров, как группы, с группой гомоморфизмов в . Поскольку для любой абелевой группы , мы имеем ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\text{Hom}}(\mathbb {Z} ,G)\cong G}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\text{Hom}}(\mathbb {Z} ^{2n},\mathbb {R} )\cong \mathbb {R} ^{2n}}$

после составления с комплексной экспонентой мы находим, что

${\displaystyle {\text{Hom}}(\mathbb {Z} ^{2n},U(1))\cong \mathbb {R} ^{2n}/\mathbb {Z} ^{2n}}$

что является ожидаемым результатом.

Примеры

Конечно-порожденные абелевы группы

Так как каждая конечно порождённая абелева группа изоморфна

${\displaystyle G\cong \mathbb {Z} ^{n}\oplus \bigoplus _{i=1}^{m}\mathbb {Z} /a_{i}}$

группа характеров может быть легко вычислена во всех конечно порожденных случаях. Из универсальных свойств и изоморфизма между конечными произведениями и копроизведениями, мы имеем группы характеров изоморфны ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\text{Hom}}(\mathbb {Z} ,\mathbb {C} ^{*})^{\oplus n}\oplus \bigoplus _{i=1}^{k}{\text{Hom}}(\mathbb {Z} /n_{i},\mathbb {C} ^{*})}$

для первого случая это изоморфно , второй вычисляется путем рассмотрения отображений, которые отправляют генератор к различным степеням корней -й степени из единицы . ${\displaystyle (\mathbb {C} ^{*})^{\oplus n}}$ ${\displaystyle 1\in \mathbb {Z} /n_{i}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle \zeta _{n_{i}}=\exp(2\pi i/n_{i})}$

Ортогональность символов

Рассмотрим матрицу A = A ( G ), элементы которой равны , где — k -й элемент матрицы G . ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A_{jk}=f_{j}(g_{k})}$ ${\displaystyle g_{k}}$

Сумма записей в j -й строке матрицы A определяется как

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}A_{jk}=\sum _{k=1}^{n}f_{j}(g_{k})=0}$если , и ${\displaystyle j\neq 1}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}A_{1k}=n}$.

Сумма записей в k- м столбце матрицы A определяется по формуле

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}A_{jk}=\sum _{j=1}^{n}f_{j}(g_{k})=0}$если , и ${\displaystyle k\neq 1}$

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}A_{j1}=\sum _{j=1}^{n}f_{j}(e)=n}$.

Пусть обозначает сопряженное транспонирование A. Тогда ${\displaystyle A^{\ast }}$

${\displaystyle AA^{\ast }=A^{\ast }A=nI}$.

Это подразумевает требуемое отношение ортогональности для символов: т.е.

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{f_{k}}^{*}(g_{i})f_{k}(g_{j})=n\delta _{ij}}$,

где — символ Кронекера , а — комплексно сопряженная величина . ${\displaystyle \delta _{ij}}$ ${\displaystyle f_{k}^{*}(g_{i})}$ ${\displaystyle f_{k}(g_{i})}$

Смотрите также

• Двойственность Понтрягина

Ссылки

1. Биркенхейк, Кристина; Х. Ланге (2004). Комплексные абелевы многообразия (2-е, дополненное изд.). Берлин: Springer. ISBN 3-540-20488-1. OCLC  54475368.

• См. главу 6 книги Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для бакалавров по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR  0434929, Zbl  0335.10001