Группа строк

В топологии , разделе математики , группа струн — это бесконечномерная группа, введенная Штольцем (1996) как -связное покрытие спиновой группы . Струнное многообразие — это многообразие с подъемом расслоения его фреймов в расслоение групп струн. Это означает, что помимо возможности определять голономию вдоль путей, можно также определять голономию для поверхностей, проходящих между строками. Существует короткая точная последовательность топологических групп. ${\displaystyle \operatorname {String} (n)}$ ${\displaystyle 3}$

${\displaystyle 0\rightarrow {\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}\rightarrow \operatorname {String} (n)\rightarrow \operatorname {Spin} (n)\rightarrow 0}$

где – пространство Эйленберга–Маклейна , – спиновая группа. Группа строк — это запись в башне Уайтхеда (двойственной понятию башни Постникова ) для ортогональной группы : ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$

${\displaystyle \cdots \rightarrow \operatorname {Fivebrane} (n)\to \operatorname {String} (n)\rightarrow \operatorname {Spin} (n)\rightarrow \operatorname {SO} (n)\rightarrow \operatorname {O} (n)}$

Его получают убийством гомотопической группы для , точно так же, как получают убийством . Полученное многообразие не может быть какой-либо конечномерной группой Ли , поскольку все конечномерные компактные группы Ли имеют ненулевую группу Ли . Группа пятибран следует за ним, убивая . ${\displaystyle \pi _{3}}$ ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle \pi _{1}}$ ${\displaystyle \pi _{3}}$ ${\displaystyle \pi _{7}}$

В более общем смысле, построение башни Постникова с помощью коротких точных последовательностей, начинающихся с пространств Эйленберга – Маклейна, может быть применено к любой группе Ли G , давая струнную группу String ( G ).

Интуиция для струнной группы

Актуальность пространства Эйленберга-Маклана заключается в том, что существуют гомотопические эквивалентности ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$

${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,1)\simeq U(1)\simeq B\mathbb {Z} }$

для классифицирующего пространства и факта . Обратите внимание: поскольку комплексная спиновая группа является расширением группы ${\displaystyle B\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)\simeq BU(1)}$

${\displaystyle 0\to K(\mathbb {Z} ,1)\to \operatorname {Spin} ^{\mathbb {C} }(n)\to \operatorname {Spin} (n)\to 0}$

Группу струн можно рассматривать как «высшее» расширение комплексной спиновой группы в смысле высшей теории групп , поскольку пространство является примером высшей группы. Можно думать о топологической реализации группоида, объектом которого является одна точка, а морфизмами которого является группа . Обратите внимание, что гомотопическая степень is , что означает, что его гомотопия сосредоточена в степени , поскольку она происходит из гомотопического слоя отображения. ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$ ${\displaystyle \mathbf {B} U(1)}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 2}$

${\displaystyle \operatorname {String} (n)\to \operatorname {Spin} (n)}$

из башни Уайтхеда, гомотопическое коядро которой равно . Это связано с тем, что гомотопический слой понижает степень на . ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,3)}$ ${\displaystyle 1}$

Понимание геометрии

Геометрия расслоений струн требует понимания множественных конструкций в теории гомотопий ^[1] , но они по сути сводятся к пониманию того , что такое -расслоения и как ведут себя эти расширения высших групп. А именно, -расслоения в пространстве геометрически представляются как гербы расслоений , поскольку любое -расслоение может быть реализовано как гомотопический слой отображения, дающего гомотопический квадрат. ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$

${\displaystyle {\begin{matrix}P&\to &*\\\downarrow &&\downarrow \\M&\xrightarrow {} &K(\mathbb {Z} ,3)\end{matrix}}}$

где . Затем расслоение строк должно отображаться в расслоение спинов , которое является -эквивариантным, аналогично тому, как расслоение спинов эквивариантно отображается в расслоение фреймов. ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,3)=B(K(\mathbb {Z} ,2))}$ ${\displaystyle S\to M}$ ${\displaystyle \mathbb {S} \to M}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$

Группа пятибран и высшие группы

Группу пятибран можно понять аналогичным образом ^[2], уничтожив группу струнной группы с помощью башни Уайтхеда. Затем это можно снова понять, используя точную последовательность высших групп. ${\displaystyle \pi _{7}(\operatorname {Spin} (n))\cong \pi _{7}(\operatorname {O} (n))}$ ${\displaystyle \operatorname {String} (n)}$

${\displaystyle 0\to K(\mathbb {Z} ,6)\to \operatorname {Fivebrane} (n)\to \operatorname {String} (n)\to 0}$

давая представление об этом в терминах итерированного расширения, т.е. расширения на . Карта заметок справа взята из башни Уайтхеда, а карта слева — это гомотопический слой. ${\displaystyle \operatorname {Fivebrane} (n)}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,6)}$ ${\displaystyle \operatorname {String} (n)}$

Смотрите также

• Гербе
• N-группа (теория категорий)
• Эллиптические когомологии
• Струнный бордизм

Рекомендации

1. Юрко, Бранислав (август 2011 г.). «Гербесы скрещенных модулей; классификация, группа струн и дифференциальная геометрия». Международный журнал геометрических методов в современной физике . 08 (5): 1079–1095. arXiv : math/0510078 . Бибкод : 2011IJGMM..08.1079J. дои : 10.1142/S0219887811005555. ISSN  0219-8878. S2CID  1347840.
2. Сати, Хишам; Шрайбер, Урс; Сташефф, Джим (ноябрь 2009 г.). «Пятибранные структуры». Обзоры по математической физике . 21 (10): 1197–1240. arXiv : 0805.0564 . Бибкод : 2009RvMaP..21.1197S. дои : 10.1142/S0129055X09003840. ISSN  0129-055Х. S2CID  13307997.

• Энрикес, Андре Г.; Дуглас, Кристофер Л.; Хилл, Майкл А. (2011), «Гомологические препятствия ориентации струн», Int. Математика. Рез. Уведомления , 18 : 4074–4088, arXiv : 0810.2131 , Bibcode : 2008arXiv0810.2131D
• Вокель, Кристоф; Саксе, Кристоф; Николаус, Томас (2013), «Гладкая модель для группы строк», Международные уведомления о математических исследованиях , 2013 (16): 3678–3721, arXiv : 1104.4288 , Bibcode : 2011arXiv1104.4288N, doi : 10.1093/imrn/rns154
• Штольц, Стефан (1996), «Гипотеза о положительной кривизне Риччи и роде Виттена», Mathematische Annalen , 304 (4): 785–800, doi : 10.1007/BF01446319, ISSN  0025-5831, MR  1380455, S2CID  123359573
• Штольц, Стефан; Тейхнер, Питер (2004), «Что такое эллиптический объект?» (PDF) , Топология, геометрия и квантовая теория поля , Лондонская математика. Соц. Лекции. Сер., вып. 308, Cambridge University Press , стр. 247–343, номер документа : 10.1017/CBO9780511526398.013, ISBN. 9780521540490, МР  2079378

Внешние ссылки

• Баэз, Дж. (2007), Теория высших калибровок и группа струн
• От групп циклов к 2-группам - дает характеристику String(n) как 2-группы.
• струнная группа в лаборатории n
• Башня Уайтхеда в лаборатории n
• Что такое эллиптический объект?