В математике , в частности в теории категорий , 2-группа — это группоид со способом умножения объектов , делающим его похожим на группу . Они являются частью более крупной иерархии n- групп . Они были введены Хоангом Сюань Синем в конце 1960-х годов под названием gr-категории , [1] [2] и также известны как категориальные группы .
2-группа — это моноидальная категория G, в которой каждый морфизм обратим и каждый объект имеет слабый обратный объект. (Здесь слабым обратным объектом x является объект y, такой что xy и yx оба изоморфны единичному объекту.)
Большая часть литературы посвящена строгим 2-группам . Строгая 2-группа — это строгая моноидальная категория , в которой каждый морфизм обратим и каждый объект имеет строгий обратный (так что xy и yx фактически равны единичному объекту).
Строгая 2-группа — это групповой объект в категории (малых) категорий ; как таковые, их можно было бы назвать групповыми категориями . И наоборот, строгая 2-группа — это категориальный объект в категории групп ; как таковые, их также называют категориальными группами . Их также можно отождествить с перекрещенными модулями , и чаще всего они изучаются именно в этой форме. Таким образом, 2-группы в целом можно рассматривать как ослабление перекрещенных модулей.
Каждая 2-группа эквивалентна строгой 2-группе , хотя это не может быть сделано последовательно: это не распространяется на гомоморфизмы 2-групп . [ необходима ссылка ]
Для данной ( малой ) категории C мы можем рассмотреть 2-группу Aut C. Это моноидальная категория, объектами которой являются автоэквивалентности C (т. е. эквивалентности F : C → C ), морфизмы которой являются естественными изоморфизмами между такими автоэквивалентностями, а умножение автоэквивалентностей задается их композицией.
Если задано топологическое пространство X и точка x в этом пространстве, то существует фундаментальная 2-группа X в точке x , которая записывается как Π 2 ( X , x ). Как моноидальная категория, объекты являются петлями в точке x , умножение которых задается конкатенацией, а морфизмы являются гомотопиями между петлями, сохраняющими базовую точку, причем эти морфизмы идентифицируются, если они сами гомотопны.
Слабые обратные объекты всегда можно назначить когерентно: [3] можно определить функтор на любой 2-группе G , который назначает слабый обратный объект каждому объекту, так что каждый объект связан с назначенным ему слабым обратным объектом посредством сопряженной эквивалентности в моноидальной категории G.
Если даны бикатегория B и объект x из B , то существует 2-группа автоморфизмов x в B , которая записывается как Aut B x . Объекты являются автоморфизмами x , умножение которых задается композицией, а морфизмы являются обратимыми 2-морфизмами между ними. Если B является 2-группоидом (то есть все объекты и морфизмы слабо обратимы), а x — его единственный объект, то Aut B x — единственные оставшиеся данные в B . Таким образом, 2-группы могут быть идентифицированы с однообъектными 2-группоидами , подобно тому, как группы могут быть идентифицированы с однообъектными группоидами, а моноидные категории могут быть идентифицированы с однообъектными бикатегориями.
Если G является строгой 2-группой, то объекты G образуют группу, называемую базовой группой G и обозначаемую как G 0 . Это не будет работать для произвольных 2-групп ; однако, если выделить изоморфные объекты, то классы эквивалентности образуют группу, называемую фундаментальной группой G и обозначаемую как π 1 G . (Обратите внимание, что даже для строгой 2-группы фундаментальная группа будет только фактор-группой базовой группы.)
Как моноидальная категория, любая 2-группа G имеет единичный объект I G. Группа автоморфизмов I G является абелевой группой по аргументу Экмана–Хилтона , обозначаемой как Aut( I G ) или π 2 G .
Фундаментальная группа группы G действует по обе стороны от π 2 G , а ассоциатор группы G определяет элемент группы когомологий H 3 (π 1 G , π 2 G ). Фактически, 2-группы классифицируются следующим образом: если заданы группа π 1 , абелева группа π 2 , действие группы π 1 на π 2 и элемент из H 3 ( π 1 , π 2 ), то существует единственная ( с точностью до эквивалентности) 2-группа G с π 1 G, изоморфным π 1 , π 2 G, изоморфным π 2 , и другими соответствующими данными.
Элемент H 3 (π 1 , π 2 ), связанный с 2-группой , иногда называют ее инвариантом Sinh , поскольку он был разработан учеником Гротендика Хоангом Сюань Синем .
Как упоминалось выше, фундаментальная 2-группа топологического пространства X и точки x — это 2-группа Π 2 ( X , x ), объектами которой являются петли в точке x , умножение которых задается конкатенацией, а морфизмы — это гомотопии между петлями, сохраняющие базовую точку, причем эти морфизмы идентифицируются, если они сами по себе гомотопны.
Обратно, для любой 2-группы G можно найти единственное ( с точностью до слабой гомотопической эквивалентности ) точечное связное пространство ( X , x ), фундаментальной 2-группой которого является G , а гомотопические группы π n тривиальны для n > 2. Таким образом, 2-группы классифицируют точечные связные слабые гомотопические 2-типы. Это обобщение конструкции пространств Эйленберга–Маклейна .
Если X — топологическое пространство с базовой точкой x , то фундаментальная группа X в точке x совпадает с фундаментальной группой фундаментальной 2-группы X в точке x , то есть
Этот факт является источником термина «фундаментальный» в обоих его двухгрупповых вариантах.
Сходным образом,
Таким образом, как первая, так и вторая гомотопические группы пространства содержатся в его фундаментальной 2-группе . Поскольку эта 2-группа также определяет действие π 1 ( X , x ) на π 2 ( X , x ) и элемент группы когомологий H 3 (π 1 ( X , x ), π 2 ( X , x )), это как раз те данные, которые необходимы для формирования башни Постникова пространства X, если X является точечным связным гомотопическим 2-типом.
