(2,3,7) группа треугольников

В теории римановых поверхностей и гиперболической геометрии группа треугольников (2,3,7) особенно важна из-за ее связи с поверхностями Гурвица , а именно римановыми поверхностями рода g с максимально возможным порядком, 84( g − 1), ее группы автоморфизмов.

Термин «группа треугольника (2,3,7)» чаще всего относится не к полной группе треугольников Δ(2,3,7) (группа Кокстера с треугольником Шварца (2,3,7) или реализация в виде гиперболической группы отражений ), а скорее к обычной группе треугольников ( группе фон Дейка ) D (2,3,7) сохраняющих ориентацию отображений (группа вращений), которая имеет индекс 2.

Нормальные подгруппы без кручения группы треугольника (2,3,7) являются фуксовыми группами , связанными с поверхностями Гурвица , такими как квартика Клейна , поверхность Макбита и первая триплет Гурвица .

Конструкции

Гиперболическая конструкция

Группа треугольников (2,3,7) представляет собой группу сохраняющих ориентацию изометрий мозаики треугольником Шварца (2,3,7) , показанной здесь в проекции модели диска Пуанкаре .

Чтобы построить группу треугольников, начнем с гиперболического треугольника с углами π/2, π/3 и π/7. Этот треугольник, наименьший гиперболический треугольник Шварца , замощает плоскость отражениями относительно своих сторон. Затем рассмотрим группу, порожденную отражениями относительно сторон треугольника, которая (поскольку треугольники замощают) является неевклидовой кристаллографической группой (дискретной подгруппой гиперболических изометрий) с этим треугольником для фундаментальной области ; связанная мозаика является разделенной пополам семиугольной мозаикой порядка 3 . Группа треугольников (2,3,7) определяется как подгруппы индекса 2, состоящие из сохраняющих ориентацию изометрий, что является фуксовой группой (сохраняющей ориентацию группой NEC).

Групповая презентация

Он имеет представление в терминах пары генераторов g ₂ , g ₃ , по модулю следующих соотношений:

${\displaystyle g_{2}^{2}=g_{3}^{3}=(g_{2}g_{3})^{7}=1.}$

Геометрически они соответствуют поворотам на , и вокруг вершин треугольника Шварца. ${\displaystyle {\frac {2\pi }{2}},{\frac {2\pi }{3}}}$ ${\displaystyle {\frac {2\pi }{7}}}$

Алгебра кватернионов

Группа треугольника (2,3,7) допускает представление в терминах группы кватернионов нормы 1 в подходящем порядке в алгебре кватернионов . Более конкретно, группа треугольника является фактором группы кватернионов по ее центру ±1.

Пусть η = 2cos(2π/7). Тогда из тождества

${\displaystyle (2-\eta )^{3}=7(\eta -1)^{2}.}$

мы видим, что Q (η) является полностью действительным кубическим расширением Q . Гиперболическая треугольная группа (2,3,7) является подгруппой группы элементов нормы 1 в кватернионной алгебре, порожденной как ассоциативная алгебра парой образующих i , j и соотношениями i ² = j ² = η , ij  = − ji . Выбирается подходящий порядок кватерниона Гурвица в кватернионной алгебре. Здесь порядок порождается элементами ${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }}$

${\displaystyle g_{2}={\tfrac {1}{\eta }}ij}$

${\displaystyle g_{3}={\tfrac {1}{2}}(1+(\eta ^{2}-2)j+(3-\eta ^{2})ij).}$

На самом деле порядок является свободным Z [η]-модулем над базисом . Здесь генераторы удовлетворяют соотношениям ${\displaystyle 1,g_{2},g_{3},g_{2}g_{3}}$

${\displaystyle g_{2}^{2}=g_{3}^{3}=(g_{2}g_{3})^{7}=-1,\,}$

которые сводятся к соответствующим соотношениям в группе треугольников после факторизации по центру.

Отношение к SL(2,R)

Визуализация карты (2,3,∞) → (2,3,7) путем морфинга связанных мозаик. ^[1]

Расширяя скаляры из Q (η) до R (через стандартное вложение), получаем изоморфизм между кватернионной алгеброй и алгеброй M(2, R ) действительных матриц 2 на 2. Выбор конкретного изоморфизма позволяет представить группу треугольников (2,3,7) как определенную фуксову группу в SL(2, R ) , а именно как фактор модулярной группы . Это можно визуализировать с помощью связанных мозаик, как показано справа: мозаика (2,3,7) на диске Пуанкаре является фактором модульной мозаики на верхней полуплоскости.

Для многих целей явные изоморфизмы не нужны. Таким образом, следы групповых элементов (и, следовательно, также длины трансляций гиперболических элементов, действующих в верхней полуплоскости , а также систолы фуксовых подгрупп) можно вычислить с помощью приведенного следа в кватернионной алгебре и формулы

${\displaystyle \operatorname {tr} (\gamma )=2\cosh(\ell _{\gamma }/2).}$

Ссылки

1. Платоновы мозаики римановых поверхностей: Модульная группа, Джерард Вестендорп

Дальнейшее чтение

• Elkies, ND (1998). "Вычисления кривых Шимуры". В Buhler, JP (ред.). Алгоритмическая теория чисел. ANTS 1998. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 1423. Springer. pp. 1–47. arXiv : math.NT/0005160 . doi :10.1007/BFb0054850. ISBN 978-3-540-69113-6.
• Katz, M.; Schaps, M.; Vishne, U. (2007). «Логарифмический рост систолы арифметических римановых поверхностей вдоль подгрупп конгруэнтности». J. Differential Geom. 76 (3): 399–422. arXiv : math.DG/0505007 .