В математике фуксова группа — это дискретная подгруппа PSL (2, R ) . Группу PSL(2, R ) можно рассматривать эквивалентно как группу сохраняющих ориентацию изометрий гиперболической плоскости , или конформных преобразований единичного круга , или конформных преобразований верхней полуплоскости , поэтому фуксова группа может рассматриваться как группа, действующая на любом из этих пространств. Существуют некоторые вариации определения: иногда фуксова группа предполагается конечно порожденной , иногда ей разрешается быть подгруппой PGL(2, R ) (так что она содержит элементы, меняющие ориентацию), а иногда ей разрешается быть клейновой группой (дискретной подгруппой PSL(2, C ) ), которая сопряжена с подгруппой PSL(2, R ).
Фуксовы группы используются для создания фуксовых моделей римановых поверхностей . В этом случае группу можно назвать фуксовой группой поверхности . В некотором смысле фуксовы группы делают для неевклидовой геометрии то же, что кристаллографические группы делают для евклидовой геометрии . Некоторые графики Эшера основаны на них (для дисковой модели гиперболической геометрии).
Общие фуксовы группы были впервые изучены Анри Пуанкаре (1882), которого вдохновила статья (Fuchs 1880), и поэтому он назвал их в честь Лазаруса Фукса .
Пусть будет верхней полуплоскостью . Тогда является моделью гиперболической плоскости , наделенной метрикой
Группа PSL(2, R ) действует посредством дробно-линейных преобразований ( также известных как преобразования Мёбиуса ):
Это действие является точным, и на самом деле PSL(2, R ) изоморфна группе всех сохраняющих ориентацию изометрий .
Фуксову группу можно определить как подгруппу PSL(2, R ), которая действует разрывно на . То есть,
Эквивалентное определение для фуксовой группы — быть дискретной группой , что означает, что:
Хотя в этом случае разрывность и дискретность эквивалентны, это, как правило, не верно для случая произвольной группы конформных гомеоморфизмов, действующих на полной сфере Римана (в отличие от ). Действительно, фуксова группа PSL(2, Z ) дискретна, но имеет точки накопления на прямой действительных чисел : элементы PSL(2, Z ) будут переноситься в каждое рациональное число, а рациональные числа Q плотны в R .
Дробно-линейное преобразование, определяемое матрицей из PSL(2, C ), сохранит сферу Римана P 1 ( C ) = C ∪ ∞, но переведет верхнюю полуплоскость H в некоторый открытый диск Δ. Сопряжение таким преобразованием переведет дискретную подгруппу PSL(2, R ) в дискретную подгруппу PSL(2, C ), сохраняющую Δ.
Это мотивирует следующее определение фуксовой группы . Пусть Γ ⊂ PSL(2, C ) действует инвариантно на собственном открытом диске Δ ⊂ C ∪ ∞, то есть Γ(Δ) = Δ. Тогда Γ является фуксовой тогда и только тогда, когда выполняется любое из следующих трех эквивалентных свойств:
То есть, любой из этих трех может служить определением фуксовой группы, остальные следуют как теоремы. Понятие инвариантного собственного подмножества Δ важно; так называемая группа Пикара PSL(2, Z [ i ]) дискретна, но не сохраняет никакой диск в сфере Римана. Действительно, даже модулярная группа PSL(2, Z ), которая является фуксовой группой, не действует разрывно на действительной числовой прямой; она имеет точки накопления в рациональных числах . Аналогично, важна идея о том, что Δ является собственным подмножеством области разрыва; когда это не так, подгруппа называется клейновой группой .
Чаще всего в качестве инвариантной области Δ принимают либо открытый единичный круг , либо верхнюю полуплоскость .
Из-за дискретного действия орбита Γ z точки z в верхней полуплоскости под действием Γ не имеет точек накопления в верхней полуплоскости. Однако предельные точки могут быть на вещественной оси. Пусть Λ(Γ) — предельное множество Γ, то есть множество предельных точек Γ z для z ∈ H . Тогда Λ(Γ) ⊆ R ∪ ∞. Предельное множество может быть пустым, или может содержать одну или две точки, или может содержать бесконечное число. В последнем случае существует два типа:
Фуксова группа первого типа — это группа, для которой предельным множеством является замкнутая вещественная прямая R ∪ ∞. Это происходит, если факторпространство H /Γ имеет конечный объем, но существуют фуксовы группы первого рода бесконечного кообъема.
В противном случае говорят, что фуксова группа имеет второй тип . Эквивалентно, это группа, для которой предельное множество является совершенным множеством , которое нигде не плотно на R ∪ ∞. Поскольку оно нигде не плотно, это означает, что любая предельная точка сколь угодно близка к открытому множеству, которое не находится в предельном множестве. Другими словами, предельное множество является множеством Кантора .
Тип фуксовой группы не обязательно должен совпадать с ее типом, рассматриваемым как клейновская группа: на самом деле, все фуксовы группы являются клейновыми группами типа 2, поскольку их предельные множества (как клейновы группы) являются собственными подмножествами сферы Римана, содержащимися в некотором круге.
Примером фуксовой группы является модулярная группа PSL(2, Z ). Это подгруппа PSL(2, R ), состоящая из дробно-линейных преобразований
где a , b , c , d — целые числа. Фактор-пространство H /PSL(2, Z ) — это модульное пространство эллиптических кривых .
Другие фуксовы группы включают группы Γ( n ) для каждого целого числа n > 0. Здесь Γ( n ) состоит из дробно-линейных преобразований вышеуказанного вида, где элементы матрицы
сравнимы с таковыми единичной матрицы по модулю n .
Кокомпактным примером является (обычная, вращательная) группа треугольников (2,3,7) , содержащая фуксовы группы квартики Клейна и поверхности Макбита , а также другие группы Гурвица . В более общем случае любая гиперболическая группа фон Дейка (подгруппа индекса 2 группы треугольников , соответствующая сохраняющим ориентацию изометриям) является фуксовой группой.
Все это фуксовы группы первого рода .
Если h — гиперболический элемент, то длина трансляции L его действия в верхней полуплоскости связана со следом h как матрицы 2 × 2 соотношением
Аналогичное соотношение справедливо для систолы соответствующей римановой поверхности, если фуксова группа не имеет кручения и кокомпактна.
