СЛ2(Р)

Группа действительных матриц 2×2 с единичным определителем

В математике специальная линейная группа SL(2, R) или SL ₂ (R) — это группа действительных матриц размера 2 × 2 с определителем единица:

${\displaystyle {\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\colon a,b,c,d\in \mathbf {R} {\mbox{ and }}ad-bc=1\right\}.}$

Это связная некомпактная простая действительная группа Ли размерности 3, имеющая приложения в геометрии , топологии , теории представлений и физике .

SL(2,  R ) действует на комплексную верхнюю полуплоскость дробными линейными преобразованиями . Действие группы пропускается через фактор PSL(2, R) (2 × 2 проективная специальная линейная группа над R ). Более конкретно,

ПСЛ(2,  Р ) = ПСЛ(2,  Р ) / {± I },

где I обозначает единичную матрицу 2 × 2. Она содержит модулярную группу PSL(2,  Z ).

Также тесно связана 2-кратная накрывающая группа Mp(2,  R ), метаплектическая группа (если рассматривать SL(2,  R ) как симплектическую группу ).

Другая родственная группа — SL ^± (2,  R ), группа действительных матриц 2 × 2 с определителем ±1; однако она чаще используется в контексте модулярной группы .

Описания

SL(2,  R ) — группа всех линейных преобразований R ² , сохраняющих ориентированную площадь . Она изоморфна симплектической группе Sp(2,  R ) и специальной унитарной группе SU(1, 1) . Она также изоморфна группе кокватернионов единичной длины . Группа SL ^± (2,  R ) сохраняет неориентированную площадь: она может менять ориентацию на противоположную.

Фактор PSL(2,  R ) имеет несколько интересных описаний, вплоть до изоморфизма групп Ли:

• Это группа сохраняющих ориентацию проективных преобразований действительной проективной прямой R ∪ {∞}.
• Это группа конформных автоморфизмов единичного круга .
• Это группа сохраняющих ориентацию изометрий гиперболической плоскости .
• Это ограниченная группа Лоренца трехмерного пространства Минковского . Эквивалентно, она изоморфна неопределенной ортогональной группе SO ⁺ (1,2). Отсюда следует, что SL(2,  R ) изоморфна спиновой группе Spin(2,1) ⁺ .

Элементы модулярной группы PSL(2,  Z ) имеют дополнительные интерпретации, как и элементы группы SL(2,  Z ) (как линейные преобразования тора), и эти интерпретации также можно рассматривать в свете общей теории SL(2,  R ).

Омографии

Элементы PSL(2,  R ) являются гомографиями на вещественной проективной прямой R ∪ {∞} :

${\displaystyle [x,1]\mapsto [x,\ 1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\ =\ [ax+b,\ cx+d]\ =\,\left[{\frac {ax+b}{cx+d}},\ 1\right].}$

Эти проективные преобразования образуют подгруппу PSL(2,  C ), которая действует на сфере Римана посредством преобразований Мёбиуса .

Когда действительная прямая рассматривается как граница гиперболической плоскости , PSL(2,  R ) выражает гиперболические движения .

Преобразования Мёбиуса

Элементы PSL(2,  R ) действуют на комплексную плоскость посредством преобразований Мёбиуса:

${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}\;\;\;\;{\mbox{ (where }}a,b,c,d\in \mathbf {R} {\mbox{)}}.}$

Это в точности набор преобразований Мёбиуса, сохраняющих верхнюю полуплоскость . Отсюда следует, что PSL(2,  R ) — группа конформных автоморфизмов верхней полуплоскости. По теореме Римана об отображении она также изоморфна группе конформных автоморфизмов единичного круга.

Эти преобразования Мёбиуса действуют как изометрии верхней полуплоскостной модели гиперболического пространства, а соответствующие преобразования Мёбиуса диска являются гиперболическими изометриями модели диска Пуанкаре .

Вышеприведенную формулу можно также использовать для определения преобразований Мёбиуса дуальных и двойных (или расщепленно-комплексных) чисел . Соответствующие геометрии находятся в нетривиальных отношениях ^[1] с геометрией Лобачевского .

Сопряженное представление

Группа SL(2,  R ) действует на своей алгебре Ли sl(2,  R ) сопряжением (помните, что элементы алгебры Ли также являются матрицами 2 × 2), что дает точное 3-мерное линейное представление PSL(2,  R ). Это можно альтернативно описать как действие PSL(2,  R ) на пространстве квадратичных форм на R ² . Результатом является следующее представление:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}a^{2}&2ab&b^{2}\\ac&ad+bc&bd\\c^{2}&2cd&d^{2}\end{bmatrix}}.}$

Форма Киллинга на sl(2,  R ) имеет сигнатуру (2,1) и индуцирует изоморфизм между PSL(2,  R ) и группой Лоренца SO ⁺ (2,1). Это действие PSL(2,  R ) на пространстве Минковского ограничивается изометрическим действием PSL(2,  R ) на гиперболоидной модели гиперболической плоскости.

Классификация элементов

Собственные значения элемента A ∈ SL(2,  R ) удовлетворяют характеристическому многочлену

${\displaystyle \lambda ^{2}\,-\,\mathrm {tr} (A)\,\lambda \,+\,1\,=\,0}$

и поэтому

${\displaystyle \lambda ={\frac {\mathrm {tr} (A)\pm {\sqrt {\mathrm {tr} (A)^{2}-4}}}{2}}.}$

Это приводит к следующей классификации элементов с соответствующим действием на евклидовой плоскости:

• Если , то A называется эллиптическим и сопряженным с вращением . ${\displaystyle |\mathrm {tr} (A)|<2}$
• Если , то A называется параболическим и является сдвиговым отображением . ${\displaystyle |\mathrm {tr} (A)|=2}$
• Если , то A называется гиперболическим и является отображением сжатия . ${\displaystyle |\mathrm {tr} (A)|>2}$

Названия соответствуют классификации конических сечений по эксцентриситету : если определить эксцентриситет как половину абсолютной величины следа (ε = ⁠1/2⁠ |tr|; деление на 2 корректирует эффект размерности, в то время как абсолютное значение соответствует игнорированию общего множителя ±1, например, при работе в PSL(2, R )), тогда это дает: , эллиптический; , параболический; , гиперболический. ${\displaystyle \epsilon <1}$ ${\displaystyle \epsilon =1}$ ${\displaystyle \epsilon >1}$

Единичный элемент 1 и отрицательный единичный элемент −1 (в PSL(2,  R ) они одинаковы) имеют след ±2 и, следовательно, по этой классификации являются параболическими элементами, хотя их часто рассматривают отдельно.

Такая же классификация используется для SL(2,  C ) и PSL(2,  C ) ( преобразований Мёбиуса ) и PSL(2,  R ) (действительных преобразований Мёбиуса) с добавлением «локсодромических» преобразований, соответствующих сложным следам; аналогичные классификации используются и в других местах.

Подгруппа, которая содержит эллиптические (соответственно, параболические, гиперболические) элементы, а также единицу и отрицательную единицу, называется эллиптической подгруппой (соответственно, параболической подгруппой , гиперболической подгруппой ).

Трихотомия SL(2,  R ) на эллиптические, параболические и гиперболические элементы представляет собой классификацию на подмножества, а не подгруппы: эти множества не замкнуты относительно умножения (произведение двух параболических элементов не обязательно должно быть параболическим и т. д.). Однако каждый элемент сопряжен с членом одной из 3 стандартных однопараметрических подгрупп (возможно, умноженных на ±1), как подробно описано ниже.

Топологически, поскольку трасса является непрерывным отображением, эллиптические элементы (исключая ±1) образуют открытое множество , как и гиперболические элементы (исключая ±1). Напротив, параболические элементы вместе с ±1 образуют замкнутое множество , которое не является открытым.

Эллиптические элементы

Собственные значения для эллиптического элемента являются как комплексными, так и сопряженными значениями на единичной окружности . Такой элемент сопряжен с вращением евклидовой плоскости — их можно интерпретировать как вращения в возможно неортогональном базисе — и соответствующий элемент PSL(2,  R ) действует как (сопряженный) вращение гиперболической плоскости и пространства Минковского .

Эллиптические элементы модулярной группы должны иметь собственные значения {ω, ω ⁻¹ }, где ω — примитивный корень 3-й, 4-й или 6-й степени из единицы . Это все элементы модулярной группы с конечным порядком , и они действуют на торе как периодические диффеоморфизмы.

Элементы следа 0 можно назвать «круговыми элементами» (по аналогии с эксцентриситетом), но это делается редко; они соответствуют элементам с собственными значениями ± i и сопряжены повороту на 90° и квадрату - I : они являются нетождественными инволюциями в PSL(2).

Эллиптические элементы сопряжены в подгруппе вращений евклидовой плоскости, специальной ортогональной группе SO(2); угол поворота равен arccos половины следа, при этом знак поворота определяется ориентацией. (Вращение и его обратный элемент сопряжены в GL(2), но не в SL(2).)

Параболические элементы

Параболический элемент имеет только одно собственное значение, которое равно 1 или -1. Такой элемент действует как сдвиговое отображение на евклидовой плоскости, а соответствующий элемент PSL(2,  R ) действует как предельное вращение гиперболической плоскости и как нулевое вращение пространства Минковского .

Параболические элементы модулярной группы действуют как скручивания Дена тора.

Параболические элементы сопряжены в 2-компонентную группу стандартных сдвигов × ± I : . Фактически, все они сопряжены (в SL(2)) с одной из четырех матриц , (в GL(2) или SL ^± (2) ± может быть опущено, но в SL(2) это невозможно). ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&\lambda \\&1\end{smallmatrix}}\right)\times \{\pm I\}}$ ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&\pm 1\\&1\end{smallmatrix}}\right)}$ ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}-1&\pm 1\\&-1\end{smallmatrix}}\right)}$

Гиперболические элементы

Собственные значения для гиперболического элемента являются как действительными, так и обратными. Такой элемент действует как сжатое отображение евклидовой плоскости, а соответствующий элемент PSL(2,  R ) действует как перенос гиперболической плоскости и как лоренцевский буст на пространстве Минковского .

Гиперболические элементы модулярной группы действуют как диффеоморфизмы Аносова тора.

Гиперболические элементы сопряжены в 2-компонентной группе стандартных сжатий × ± I : ; гиперболический угол гиперболического поворота задается аркошетом половины следа, но знак может быть положительным или отрицательным: в отличие от эллиптического случая, сжатие и его обратный элемент сопряжены в SL₂ (поворотом по осям; для стандартных осей поворот на 90°). ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}\lambda \\&\lambda ^{-1}\end{smallmatrix}}\right)\times \{\pm I\}}$

Классы сопряженности

По жордановой нормальной форме матрицы классифицируются с точностью до сопряженности (в GL( n ,  C )) по собственным значениям и нильпотентности (конкретно, нильпотентность означает, что единицы встречаются в жордановых блоках). Таким образом, элементы SL(2) классифицируются с точностью до сопряженности в GL(2) (или, конечно, SL ^± (2)) по следу (поскольку определитель фиксирован, а след и определитель определяют собственные значения), за исключением случаев, когда собственные значения равны, поэтому ±I и параболические элементы следа +2 и следа -2 не являются сопряженными (первые не имеют недиагональных элементов в жордановой форме, тогда как вторые имеют).

С точностью до сопряженности в SL(2) (вместо GL(2)) имеется дополнительная величина, соответствующая ориентации: вращение по часовой стрелке и против часовой стрелки (эллиптическое) не сопряжены, как и положительный и отрицательный сдвиг, как подробно описано выше; таким образом, для абсолютного значения следа меньше 2 существует два класса сопряженности для каждого следа (вращение по часовой стрелке и против часовой стрелки), для абсолютного значения следа, равного 2, существует три класса сопряженности для каждого следа (положительный сдвиг, тождественность, отрицательный сдвиг), а для абсолютного значения следа больше 2 существует один класс сопряженности для данного следа.

Разложение Ивасавы или КАН

Разложение Ивасавы группы — это метод построения группы как произведения трех подгрупп Ли K , A , N. Для этих трех подгрупп ${\displaystyle {\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}$

${\displaystyle \mathbf {K} =\left\{{\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}\in SL(2,\mathbb {R} )\ |\ \theta \in \mathbf {R} \right\}\cong SO(2),}$

${\displaystyle \mathbf {A} =\left\{{\begin{pmatrix}r&0\\0&r^{-1}\end{pmatrix}}\in SL(2,\mathbb {R} )\ |\ r>0\right\},}$

${\displaystyle \mathbf {N} =\left\{{\begin{pmatrix}1&x\\0&1\end{pmatrix}}\in SL(2,\mathbb {R} )\ |\ x\in \mathbf {R} \right\}.}$

Эти три элемента являются генераторами эллиптического, гиперболического и параболического подмножеств соответственно.

Топология и универсальное покрытие

Как топологическое пространство , PSL(2,  R ) можно описать как единичное касательное расслоение гиперболической плоскости. Это расслоение окружностей , имеющее естественную контактную структуру, индуцированную симплектической структурой на гиперболической плоскости. SL(2,  R ) является двукратным покрытием PSL(2,  R ) и может рассматриваться как расслоение спиноров на гиперболической плоскости.

Фундаментальная группа SL(2,  R ) — бесконечная циклическая группа Z . Универсальная накрывающая группа , обозначаемая , является примером конечномерной группы Ли, которая не является матричной группой . То есть не допускает точного конечномерного представления . ${\displaystyle {\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}}$ ${\displaystyle {\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}}$

Как топологическое пространство, является линейным расслоением над гиперболической плоскостью. При наполнении левоинвариантной метрикой 3-многообразие становится одной из восьми геометрий Терстона . Например, является универсальным покрытием единичного касательного расслоения к любой гиперболической поверхности . Любое многообразие, смоделированное на, является ориентируемым и является расслоением окружностей над некоторым 2-мерным гиперболическим орбифолдом ( пространством расслоений Зейферта ). ${\displaystyle {\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}}$ ${\displaystyle {\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}}$ ${\displaystyle {\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}}$ ${\displaystyle {\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}}$

Группа кос B ₃ является универсальным центральным расширением модульной группы .

Под этим покрытием прообразом модулярной группы PSL(2,  Z ) является группа кос на 3 образующих, B ₃ , которая является универсальным центральным расширением модулярной группы. Это решетки внутри соответствующих алгебраических групп, и это алгебраически соответствует универсальной покрывающей группе в топологии.

Двукратную накрывающую группу можно определить как Mp(2,  R ), метаплектическую группу , подразумевая под SL(2,  R ) симплектическую группу Sp(2,  R ).

Вышеупомянутые группы вместе образуют последовательность:

${\displaystyle {\overline {\mathrm {SL} (2,\mathbf {R} )}}\to \cdots \to \mathrm {Mp} (2,\mathbf {R} )\to \mathrm {SL} (2,\mathbf {R} )\to \mathrm {PSL} (2,\mathbf {R} ).}$

Однако существуют и другие покрывающие группы PSL(2,  R ), соответствующие всем n , так как n Z < Z ≅ π ₁ (PSL(2,  R )), которые образуют решетку покрывающих групп по делимости; они покрывают SL(2,  R ) тогда и только тогда, когда n четно.

Алгебраическая структура

Центром SL(2,  R ) является двухэлементная группа {±1}, а фактор-группа PSL(2,  R ) является простой .

Дискретные подгруппы PSL(2,  R ) называются фуксовыми группами . Это гиперболические аналоги групп евклидовых обоев и групп Фриза . Наиболее известной из них является модулярная группа PSL(2,  Z ), которая действует на замощение гиперболической плоскости идеальными треугольниками.

Группа окружности SO(2) является максимальной компактной подгруппой SL(2,  R ), а окружность SO(2) / {±1} является максимальной компактной подгруппой PSL(2,  R ).

Множитель Шура дискретной группы PSL(2,  R ) намного больше Z , а универсальное центральное расширение намного больше универсальной покрывающей группы. Однако эти большие центральные расширения не учитывают топологию и являются несколько патологическими.

Теория представления

SL(2,  R ) — вещественная, некомпактная простая группа Ли , и является расщепленно-вещественной формой комплексной группы Ли SL(2,  C ). Алгебра Ли SL(2,  R ), обозначаемая sl(2,  R ), является алгеброй всех вещественных, бесследовых матриц 2 × 2. Это алгебра Бианки типа VIII.

Конечномерная теория представлений SL(2,  R ) эквивалентна теории представлений SU(2) , которая является компактной вещественной формой SL(2,  C ). В частности, SL(2,  R ) не имеет нетривиальных конечномерных унитарных представлений. Это свойство каждой связной простой некомпактной группы Ли. Для схемы доказательства см. неунитарность представлений .

Теория бесконечномерных представлений SL(2,  R ) весьма интересна. Группа имеет несколько семейств унитарных представлений, которые были подробно разработаны Гельфандом и Наймарком (1946), В. Баргманном (1947) и Хариш-Чандрой (1952).

Смотрите также

• Линейная группа
• Специальная линейная группа
• Проективная линейная группа
• Модульная группа
• SL(2,  C ) (преобразования Мёбиуса)
• Проективное преобразование
• Группа фуксии
• Таблица групп Ли
• Аносов поток

Ссылки

1. Кисиль, Владимир В. (2012). Геометрия преобразований Мёбиуса. Эллиптические, параболические и гиперболические действия SL(2,R) . Лондон: Imperial College Press. стр. xiv+192. doi :10.1142/p835. ISBN 978-1-84816-858-9. МР  2977041.

• Баргманн, Валентайн (1947). «Неприводимые унитарные представления группы Лоренца». Annals of Mathematics . 48 (3): 568–640. doi :10.2307/1969129. JSTOR  1969129. MR  0021942.
• Гельфанд, Израиль Моисеевич; Неймарк, Марк Аронович (1946). «Унитарные представления группы Лоренца». АН СССР. Ж. физ . 10 : 93–94. MR  0017282.
• Хариш-Чандра (1952). "Формула Планшереля для действительной унимодулярной группы 2×2". Proc. Natl. Acad. Sci. USA . 38 (4): 337–342. Bibcode :1952PNAS...38..337H. doi : 10.1073/pnas.38.4.337 . MR  0047055. PMC  1063558 . PMID  16589101.
• Ланг, Серж (1985). . Graduate Texts in Mathematics. Том 105. Нью-Йорк: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-5142-2. ISBN ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbf {R} )}$ 0-387-96198-4. МР  0803508.
• Терстон, Уильям (1997). Сильвио Леви (ред.). Трехмерная геометрия и топология. Том 1. Princeton Mathematical Series. Том 35. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 0-691-08304-5. МР  1435975.