Мера компактности

Мера степени компактности геометрической фигуры.

Мера компактности — числовая величина, представляющая степень компактности формы . Круг и сфера являются наиболее компактными плоскими и объемными формами соответственно.

Характеристики

Используются различные меры компактности. Однако эти меры имеют следующее общее:

• Они применимы ко всем геометрическим фигурам.
• Они не зависят от масштаба и ориентации.
• Это безразмерные числа .
• Они не слишком зависят от одной или двух крайних точек формы.
• Они согласны с интуитивными представлениями о том, что делает форму компактной.

Примеры

Распространенной мерой компактности является изопериметрический коэффициент , отношение площади фигуры к площади круга ( наиболее компактной фигуры) с тем же периметром. На плоскости это эквивалентно тесту Полсби–Поппера . В качестве альтернативы площадь фигуры можно сравнить с площадью ее ограничивающего круга , ^{[1] [2]} ее выпуклой оболочки , ^{[1] [3]} или ее минимального ограничивающего прямоугольника . ^[3]

Аналогичным образом можно провести сравнение между периметром фигуры и периметром ее выпуклой оболочки ^[3] , ее ограничивающей окружности ^[1] или окружности, имеющей ту же площадь ^{[1] .}

Другие тесты включают определение того, какая площадь перекрывается с кругом той же площади ^[2] или с отражением самой фигуры. ^[1]

Меры компактности могут быть определены и для трехмерных фигур, как правило, как функции объема и площади поверхности . Одним из примеров меры компактности является сферичность . Другой используемой мерой является , ^[4] которая пропорциональна . ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle ({\text{surface area}})^{1.5}/({\text{volume}})}$ ${\displaystyle \Psi ^{-3/2}}$

Для растровых форм, т. е. форм, состоящих из пикселей или ячеек, некоторые тесты включают в себя различение внешних и внутренних краев (или граней). ^{[2] [5]}

Более сложные меры компактности включают расчет момента инерции формы ^{[2] [3]} или граничной кривизны . ^[3]

Приложения

Распространенное применение мер компактности — перераспределение избирательных округов . Цель состоит в том, чтобы максимизировать компактность избирательных округов , с учетом других ограничений, и тем самым избежать джерримендеринга . ^[6] Другое применение — зонирование , чтобы регулировать способ, которым земля может быть разделена на участки под застройку . ^[7]

Человеческое восприятие

Имеются данные, что компактность является одним из основных измерений особенностей формы, извлекаемых зрительной системой человека. ^[8]

Смотрите также

• Степень компактности Reock
• Отношение площади поверхности к объему
• Какова длина побережья Британии? Статистическое самоподобие и дробная размерность

Ссылки

1. "Измерение компактности" . Получено 22 января 2020 г.
2. Ли, Венвен; Гудчайлд, Майкл Ф.; Чёрч, Ричард Л. «Эффективная мера компактности для двумерных фигур и её применение в задачах регионализации» . Получено 1 февраля 2022 г.
3. Вирт, Майкл А. "Анализ и измерение формы" (PDF) . Получено 22 января 2020 г.
4. Патент США 6,169,817
5. Bribiesca, E. "Измерение компактности двумерной формы с использованием периметра контакта" . Получено 22 января 2020 г.
6. Рик Гиллман «Геометрия и джерримендеринг», Math Horizons, т. 10, № 1 (сентябрь 2002 г.) 10-13.
7. МакГиллис, Алек (15.11.2006). «Предлагаемое правило направлено на усмирение нерегулярных участков жилья». The Washington Post . стр. B5 . Получено 15.11.2006 .
8. Хуан, Лицян (2020). «Пространство преаттентивных признаков формы». Journal of Vision . 20 (4): 10. doi : 10.1167 /jov.20.4.10 . PMC 7405702. PMID  32315405.